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1.3.1 空间直角坐标系
一、单选题
1．若空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（　　）
A． B． C． D．
2．在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
3．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
4．空间向量在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
5． 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（　　）
A． B． C． D．
6．已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
8．点关于Oxy平面的对称点的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为（　　）
A．(1，1，1) B． C． D．
10．已知点A（-3，1，4），则点A关于原点的对称点的坐标是（　　）
A．(1，-3，-4) B．(-4，1，3) C．(3，-1，-4) D．(4，-1，3)
11．已知向量 满足 ，向量 是与 同向的单位向量，则向量 在向量 上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
12．在空间直角坐标系中，已知点则=（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为　 　.
14．若向量 ， 为单位向量， 与 的夹角为 ，则 =　 　.已知向量 ， ，则 在 方向上的投影为　 　.
15．如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2，E为PB的中点，cos＜，＞=，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为　 　
16．已知向量，满足，，则向量在上的投影向量为　 　．
三、解答题
17．若关于x的不等式|2x﹣1|﹣|x﹣1|≤log2a有解，求实数a的取值范围．
18．已知函数f（x）=x2﹣3x+alnx（a＞0）．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）设函数f（x）图象上任意一点的切线l的斜率为k，当k的最小值为1时，求此时切线l的方程．
19．设函数f（x）=2ax﹣ +lnx，若f（x）在x=1，x= 处取得极值，
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）求f（x）在[ ，2]上的单调区间
（Ⅲ）在[ ，2]存在x0，使得不等式f（x0）﹣c≤0成立，求c的最小值．
（参考数据：e2≈7.389，e3≈20.08）
20．求证：在区间上，函数的图象恒在函数的图象的下方．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】空间向量的投影向量
2．【答案】A
【知识点】空间向量的投影向量
3．【答案】C
【知识点】空间中的点的坐标
4．【答案】C
【知识点】空间向量的投影向量
5．【答案】C
【知识点】空间向量的投影向量
6．【答案】A
【知识点】空间中的点的坐标；空间中的中点坐标公式
7．【答案】A
【知识点】空间向量的投影向量
8．【答案】B
【知识点】空间中的点的坐标
9．【答案】C
【知识点】空间中的点的坐标；直线与平面平行的判定
10．【答案】C
【知识点】空间直角坐标系；空间中的点的坐标
11．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；空间向量的投影向量
12．【答案】A
【知识点】空间直角坐标系
13．【答案】
【知识点】空间中的点的坐标
14．【答案】；1
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；空间向量的投影向量
15．【答案】（1，1，1）
【知识点】空间直角坐标系
16．【答案】（-1，0）
【知识点】空间向量的投影向量
17．【答案】解：由题意，令f（x）=|2x﹣1|﹣|x﹣1|，有题意可知： ．
又∵
∴ ．
∴
解得： ．
∴实数a的取值范围是[ ，+∞）．
【知识点】含绝对值不等式的解法
18．【答案】解：（I）f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=1时，f（x）=x2﹣3x+lnx，
．
由2x2﹣3x+1=0，得 ，
由2x2﹣3x+1＞0，得 ，或x＞1，∴f（x）的单调递增区间为 ，（1，+∞）．
由2x2﹣3x+1＜0，得 ，∴f（x）的单调递减区间为 ．
∴f（x）极大值为 ；极小值为f（1）=﹣2；
（II）由题意知 ，∴a=2．
此时 ，即 ，∴x=1，∴切点为（1，﹣2），
∴此时的切线l方程为：x﹣y﹣3=0
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
19．【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2ax﹣ +lnx，∴f′（x）=2a+ + ，x＞0，∵若f（x）在x=1，x= 处取得极值，∴f′（1）=0，f′（ ）=0，即2a+b+1=0，2a+4b+2=0，解得a=﹣ ，b=- ；（Ⅱ）f′（x）= ，x＞0，∵f′（x）= ＞0，∴ ，∵f′（x）= ＜0， ＜x＜2∴ ＜x ，1＜x＜2，∴单调递增区间（ ，1），递减区间（ ， ），（1，2）；（Ⅲ）f（x）=﹣ x- +lnx，f（ ）=﹣ ﹣ln2，f（2）=﹣ +ln2，f（ ）=﹣1﹣ln2f（1）=﹣1，f（x）在[ ，2]上的最大值为：﹣ +ln2，最小值为：﹣1﹣ln2∵在[ ，2]存在x0，使得不等式f（x0）﹣c≤0成立，∴c≥f（x）min，c≥﹣1﹣ln2c的最小值为：﹣1﹣ln2
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
20．【答案】证明：，，求导得：，
当且仅当时取“=”，因此，在上单调递增，，，
即，，，
所以在区间上，函数的图象恒在函数的图象的下方．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
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