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河北承德市第八中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷
一、单选题
1．先后抛掷两枚均匀的硬币，设正面朝上的硬币数为，则表示的是（ ）
A．第一次抛硬币 B．恰有一枚硬币正面朝上
C．硬币正面朝上面的数字是1 D．先抛一枚硬币
2．已知甲组有名男生名女生，乙组有2名男生4名女生，如果随机选1个组，再从该组中随机选1名学生，则该学生是女生的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数满足，则（ ）
A．4 B．-4 C．-2 D．2
5．（ ）
A． B． C．1 D．
6．若，则（ ）
A．45 B．20 C．135 D．120
7．如图是函数的导函数的图像，则下列说法错误的是（ ）

A．在处取极大值 B．
C．在上存在最小值 D．在上至多有3个零点
8．已知函数的极小值为，则实数的值可能为（）
A． B． C． D．
二、多选题
9．为弘扬我国古代的“六艺”文化，某中学计划开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门校本课程，每月一门，连续开设六个月，则下列说法正确的是（ ）
A．若学生甲和乙各自从中任选2门，则他们共有225种不同的选法
B．若课程“乐”排在“书”前面，则课程共有240种排法
C．若课程“射”“御”排在不相邻两个月，则课程共有480种排法
D．若课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，则课程共有504种排法
10．对于随机事件A，B，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，的对称中心为
B．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是
C．存在实数使曲线是轴对称图形
D．当时，函数的极大值点为
三、填空题
12．已知二项式展开式中的系数为，则实数___________．
13．已知定义在上的函数，其导函数为，当时，，若，，，则由小到大为_______．
14．若在上单调递增，则a的最大值为_________.
四、解答题
15．已知函数.
(1)当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标；
(2)若恒成立，求a的取值范围.
16．设函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值；
(3)若函数在有三个不同的零点，求b的取值范围．
17．已知函数．
(1)若函数在定义域上不单调，求实数的取值范围；
(2)若，且函数有三个零点，求实数的取值范围；
(3)若，过点作函数的切线，求切线方程．
18．已知在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，并且所有项的系数之和为1．
(1)求和的值；
(2)求展开式中二项式系数最大的项；
(3)求的展开式中的常数项．
(4)若，求．（结果用数字表达）
19．某航天夏令营结束后，5名学生（含学生甲）和3位老师（含老师乙）站成一排拍照留念.
(1)求3位老师互不相邻的排法种数；
(2)求甲不排最左端且乙不排最右端的排法种数；
(3)若保持原来5名学生和3位老师的相对位置不变，有3位家长想加入其中站成一排拍照，求所有可能的排法种数.
参考答案
1．B
【详解】对于A选项，“第一次抛硬币”是抛掷动作，和正面朝上的硬币数为1的含义无关，描述错误，故A错误；
对于B选项，“恰有一枚硬币正面朝上”对应的正面朝上的硬币数恰好为1，符合“”表示的含义，故B正确；
对于C选项，硬币的正反面不存在“正面朝上面的数字是1”的情况，和“”的含义无关，故C错误；
对于D选项，“先抛一枚硬币”是抛掷动作，和正面朝上的硬币数为1的含义无关，故D错误.
综上所述，B选项正确.
2．B
【详解】记事件为“选出的学生是女生”，事件为“选中甲组”，事件为“选中乙组”.
∵ 随机选取个组，两组被选中的概率相等，∴ .
∵ 甲组共有名学生，其中女生2名，∴ .
∵ 乙组共有名学生，其中女生4名，∴ .
根据全概率公式可得，
∴ .
3．D
【详解】对函数求导得，令得，解得.
4．B
【详解】.故选：B.
5．D
【详解】因为
.
6．D
【详解】若，则或，
当时，（舍去）；
当时，.
所以.
所以.
7．D
【详解】由图象可知，当时，；当时，；
当时，；当时，；
所以在处取极大值，故A正确；
由当时，，
可得在上单调递增，所以，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，所以极小值是和，
所以在上存在最小值，故C正确；
若，，，，，
函数在上至多有4个零点，故D错误.
8．C
【详解】.
