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1.1.2 空间向量的数量积运算
一、单选题
1．如图，已知四面体的棱长都是2，点为棱的中点，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．2
2．正方体的棱长为1，则（　　）
A．1 B．0 C． D．2
3．向量 ，若 ，且 ，则 的值为（　　）
A．-3 B．1 C．3或1 D．-3或1
4．已知且与垂直，则实数的值为（　　）
A． B． C． D．1
5．如图，边长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则 的值为（　　）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
6．已知x，y满足线性约束条件，若，，则的最大值是（　　）
A．-1 B．5 C． D．7
7．设向量 =（﹣1，﹣1，1）， =（﹣1，0，1），则cos＜ ， ＞=（　　）
A． B． C． D．
8．已知圆和直线相交于P，Q两点，则的值为（O为坐标原点）（　　）
A．12 B．16 C．21 D．25
9．如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度是（　　）
A． B． C． D．
11．如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（　　）
A． B． C．4 D．2
12．已知长方体，下列向量的数量积一定不为0的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．已知，是两个空间向量，若，，，则　 　.
14．如图，二面角的大小为，其棱l上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若则两点间的距离为　 　．
15．在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为　 　．
16．已知四面体，其中，，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为　 　；四面体外接球的表面积为　 　．
三、解答题
17．用数学归纳法证明：．
18．如图，五面体 中，平面 平面 ，而 是直角梯形， 等腰三角形，且 // ， ， ， ， ， .
（Ⅰ）求证：四边形 为平行四边形；
（Ⅱ）求二面角 的平面角的余弦值.
19．如图，三棱锥 中， ，底面 为正三角形.
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）若平面 ， ，求二面角 的余弦值.
20．已知函数f（x）=lnx+x2．
（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）﹣3x的极值；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算
2．【答案】A
【知识点】空间向量的数量积运算
3．【答案】D
【知识点】向量的模；空间向量的数量积运算
4．【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算
5．【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算
6．【答案】B
【知识点】简单线性规划；空间向量的数量积运算
7．【答案】D
【知识点】空间向量的数量积运算
8．【答案】C
【知识点】空间向量的数量积运算
9．【答案】C
【知识点】空间向量的数量积运算
10．【答案】C
【知识点】空间向量的数量积运算
11．【答案】C
【知识点】空间向量的数量积运算；二面角及二面角的平面角
12．【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间向量的数量积运算
13．【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算
14．【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算
15．【答案】
【知识点】异面直线所成的角；空间向量的数量积运算
16．【答案】 ；
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
17．【答案】解：（1）当n=1时，左边=1+1=2，右边=2×1=2．
∴左边=右边，故n=1当时，结论成立；
（2）假设结论成立，即，
∴
，
∴当时，结论成立，
故对任意，结论都成立．
【知识点】数学归纳法的应用
18．【答案】解：（Ⅰ）在直角梯形 中， // .
因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 .
因为 平面 ，且平面 平面 ，
所以 // .
因为 ，所以四边形 为平行四边形.
（Ⅱ）取 的中点 ，连接 ， .
在等腰 中，
因为平面 平面 ，交线为 ，
又 ，所以 平面 .
所以 ，由题意易得 .
建立如图空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ，
， ，又 ，所以 .
设平面 的法向量为 ，
， ，
则 ，即 ，
令 ，则 ， .
于是 .
又平面 的法向量为 ，
所以 .
由题知二面角 的平面角为锐角，
所以二面角 的余弦值为 .
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量的数量积运算；与二面角有关的立体几何综合题
19．【答案】解：（Ⅰ）证明：取AC的中点OO，连接PO， BO，
∵PA=PC，
∴PO⊥AC，
又AB=CB，
∴ ，
∴AC⊥PB.
（Ⅱ）平面PAC⊥平面ABC且交于AC， PO⊥AC，
∴PO⊥平面ABC，则可建立如图所示的空间直角坐标系O xyz.
又PA=PC ， AC=PC=2，△ABC为正三角形，
∴P(0 ， 0 ， ) ， B(0 ， ， 0) ， C( 1 ， 0 ， 0)
=(0， ，- ) ， =( 1， ，0)
设 =(x ， y ， z)为平面PBC的法向量，则 =0， =0
∴ y z=0， x y=0
取y= 1，则 =( ， 1 ， 1)为平面PBC的一个法向量，
又 =(0 ， ， 0)为平面PAC的一个法向量，
∴ ，
则二面角A PC=BA PC=B的余弦值为 .
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间向量的数量积运算；二面角及二面角的平面角
20．【答案】解：（Ⅰ） 由已知，得h（x）=f（x）﹣3x=lnx+x2﹣3x， （x＞0），
令 =0，得x= 或x=1，
∴当x∈（0， ）∪（1，+∞）时，h′（x）＞0，当x∈（ ）时，h′（x）＜0，
∴h（x）在（0， ），（1，+∞）上为增函数，在（ ）上为减函数．
∴h（x）极小值=h（1）=﹣2， ；
（Ⅱ）g（x）=f（x）﹣ax=lnx+x2﹣ax，g′（x）= ，
由题意，知g′（x）≥0（x＞0）恒成立，
即a≤ ．
∵x＞0时，2x+ ，当且仅当x= 时等号成立．
故 ，
∴a ．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
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