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1.4 空间向量的应用
一、单选题
1．在直三棱柱中，.、分别是、的中点，，则与所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
2．在正方体 中，点 ， ， 分别是棱 ， ， 的中点，点 ， 到平面 的距离分别为 ， ，则（　　）
A． B． C． D．
3．若空间中三条不同直线满足，且，则直线与直线必定（　　）
A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面
4．在正四棱柱 中， ，动点 分别在线段 上，则线段 长度的最小值是（　　）
A． B． C． D．
5．已知四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
6．已知是空间两条不同的直线，是空间两个不重合的平面，下列命题为真命题的是（　　）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
7．已知平面向量 ， ，则 、 的夹角 （　　）
A．150° B．120° C．60° D．30°
8．3男3女六位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是（　　）
A．576 B．432 C．388 D．216
9．如图，直三棱柱 中， ，点P在棱 上，且三棱锥A-PBC的体积为4，则直线 与平面PBC所成角的正弦值等于（　　）
A． B． C． D．
10．三棱锥 的各个顶点都在球 的表面上，且 是等边三角形， 底面 ， ， .若点 在线段SA上，且 ，则过点 的平面截球 所得截面的最小面积为（　　）
A．3π B．4π C．8π D．13π
11．古希腊时期，人们把宽与长之比为 的矩形称为黄金矩形，把这个比值 称为黄金分割比例．下图为希腊的一古建筑.其中部分廊、檐、顶的连接点为图中所示相关对应点，图中的矩形 ， ， ， ， ， 均近似为黄金矩形.若 与 间的距离大于18.7m， 与 间的距离小于12m．则该古建筑中 与 间的距离可能是（　　）（参考数据： ， ， ）
A．29m B．29.8m C．30.8m D．32.8m
12．在四棱锥中，平面平面，，，，为的中点，则下列选项中不正确的是（　　）
A．平面 B．平面
C．平面平面 D．点到平面的距离为1
二、填空题
13．已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则坐标原点到直线的距离为　 　.
14．直线 的一个法向量可以是　 　.
15．已知球的半径等于4，，是球的某内接圆柱的上下底面圆心，，是球的直径（点在上，点在上），为的中点，若四边形是圆的内接矩形，，是圆柱的母线，且平面平面，则　 　.
16．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．设D为的中点，，平面平面，则二面角的正弦值为　 　．
三、解答题
17．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为 （其中t为参数）．现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ．
（Ⅰ） 写出直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ） 过点M（﹣1，0）且与直线l平行的直线l1交C于A，B两点，求|AB|．
18．如图，在直三棱柱 中， 为棱 的中点．
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）若 ，且 ， ， ，求二面角 的正弦值．
19．如图，四边形与均为菱形，，且.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）若为线段上的一点，满足直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
20．如图，弧是半径为的半圆，为直径，点为弧的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足，．
（1）证明：；
（2）已知点，为线段，上的点，使得，求当最短时，平面和平面所成二面角的正弦值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；异面直线所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离
2．【答案】A
【知识点】直线与平面平行的性质；点、线、面间的距离计算
3．【答案】C
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系
4．【答案】C
【知识点】点、线、面间的距离计算
5．【答案】B
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
6．【答案】D
【知识点】空间点、线、面的位置；用空间向量研究平面与平面的位置关系
7．【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；用空间向量研究二面角
8．【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
9．【答案】C
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
10．【答案】A
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算
11．【答案】C
【知识点】点、线、面间的距离计算
12．【答案】C
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
13．【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
14．【答案】
【知识点】平面的法向量
15．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；平面的法向量；用空间向量研究平面与平面的位置关系
16．【答案】
【知识点】用空间向量研究二面角
17．【答案】解：（Ⅰ） 由 消去参数t，得直线l的普通方程为x﹣y﹣6=0．又由ρ=6cosθ得ρ2=6ρcosθ，由 得曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣6x=0．（Ⅱ） 过点M（﹣1，0）且与直线l平行的直线l1的参数方程为 将其代入x2+y2﹣6x=0得 ，则 ，知t1＞0，t2＞0，所以
【知识点】点、线、面间的距离计算；简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程
18．【答案】（Ⅰ）如图，连接 与 交于点 ，连接 ．
在直三棱柱 中，侧面 是矩形，所以 是 的中点，
又因为 为 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（Ⅱ）由 为 的中点， ，且 ，
可知 且 ．因此 ，
以 为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为 ， ， 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知可得 ， ， ， ，
则 ， ， ．
设 为平面 的法向量，
则 可取 ．
设 为平面 的法向量，
则 同理可取 ．
因为 ，
所以二面角 的正弦值为 ．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
19．【答案】解：（1）设与相交于点，连接，因为四边形为菱形，所以，且为中点，
又因为，所以
又因为，，所以平面；
（2）连接，因为四边形为菱形，且，所以为等边三角形，
又因为为中点，所以，
又因为，，所以平面，则两两垂直，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为四边形为菱形，，，所以，
又因为为等边三角形，所以，
，
，，
设平面的法向量为，则，
令，则，得，
设平面的法向量为，则，
令，则，得，
所以，
又因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为；
（3）设
则，
所以，
化简得，解得：，.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
20．【答案】解：（1）连接，因为弧是半径为的半圆，
为直径，点为弧的中点，所以．
在中，．
在中， ，且点是底边的中点，
所以，；
在中，，所以
又因为，，平面，平面
所以平面，
又面，所以．
又因为，平面，平面
所以平面，
而面，所以；
（2）在平面内，过点C作交弧BC于G，
以点为原点，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，
设，则由，
即，所以，
则，
所以，
当时，取得最小值．此时．
设，则，
由，可得，则
则，
设平面的法向量为则
则，令，则，
∴，又由(1)知，平面的一个法向量为，
所以，
设平面与平面所成二面角的大小为，则
则
所以平面与平面所成二面角的正弦值为
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角；同角三角函数间的基本关系
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