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解答题中情境题 典型考点冲刺练 2026年初中数学中考复习备考
1．[问题情境]老师出示了这样一个情境：
在中， ，，，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E．
(1)[初探感知]如图①， ；
(2)[深入领悟]如图②，当线段经过点C时，求证：；
(3)[融会贯通]如图③，在旋转的过程中，当点D落在的延长线上时，过点E作，交的延长线于点G．请你判断线段和的数量关系，并说明理由．
2．问题情境：在数学活动课上，老师出了这样一道题：
在矩形中，，，将矩形绕着点顺时针旋转到矩形的位置，点D恰好在边CG上．

问题解决：
(1)如图1，连接AC，CF，AF，AF与CG交于点H．
①的值为______，______．
②求GH的长．
(2)如图2，若将四边形沿渞直线CP折叠，得到四边形，使得点B的对应点恰好在EF上，点A的对应点为，点G在上，求AP的长．
3．项目名称：红色文创·匠心算理——辽宁非遗面人采购探究
一、项目情境
“如果你有时间，一定要来一趟辽宁：在抗美援朝烈士陵园致敬英烈，走进中国工业博物馆触摸钢铁脊梁，感受共和国长子的时代担当．”
国庆黄金周，辽宁红色旅游线路备受青睐．沈阳中街某非遗面人工作室里，承载着雷锋精神、辽宁舰记忆的文创面人供不应求．为满足市场需求，工作室的王师傅计划采购两款粘土制作精品面人：
他用500元购进的A款普通粘土，和用750元购进的B款改良粘土．已知两种粘土购进的数量相同，且每份B款改良粘土的进价比A款粘土的进价多5元．
二、项目任务
任务1：核算原料成本
(1)请根据情境，求A、B两款粘土每份的进价分别是多少元？
任务2：制定采购计划
(2)王师傅决定追加投入，计划用不超过1320元的总费用，购进这两款粘土共100份用于赶工．请问B款改良粘土最多能购进多少份？
4．物理课上，老师正在展示光的反射规律，某同学借此情境编写了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，是正方体展示盒的截面，其中点，点的坐标分别为，，且轴，点处放置一支激光笔，激光笔发射的光线是直线的一部分．
(1)点为平面镜的中点，若激光笔发射的光线恰好经过点，求所在直线的解析式；
(2)已知在正方体展示盒的上方有一个感光元件，当经过反射的光线照射到点与点之间时（包含端点），感光元件就会发光，求符合条件的的整数值．
5．某校春季趣味运动会上，“默契抛接球”项目正在热烈进行中．数学兴趣小组借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，1个单位长度代表1米．小诺在点处将球（看成点）抛出，其运动路线为抛物线：的一部分，小哲恰好在点处接住，随后跳起将球回抛，其运动路线为抛物线：的一部分．
(1)________， ________．
(2)当时，求小哲将球回抛过程中球离地面的最大高度．
(3)若小诺发现在x轴上方1米的高度上，且到点A水平距离不超过1米的范围内可以接住球，请直接写出符合条件的n的取值范围．
6．图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．三角形的旋转如此，扇形的旋转也如此．
【问题情境】如图1，，将绕点O顺时针旋转 成扇形，点C是延长线上一点，，过点C作射线，求弧的长．
【问题解决】如图2，将上题中的扇形绕点B按顺时针方向旋转，若旋转后的扇形和射线相切与点D，求的长．
【问题拓展】如图3，将题（1）中的扇形继续旋转，使旋转后点落在射线上，弧与射线交于另一点E，求的长．
7．【问题情境】一次数学活动课上，同学们对教材P．102习题12作了深入研讨．
【教材原题】如图，为的直径，与相切于，于．求证：平分．
（1）【知识迁移】宏志小组同学发现，原题有多个逆命题，其中一个如下．
如图，为的直径，为上一点，于，平分．那么为的切线．这个命题是真命题吗？说明你判断的依据．
（2）【问题拓展】思进小组同学发现，原题记与交于，三条线段，，有特定的数量关系．请你写出这个数量关系并说明理由．
8．【问题情境】
(1)如图1，在中，点，分别在边，上，且，过点，分别作，的平行线，并交于点，连接，求证：为等腰三角形；
【情境探究】
(2)在（1）的条件下，若已知，，则的最小为________；
【迁移应用】
(3)如图2，是一块边长为20米的正六边形草地，现要在草地上修建两条步道和，其中点，分别在，上，且．求两条步道总长度的最小值；
【拓展延伸】
(4)如图3，中，，，点，分别在边，上，且．连接，过点作交于点，连接，，求四边形的面积最小值．（用含和的代数式表示）
9．【问题情境】
