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解答题中有关新定义题型（二次函数） 典型考点冲刺练
2026年初中数学中考复习备考
1．新定义：如果实数，满足时，则称点为“初始点”，称点为“生成点”．例如：点是“初始点”，对应的“生成点”为点．
(1)点是“初始点”，且点在一次函数的图象上，求，的值；
(2)点是“初始点”，点对应的“生成点”在反比例函数的图象上，若点的横坐标为，求值；
(3)点是“初始点”，点对应的“生成点”是点，二次函数为常数）的顶点的轨迹记作，若，一次函数为常数）的图像与相交且有两个交点，求的取值范围．
2．新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积，分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”．
比如：一元二次方程的两根分别为，则，所以它的“再生韦达方程”为．
(1)已知一元二次方程，求它的“再生韦达方程”；
(2)已知“再生韦达方程”，求它的“原生方程”．
3．新定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点，满足，，那么称点Ｔ是点A，B的“合作点”，例如：，，当点满足，时，则点是点A，B的“合作点”．
(1)已知点，，点T是点A，B的“合作点”，求出点T的坐标；
(2)若点是抛物线上一动点，点，点是点A，B的“合作点”，试求出T中y关于x的函数表达式；
(3)把（2）中y关于x的函数表达式向上平移3个单位得到新函数，设新函数与平面直角坐标系中的y轴交于点C，点P是新函数图象上一动点，它的横坐标为m．过点P作轴于点M，当点P与点M都不与点C重合时，以，为边作矩形，设矩形的周长为l，请求l与m的函数解析式．
4．新定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点，满足，，那么称点T是点A，B的“合作点”，例如：，，当点满足，时，则点是点A、B的“合作点”．
(1)已知点，，点T是点A，B的“合作点”，求出点T的坐标；
(2)若点是抛物线上一动点，点，点是点A、B的“合作点”，试求出T中的y关于x的函数解析式；
(3)把（2）中y关于x的函数解析式向上平移3个单位得到新函数，设新函数与平面直角坐标系中的y轴交于点C，点P是新函数图象上一动点，它的横坐标为m．过点P作轴于点M，当点P与点M都不与点C重合时，以、为边作矩形，设矩形的周长为．
①求l与m的函数解析式；
②若对于l的每一个取值，都有两个m的值与它对应，直接写出l的取值范围．
5．新定义
【定义与性质】
如图，记二次函数和的图象分别为抛物线和．
定义：若抛物线的顶点在抛物线上，则称是的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即的顶点在上．
【理解与运用】
(1)若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______；
【思考与探究】
(2)设函数的图象为抛物线．
①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求的值；
②如图，在①的条件下，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，为抛物线上任意一点，当 时，求点的坐标．
6．新定义：若函数图象上存在点，将其横坐标变为原来的a倍，纵坐标不变得到点，则称点B为点A的“a倍横变点”，所有“a倍横变点”构成的函数称为原函数的“a倍横变函数”．
例如：函数上的点的“3倍横变点”为，函数的“3倍横变函数”为．
(1)点在一次函数的图象上，点B是点A的“倍横变点”求点B的坐标；
(2)点C在反比例函数的图象上，点D是点C的“倍横变点”，若线段的中点E在直线上，求点C的坐标；
(3)已知函数．
①求出函数的“2倍横变函数”的表达式；
②在①的条件下，将①中“2倍横变函数”在直线上方的部分沿直线向下翻折，与在直线及下方的部分共同组成新函数F的图象，当直线与新函数F的图象恰好有4个公共点时，求出b的取值范围；
7．对于代数式和定义一种新运算：．
(1)求二次函数的顶点坐标；
(2)已知：二次函数（为常数，且）；
（i）若函数的对称轴为直线，求的值；
（ii）若与的函数图象交点为，过点作一条直线，该直线与两个函数图象交于、两点，当、两点横坐标的差为5时，求的值．
8．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标3倍，则称这个点为“三倍点”．如：等都是“三倍点”．
(1)已知二次函数．①若该函数图象向左平移5个单位，其顶点刚好是三倍点，求该函数表达式；②点在该函数图象上，其中，若的最小值是，求的值；