令，得临界点，.
①当时，，，函数单调递增，无极小值，舍去.
②当时，，
时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，，单调递增.
故为极小值点，代入得：.
由极小值为，得，解得，即，符合.
③当时，，
时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，，单调递增.
故为极小值点，代入得：.
由极小值为，得，解得，不在选项中，舍去.
9．ACD
【详解】学生甲和乙各自从中任选2门，则他们共有种不同的选法，A正确；
课程“乐”排在“书”前面，可得课程共有种排法，B错误；
课程“射”“御”排在不相邻两个月，通过插空法，先排好其他的4门课程，有5个空位可选，在其中任选2个，安排课程“射”“御”共有种排法，C正确；
课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，利用分类加法计数原理，当“数”在第六个月时共有种；
当“数”既不在第一个月也不在第六个月时，共有种，
故课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，课程共有种排法，D正确．
故选：ACD
10．AC
【详解】对于A，因为，，，
所以，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误．
11．AC
【详解】对于A，当时，，，故，
所以的对称中心为，所以A选项正确；
对于B，若函数在R上单调递增，则恒成立，
，解得，所以B选项错误；
对于C，当时，，
对于函数，因为，
所以是偶函数，
即曲线关于对称，是轴对称图形，所以C选项正确；
对于D，，令，得或0，
当时，或，
所以在区间上单调递增；
在区间上单调递减.
所以的极大值点为，所以D选项错误.
12．2
【详解】二项式展开式通项公式为，
令，解得，所以，
又因为二项式展开式中的系数为，所以，
即，解得.
13．
【详解】设，，
当时，，即，
所以在上单调递减，
所以，
所以，即，
所以．
14．
【详解】已知在上单调递增，故对任意，都有恒成立，
对求导得， 因此不等式对任意恒成立，即对任意恒成立，
令，只需满足即可，又，
当时，，单调递减； 当时，，单调递增；
因此是的极小值点，也是最小值点，
代入得，即的最大值为.
15．(1)
(2)
【详解】（1）当时，，，
设点的坐标，由题意得：，解得：，
所以，因此点的坐标为.
（2），
令，则，
因为，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，所以，
即：a的取值范围是.
16．(1)
(2)最大值为，最小值为
(3)
【详解】（1）函数求导得，
则，
曲线在点处的切线方程为：
，即．
（2）令，解得或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
为极大值点，为极小值点，
，
，
，
，
综上可得，函数在区间上的最大值为，最小值为．
（3）函数在有三个不同的零点，
等价于直线与有3个不同交点，
由（2）知，的极大值为，极小值，
作出大致图象如下：
由图象可知，要使直线与有3个不同交点，
则需满足：，解得．
17．(1)或
(2)
(3)或
【详解】（1）的定义域为.
.
函数在定义域上不单调，说明有两个不相等的实数根，
所以，解得或.
（2），，.
令，即，或，列表如下：
极小值 极大值
.
要使函数有三个零点，则，解得.
故实数的取值范围是.
（3）时，，.
设切点，则切线的斜率.
故切线方程为.
又切线经过，，整理得：，
解得或.
当时，切点坐标为，切线方程为.
当时，切点坐标为，切线方程为.
综上，切线方程为或.
18．(1)，
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）二项式只有第5项二项式系数最大，说明展开式共项，故，
令，，且，解得．
（2）二项式的通项公式为，第5项对应，
则．
（3）已知，，则的常数项由两部分组成：
当时，；
当时，，
则常数项为：．
（4），
令，则，
令，则，
则．
19．(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）由插空法可得，3位老师互不相邻的排法种数为；
（2）方法1：甲排在最右端的排法种数为，
甲不排两端且乙不排最右端的排法种数为，
故甲不排最左端且乙不排最右端的排法种数为；
方法2：甲排在最左端的排法种数为，
乙排在最右端的排法种数为，
甲排最左端且乙排最右端的排法种数为，
故由间接法可得甲不排最左端且乙不排最右端的排法种数为；
（3）方法1：这3位家长加入的方法种数为；
方法2：这3位家长加入的方法种数为.

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