如图1，小王将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在折痕上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，．
【实践操作】
(1)尺规作图：当点与点重合时，在图2中作出折痕；
【问题解决】
(2)如图3，若，，点，，在同一条直线上，求的长；
【深入探究】
(3)在【问题情境】的折叠操作中，设，．从下列两个问题中任选一个进行解决：
①连接，当，满足什么数量关系时，与始终平行？请说明理由；
②若点是边的中点，求的最大值．
【问题情境】
在一次数学探究课上，老师给出了一道例题题干，如下：如图，在中，，，过点B作的垂线（D在上方），E，F两点分别在，上且．
【探究实践】
老师带领同学们自己观察图形，进行猜想和假设，找寻图中蕴含的几何关系，经过思考和讨论，小华和小颖同学分享了自己的发现．

（1）如图1，小华发现，当点E为中点时，，请你给出证明；
（2）如图2，小颖发现，当E不是中点时，仍成立，请你给出证明．
【拓展应用】
如图3，小聪在上取一点M使得，小聪发现为固定值，请你给出证明并求．

11.【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1，点是等边三角形外一点，连接，，，且．求的度数；
小明通过挖掘已知条件，获得，，这样本题就具备了“一边等一角等”的图形特征，所以小明在上截取，构造出全等三角形，从而使问题得以解决．
【独立思考】
(1)请按照小明的思路完成解答，求出的度数；
【实践探究】
(2)王老师改变了条件，并提出新问题，请你借鉴小明的做题方法或者自己的不同的解答方法，完成下题解答．
如图2，已知等腰中，，，点在边上，过点作于点，若，求的值；
【问题解决】
(3)如图3，在（2）的条件下，将沿直线翻折得到，点的对应点为点，延长，相交于点，过点作交于点，交于点．若，求的面积．
12． 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在中，，点在边上，，，延长至点，连结．求证：．
独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．
实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．
“如图2，连结交于，若，，求证．”
问题解决：（3）数学活动小组同学解决完上述问题后，感悟了此题的数学思想方法，对此题进行变式，提出新的问题，请你解答．
“如图3，在中，．点在边上，点在内．，，，连结交于点，求的值”．
13.问题情境：数学课上，王老师出示了一个问题：
如图1，在四边形中，．求证：．
独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．
实践探究：（2）在原有条件不变的情况下，王老师提出了新问题，请你解答．
①请连接，并直接写出的度数；
②探究线段与的关系，并证明．
问题解决：（3）数学活动小组的同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，保留原题条件，如果给出与之间的数量关系，则图2中所有已经用字母标记的任意两条线段之间的比值均可求．该小组提出下面的问题，请你解答．
如图2，若，求的值．
参考答案
1．(1)
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形内角和定理．
（1）根据旋转的性质得到，由是等腰三角形，利用三角形内角和定理即可求解；
（2）根据旋转的性质得到，进而得到，由平角的定义即可计算出，即可得出结论；
（3）延长交于点 H，由旋转的性质得，，，进而得到，推出，根据，推出，得到，即可证明结论．
【详解】（1）解：根据旋转的性质得到，
，，
；
（2）证明：由旋转的性质得：，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，
理由：如图，延长交于点 H，
由旋转的性质得，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
2．(1)①；；②
(2)7
【分析】（1）①由和是旋转的对应线段可得旋转角为，即。在中，利用勾股定理求出的长，又与是对应线段，故，，进而用勾股定理可求出的长；②由可得，从而得到边之间的比例关系，求解即可；
（2）由题意可得，，利用勾股定理直接求得，从而得到的长，连接，利用勾股定理求出和的长，设所求，则用含x的式子表示，的长，又，在中，利用勾股定理构造方程，即可求出x的值，即的长．
【详解】（1）①由题意可得旋转后得到，是旋转角，故
∵在矩形中，，，
∴在中，
是由旋转得到
，
故答案为：；
②∵
∴，
∴，即，
解得.
（2）如图，连接
∵，
∴
∵
∴.