(2)若二次函数的图象上不存在“三倍点”，令，求的取值范围．
9．定义：对于二次项系数之和为，对称轴相同，且图象与轴的交点也相同的两个二次函数，我们称这两个函数互为“和谐二次函数”．
例如：的“和谐二次函数”为．
(1)函数的对称轴为　　　，其“和谐二次函数”为　　　；
(2)已知二次函数，其“和谐二次函数”记为．
若函数的图象与函数的图象交于，两点（点的横坐标小于点的横坐标），动点在点，之间的函数的图象上，当时，求点的横坐标；
函数的图象与函数的图象组成新函数，当时，函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围．
10．新定义：如果一个三角形的三个顶点都在同一条抛物线上，那么这个三角形叫做这条抛物线的内接三角形，这条抛物线叫做这个三角形的外接抛物线．例如：如图1，的三个顶点，，都在抛物线上，我们把叫做抛物线的内接三角形，抛物线叫做的外接抛物线．
问题：
(1)已知点，，则的外接抛物线的解析式为______；
(2)如图2，已知等边是抛物线的内接三角形，求顶点A，B的坐标；
(3)如图2，已知是抛物线的内接三角形，，求边与y轴的交点P的坐标；
(4)已知是抛物线的内接三角形，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．
①当是等腰直角三角形时，求的面积；
②当点C在y轴上，且是钝角三角形时，请直接写出c的取值范围．
11．新定义：已知抛物线（其中），我们把抛物线称为的“轮换抛物线”．例如：抛物线的“轮换抛物线”为．
已知抛物线：的“轮换抛物线”为，抛物线、与轴分别交于点、，点在点的上方，抛物线的顶点为．
(1)如果点的坐标为，求抛物线的表达式；
(2)设抛物线的对称轴与直线相交于点，如果四边形为平行四边形，求点的坐标；
(3)已知点在抛物线上，点坐标为，当与相似时，求的值．
12．如图，已知抛物线顶点的纵坐标为，且与x轴交于点．作出该抛物线位于x轴下方的图象关于x轴对称的图象，位于x轴上方的图象保持不变，就得到的图象，直线与的图象交于O、B、C三点．
(1)求a、b的值；
(2)新定义：点与点的“折线距离”为．已知．
①求k的值；
②以点B为圆心、长为半径的交的平分线于点D（异于点O），交x轴点E（异于点O），求的值．
13．给出如下定义：对于二次函数（其中、、为常数，且，），我们把一次函数叫作该二次函数的“关联函数”．例如：二次函数的“关联函数”为：．
(1)二次函数，求该二次函数的“关联函数”的表达式；
(2)如图1，设二次函数的图像交轴于点，交轴于点，它的“关联函数”的图像为，图像与相交于、两点（点在点的右侧）．
①求点的坐标；
②直线与，分别交于点，，连接交于点M，当时，若的值最大，求的值；
③若二次函数与它的“关联函数”组成新函数，当时，函数的最大值和最小值的差值不随的值变化而变化，求的取值范围．
14．定义：在平面直角坐标系中，点的“神秘点”为，当时，点的坐标为，当时，点N的坐标为．
例如：点的“神秘点”坐标为，点的“神秘点”坐标为．
(1)点的“神秘点”坐标为 ；
(2)点的“神秘点”在的图象上，求的值；
(3)如图，直线与坐标轴分别交于点，，记直线上的所有点的“神秘点”组成一个新图形为．
①点在直线上，求当时点对应的“神秘点”的坐标；
②当抛物线 与图形有2个交点时，求的取值范围．
15．新定义：已知是的函数，若函数图象上存在一点，则称点为函数图象上的“美点”，例如：直线上存在的“美点”是．
(1)求直线上存在的“美点”；
(2)求抛物线上存在的“美点”；
(3)若抛物线上存在两个“美点”，两个“美点”之间的距离为，求的值；
(4)若关于的二次函数的图象上存在唯一的“美点”，且，连接，构成．是边的中点，现将点绕着点按逆时方向旋转（）角度得到点，若点落在中位线所在直线上，直接写出点到的距离．
参考答案
1．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据新定义列二元一次方程组求解即可；
（2）由新定义求得从而得点对应的“生成点”即再利用待定系数法即可得解；
（3）由新定义得，点，，进而求得顶点的轨迹为：，由，得，把代入一次函数为常数），得当与只有相切时，解得，从而即可得解．
【详解】（1）解：∵点是“初始点”，且点在一次函数的图象上，
∴，
解得；
（2）解：∵点是“初始点”， 点的横坐标为4，
∴点的纵坐标为，
∴
∴点对应的“生成点”即
∵在反比例函数的图象上，
∴，
（3）解：∵点是“初始点”，
∴即，
∴点，
∴点对应的“生成点”是点即，
∴，
∴二次函数为常数）化为，
∴为常数）的顶点，
∴顶点的轨迹为：，
∵，
∴，
中，当时，，
把代入一次函数为常数）得
解得
当与只有相切时，
∴，
∴，
解得
如图，
由图形可得
