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1.1.1 空间向量及其线性运算
一、单选题
1．若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间另一个基底的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的为 （　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
3．如图，分别是四面体的棱的中点，点在上且满足，若，则与相等的向量是（　　）
A． B．
C． D．
4．已知向量满足，，，则（　　）
A． B．2 C． D．4
5．如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（　　）
A． B．
C． D．
6．如图所示，空间四边形OABC中，，点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（　　）
A． B．
C． D．
7．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（　　）
A． B．
C． D．
8．正方体中，化简（　　）
A． B． C． D．
9．已知点D在确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，实数x，y满足，则：的最小值为（　　）
A． B． C．1 D．2
10．如图所示，在平行六面体中，E，F，H分别为，，DE的中点．若，，，则向量可用表示为（　　）
A． B．
C． D．
11．关于空间向量，以下说法错误的是（　　）
A．若，则的夹角是钝角
B．已知向量组是空间的一个基底，则不能构成空间的一个基底
C．若对空间中任意一点，有，则四点共面
D．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
12．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（　　）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
二、填空题
13．已知 ， ，若 ，则实数 的值为　 　.
14．如图所示，在空间四边形中，，点在上，且为中点，若.则　 　.
15．在四棱锥中，四边形是平行四边形，，若，则　 　.
16．已知、是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对任意，，（），则　 　.
三、解答题
17．化简：．
18．如图所示，在三棱柱中，是边长为4的正方形，，.
(l)求证：；
(2)求二面角的余弦值．
19．设A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的重心，求证： ．
20．如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别为，，，的重心．求证：E，F，G，H四点共面．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】空间向量的概念
2．【答案】C
【知识点】共面向量定理
3．【答案】D
【知识点】空间向量的数乘运算
4．【答案】C
【知识点】空间向量的数乘运算
5．【答案】D
【知识点】空间向量的数乘运算
6．【答案】B
【知识点】空间向量的数乘运算
7．【答案】A
【知识点】空间向量的数乘运算
8．【答案】C
【知识点】空间向量的加减法
9．【答案】A
【知识点】二次函数的性质；共面向量定理
10．【答案】B
【知识点】空间向量的加减法
11．【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理；共面向量定理
12．【答案】D
【知识点】共面向量定理
13．【答案】-6
【知识点】共面向量定理
14．【答案】
【知识点】空间向量的数乘运算
15．【答案】1
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
16．【答案】
【知识点】空间向量的数乘运算
17．【答案】
【知识点】空间向量的数乘运算
18．【答案】（1）证明：因为是边长为4的正方形，所以，
又，，
由线面垂直的判定定理，可得平面ABC，所以.
（2）在中，有，所以，
分别以AC，AB，为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，，
设平面的法向量为，则，
取，则，同理得平面的法向量，
设二面角的平面角为，则.
【知识点】向量的模；空间向量的加减法；向量加法的平行四边形法则
19．【答案】证明：∵ = = × （ + ）= （ ﹣ + ﹣ ）= （ + ﹣2 ）
∴ = + = + （ + ﹣2 ）= （ + + ）
【知识点】空间向量的加减法
20．【答案】证明：如图，分别连接PE，PF，PG，PH并延长交AB，BC，CD，AD于点M，N，Q，R，连接EG，MQ，EF，EH．
由于E，F，G，H分别是所在三角形的重心，
所以M，N，Q，R分别为所在边的中点，即，，且；
所以顺次连接M，N，Q，R所得的四边形为平行四边形，
且有，，，．
由于四边形MNQR为平行四边形，
可得
．
由于三个向量有公共点E，根据空间向量的共面定理可得向量共面；
所以四点共面.
【知识点】空间向量的数乘运算；共面向量定理
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