在中，
在中，
设，则
∴，，
在中，
∴
解得
∴
【点睛】本题主要考查旋转的性质，勾股定理解决折叠问题，熟练运用勾股定理是解题的关键．
3．(1)A款粘土每份的进价是10元，则B款改良粘土每份的进价是15元
(2)64份
【分析】（1）设A款粘土每份的进价是x元，则B款改良粘土每份的进价是元，根据用500元购进的A款普通粘土，和用750元购进的B款改良粘土，两种粘土购进的数量相同，列出分式方程进行求解即可；
（2）设购进m份B款改良粘土，根据计划用不超过1320元的总费用，列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：设A款粘土每份的进价是x元，则B款改良粘土每份的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
元，
答：A款粘土每份的进价是10元，则B款改良粘土每份的进价是15元；
（2）解：设购进m份B款改良粘土，则购进份A款改良粘土，
根据题意可得：，
解得：，
答：最多可以购进64份B款改良粘土．
4．(1)
(2)4或5
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握光的反射定律及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
（1）求出点的坐标并利用待定系数法求出所在直线的解析式即可；
（2）取点关于轴的对称点，根据点的坐标得到的坐标，根据光的反射定律，反射光线所在的直线经过点；设反射光线所在的直线的解析式为为常数，且，将的坐标代入，将用含的代数式表示出来；再分别将点、的坐标代入得到对应的值，从而得到的取值范围，进而求得的整数值．
【详解】（1）解：，，且轴，
，
点为平面镜的中点，
，
点的坐标为，
将和分别代入，
得，
解得，
所在直线的解析式为；
（2）解：如图，取点关于轴的对称点．
，
，
根据光的反射定律，反射光线所在的直线经过点，
设反射光线所在的直线的解析式为为常数，且，
将代入，
得，
，
，
当反射光线经过时，得，
解得；
当反射光线经过时，得，
解得，
，
为整数，
或5．
5．(1)，；
(2)小哲将球回抛过程中球离地面的最大高度为米；
(3)．
【分析】（1）点在抛物线上，利用待定系数法即可求得a的值；令，即可求得c的值；
（2）利用二次函数的性质求解即可；
（3）求得点A的坐标范围为到，求得n的取值范围，即可求解．
【详解】（1）解：∵点在抛物线上，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为，
令，则；
（2）解：∵，，
∴抛物线：
，
∵，∴当时，有最大值，最大值为，
∴小哲将球回抛过程中球离地面的最大高度为米；
（3）解：∵到点A水平距离不超过的范围内可以接到球，
∴点A的坐标范围为到，
当经过时，，
解得；
当经过时，，
解得，
∴．
6．问题情境：；问题解决：；问题拓展：
【分析】问题情境：根据弧长计算公式求解即可；
问题解决：如图所示，过点作于E，连接，由切线的性质得到，证明四边形是矩形，得到，则，则，求出，即可得到；
问题拓展：如图所示，过点作于E，于H，同理可证明四边形是矩形，则，证明，得到，设，则，，由勾股定理建立方程，解方程得到，，则．
【详解】解：问题情境：由题意得，弧的长；
问题解决：如图所示，过点作于E，连接，
∵旋转后的扇形和射线相切与点D，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
问题拓展：如图所示，过点作于G，于H，
同理可证明四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去），
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查了求弧长，旋转的性质，切线的性质，勾股定理，矩形的性质与判断，勾股定理等等，解（2）的关键在于作出辅助线构造矩形，解（3）的关键在于作出辅助线构造全等三角形．
7．（1）这个命题是真命题，见解析；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）先证明原命题正确，再证明，又由是半径，则为的切线．即可证明命题是真命题；
（2）如图，在上截取，连接，作于点，证明，则，证明，则，证明，则，即可证明结论成立；
【详解】教材原题：证明：如图，连接，
，
，
与相切于，
，
，
，
，
，
平分，
（1）解：这个命题是真命题，理由如下：
如图，连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是半径，
∴为的切线．
（2）解：．
理由如下：如图，在上截取，连接，作于点，
∵平分．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了切线的判定和性质、圆周角定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，综合性较强，难度较大，添加合适的辅助线是解题的关键．
8．(1)见解析
(2)
(3)米
(4)
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，可得，即可证明结论；
（2）由（1）知四边形是平行四边形，为等腰三角形；求出，当两点重合时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，利用直角三角形的性质即可解答；
（3）分别过点，作的平行线交于点，过点作于点，连接，过点作，证明为等腰三角形，求出米，米，，同理（1）得为等腰三角形，则，求出，同理（1）得，四边形是平行四边形，当时，有最小值，则有最小值，解直角三角形即可求解；
（4）如图，过点作于点，分别过点，作的平行线交于点，连接，同理（1）得为等腰三角形，，证明四边形是平行四边形，得到四边形的面积为，当点重合时，有最小值，最小值为的长，此时，证四边形是矩形，可得有最小值，最小值为的长，再根据，求出，即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰三角形；
（2）解：过点作交延长线于点，
由（1）知四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∵为等腰三角形；
∴，
∴，
当两点重合时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，
此时，在中，，
∴，即的最小为；
（3）解：分别过点，作的平行线交于点，过点作于点，连接，过点作，
∵正六边形中，，米，
∴为等腰三角形，
∴，
∵，
∴（米），
∴（米）；
同理，得米，，
同理（1）得为等腰三角形，则，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理（1）得，四边形是平行四边形，
∴，
当时，有最小值，则有最小值，
此时，，
∴（米），
∴的最小值为米，
