资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
一、单选题
1．直线的一个方向向量是（　　）
A． B． C． D．
2．已知，分别是平面的法向量，若，则（　　）
A． B． C．1 D．7
3．已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（　　）
A． B．20 C． D．
4．经过两点的直线的一个方向向量为，则（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．设平面的法向量为，直线的方向向量为，那么“”是“直线与平面夹角为”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．直线的一个方向向量为（　　）
A． B． C． D．
7．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，下列结论成立的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．人教A版选择性必修第一册教材44页“拓广探索”中有这样的表述：在空间直角坐标系中，若平面经过点，且以为法向量，设是平面内的任意一点，由，可得，此即平面的点法式方程．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
9．设 =（3，﹣2，﹣1）是直线l的方向向量， =（1，2，﹣1）是平面α的法向量，则（　　）
A．l⊥α B．l∥α
C．l α或l⊥α D．l∥α或l α
10．平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的正切值为（　　）
A． B． C． D．
11．直线l的方向向量为，平面与的法向量分别为，，则下列选项正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
12．若平面α的一个法向量为 =（4，1，1），直线l的一个方向向量为 =（﹣2，﹣3，3），则l与α所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．经过两点的直线的一个方向向量为，则　 　．
14．已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则　 　．
15．已知，，，点，若平面ABC，则点的坐标为　 　．
16．如图①，在中，，，，D，E分别是AC，AB上的点，且，，将沿DE折起到的位置，使平面BCDE，如图②.若点F是线段BE的靠近点E的三等分点，点P是线段上的点，直线l过点B且垂直于平面BCDE，则点P到直线l的距离的最小值为　 　.
三、解答题
17．如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面．
18．航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10000m，速度为180km（千米）/h（小时），飞机先看到山顶的俯角为15°，经过420s（秒）后又看到山顶的俯角为45°，求山顶的海拔高度（取 ， ）．
19．某公司计划种植A，B两种中药材，该公司最多能承包50亩的土地，可使用的周转资金不超过54万元，假设药材A售价为0.55万元/吨，产量为4吨/亩，种植成本1.2万元/亩；药材B售价为0.3万元/吨，产量为6吨/亩，种植成本0.9万元/亩时公司的总利润最大，则A，B两种中药材的种植面积应各为多少亩，最大利润为多少万元？
20．已知数列 中， ， .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，数列 的前 项和为 ，证明：对任意的 ，都有 .
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直线的方向向量
2．【答案】B
【知识点】平面与平面平行的判定；平面的法向量
3．【答案】A
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面的法向量
4．【答案】D
【知识点】直线的方向向量
5．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；用空间向量研究直线与平面的位置关系
6．【答案】B
【知识点】直线的方向向量
7．【答案】C
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系
8．【答案】B
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；直线的方向向量；平面的法向量；运用诱导公式化简求值
9．【答案】D
【知识点】平面的法向量
10．【答案】D
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；平面的法向量；同角三角函数间的基本关系
11．【答案】C
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究平面与平面的位置关系
12．【答案】D
【知识点】平面的法向量
13．【答案】5
【知识点】直线的方向向量
14．【答案】15
【知识点】共线（平行）向量；直线与平面垂直的性质；直线的方向向量；平面的法向量
15．【答案】
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系
16．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；平面的法向量；向量方法证明线、面的位置关系定理
17．【答案】【解答】证明：如图以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，
∵E，F分别为AB，的中点，∴，
，，，
∵，，∴，
又，平面，
平面．
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面的位置关系
18．【答案】解：∵∠A=15°∠DBC=45°
∴∠ACB=30°，
AB=180km（千米）/h（小时）×420s（秒）=21000（m ）
∴在△ABC中，
∴ （求AC也可）
∵CD⊥AD，
∴CD=BCsin∠CBD=BC×sin45°
= ×
= =10500（1.7﹣1）=7350
山顶的海拔高度=10000﹣7350=2650（米）
【知识点】解三角形的实际应用
19．【答案】解：设A，B两种中药材的种植面积各x亩，y亩；
则由题意可得， ；即：
一年的种植总利润z=0.55×4x+0.3×6y﹣（1.2x+0.9y）=x+0.9y万元；
作平面区域如下，
结合图象可知，
；
解得，x=30，y=20；此时一年的种植总利润最大；
那么A药材的面积是30亩；B药材的面积为20亩，
此时利润的最大值为：Z=30+0.9×20=48万元．
故答案为：A药材的面积是30亩；B药材的面积为20亩，利润的最大值为48万元．
【知识点】简单线性规划；简单线性规划的应用
20．【答案】解：（Ⅰ）因为 ，
，即 .
又 ，所以数列 是以1为前项，2为公差的等差数列.
所以 ，
所以 .
（Ⅱ）证明：因为 ，
所以 .
所以
.
令 ，易证 单调递增，
所以 .
又 ，
由 ， ，得 .
所以 .
即对任意的 ，都有 .
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
2 / 7

展开更多......

收起↑