即两条步道总长度的最小值为米；
（4）解：如图，过点作于点，分别过点，作的平行线交于点，连接，
同理（1）得为等腰三角形， ，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
∴四边形的面积为，
当点重合时，有最小值，最小值为的长，
此时，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
此时，有最小值，最小值为的长，
∵，，，
∴，即，
∵，即，
∴，
∴四边形的最小面积为．
9．(1)见解析
(2)；
(3)①当，且B与不重合时，与始终平行；②的最大值为．
【分析】（1）尺规作图作出的垂直平分线即可；
（2）过点C作于点G，证明，求得，据此求解即可；
（3）①证明为等边三角形，在中，解直角三角形即可求解；
②过点E作，垂足为点H，，求得，据此计算即可求解．
【详解】（1）解：如图，线段为所作；
（2）解：过点C作于点G，如图，
在矩形中，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
在矩形中，，
∴，
由折叠知，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：选①，记与的交点为点，如图，
若与平行，则，
由知，，
∵，，
∴，
∴，又，
∴为等边三角形，故，
∴在中，，即，
∴要使与平行，只需，
故当，且B与不重合时，与始终平行；
选②，过点E作，垂足为点H，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
由折叠得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为．
10．（1）证明见详解（2）证明见详解（3）证明见详解，
【分析】（1）先得是等腰三角形，根据斜边上的中线等于斜边的一半，则，再运用勾股定理，得，然后证明，即可作答．
（2）将顺时针旋转，得，即点与点重合，点E的对应点是H点，连接，运用勾股定理得，结合，证明，得，即可作答．
（3）先设，，运用三角形内角和得，则，结合外角性质得，由全等性质得，结合（2）得，在中，，
运用角的和差关系得，因为，得，再代入进行化简计算，即可作答．
【详解】解：（1）∵，，
∴是等腰三角形，
则，
∵点E为中点，
∴，
∴，
∴，
则，
∵，
∴，
∵过点B作的垂线（D在上方），E，F两点分别在，上，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）将顺时针旋转，得，即点与点重合，点E的对应点是H点，连接，如图所示：

∴，
∴，
即，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）设，，

∵，
∴，
由（2）得，
∴，
在中，，
∴，
∴
∵过点B作的垂线（D在上方），E，F两点分别在，上，
∴，，
则，
即，
∴．
∵
∴
∴
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转性质，三角形外角性质以及三角形的内角和，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，难度较大，综合性强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
11．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）如图在上截取，连接，利用相似三角形的判定和性质得出，，再由全等三角形的判定和性质得出，，结合图形得出是等边三角形，即可求解；
（2）过点B作于点H，利用全等三角形的判定和性质得出，，再由相似三角形的判定和性质得出，，即可求解；
（3）根据折叠的性质，得，利用相似三角形的判定和性质得出，，确定，设，，得出，确定，然后求面积即可．
【详解】（1）解：如图在上截取，连接，
∵
，
，
又∵是等边三角形，
∴
，
，
∴
，即.
又∵，
∴是等边三角形，
∴；
（2）解：如图，过点B作于点H，
∵
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）解：∵，
，
根据折叠的性质，得，
∴
，
，
，
，
，
∵，
，
设，
∴.
∵，
，
∴
，
，
，
，
，
，
，
．
12．独立思考：见解析；实践探究：见解析；问题解决：
【分析】（1）说明即可证明结论；
（2）首先利用证明，得，取的中点，连接，可知为的中位线，由，则，即可证明结论；
（3）延长至点，使，连接，利用两边成比例且夹角相等得，从而说明，得，设，，，进而解决问题．
【详解】解：（1）证明：，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：，，
，
又，，
，
，
如图2，取的中点，连接，
，
为的中点，
为的中位线，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图3，延长至点，使，连接，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
设，，，
，
，
，
又，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
13．（1）见解析；（2）①；②，见解析；（3）
【分析】（1）由等边对等角得到，再根据，即可得解；
（2）①证明四点共圆，即可得到；②过点作于点，交于点，连接，根据等腰三角形的性质和得到，，根据相似三角形的性质得到，再证明，可得，即可得到结论；
（3）过点作于点，交于点，连接，过点作于点，设，仿照（2）的证明方法先证明，得到，，根据，结合三角形内角和和外角的性质可得，从而证明，可得，推出，，再根据，，利用勾股定理得，所以，再利用四边形是矩形，得出，，由勾股定理得，再根据，由比例性质得，代入数据即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）①∵，
∴，
∴四点共圆，
∵，
∴，
∴；
②，证明如下：
过点作于点，交于点，连接，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
（3）解：过点作于点，交于点，连接，过点作于点，设，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴．
∴的值为．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质与判定，四点共圆等等，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形外角的性质等知识点．通过作辅助线并灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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