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及性质，一元二次方程根的情况，解二元一次方程组，求反比例函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
2．(1)
(2)或
【分析】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题关键．
（1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后根据新定义求解即可；
（2）令它的“原生方程”两根分别为，根据题意得出，或，然后求解即可．
【详解】（1）解：解
得，
则，
所以一元二次方程的“再生韦达方程”为，
即；
（2）解得，
令它的“原生方程”两根分别为，
则，或．
当，则所求“原生方程”为；
当，则所求“原生方程”为．
综上所述，它的“原生方程”为或．
3．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设，根据“合作点”的定义计算即可得解；
（2）由题意可得，即，由“合作点”的定义可得，由①可得，代入②计算即可得解；
（3）分三种情况：当点在轴左侧时，即；当点在轴右侧，且在直线上方时，即；当点在轴右侧，且在直线下方，即时；分别利用矩形的性质求解即可．
【详解】（1）解：设，
，
由题意，，
；
（2）解：是上一点，
，
即，，
是A，B的“合作点”，
由①得，代入②得；
（3）解：由题意可得：，
当时，，即，
点P是新函数图象上一动点，它的横坐标为m，
∴，
∵轴，
∴，
如图，当点在轴左侧时，即，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴；
如图，当点在轴右侧，且在直线上方时，即时，
同理可得：，，
∴；
如图，当点在轴右侧，且在直线下方，即时，
同理可得：，，
∴；
综上所述，．
4．(1)
(2)
(3)①；②或
【分析】本题考查了新定义、二次函数的图象与性质、矩形的性质，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）设，根据“合作点”的定义计算即可得解；
（2）由题意可得，即，由“合作点”的定义可得，由①可得，代入②计算即可得解；
（3）①分三种情况：当点在轴左侧时，即；当点在轴右侧，且在直线上方时，即；当点在轴右侧，且在直线下方，即时；分别利用矩形的性质求解即可；②画出函数图象，利用函数图象求解即可．
【详解】（1）解：设，
∵，，点是点，的“合作点”，
∴，，
∴；
（2）解：∵点是抛物线上一动点，
∴，即，
∵点是点、的“合作点”，点，
∴，
由①可得：，
代入②得：；
（3）解：①由题意可得：，
当时，，即，
点P是新函数图象上一动点，它的横坐标为m，
∴，
∵轴，
∴，
如图，当点在轴左侧时，即，
，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴；
如图，当点在轴右侧，且在直线上方时，即时，
，
同理可得：，，
∴；
如图，当点在轴右侧，且在直线下方，即时，
，
同理可得：，，
∴；
综上所述，；
②的函数图象如图所示：
，
由图象明显可得，当或时，对于的每一个取值，都有两个的值与它对应．
5．(1)，
(2)①，；②或
【分析】（）根据伴随抛物线的定义解答即可求解；
（）①求出抛物线的顶点坐标，再根据伴随抛物线的定义解答即可求解；②先求出点的坐标，设，过点作于点，则，，由正切的定义得 ，求出的值即可求解；
本题考查了二次函数的新定义，二次函数的几何应用，正切的定义，理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：∵二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，
∴点和 在抛物线上，
∴，，
∴，，
故答案为：，；
（2）解：①∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
∴，
整理得，，
∴，；
②由①得，函数的图象为抛物线，
令，即，
解得或，
∴，，
把代入，得，
∴，
当时，，
解得或，
∵轴，
∴，
设，
如图，过点作于点，
则，，
∵，
∴，
∴，
∴ 或，
解得或，
∴或．
6．(1)
(2)
(3)①；②
【分析】题目属于新定义题型，考查一次函数、二次函数、反比例函数的性质等，理解题意是解题关键．
（1）将代入确定，再由题意即可求解；
（2）设点，依题意可知点，再由中点坐标得出点，代入函数求解即可；
（3）①设函数图像上的点，则点M的2倍横变点N的坐标为，设，得出点，代入函数解析式即可；②根据题意得出折点，，求出当直线过点H时，当直线与在点H下方只有一个交点时，两种情况下b的值，即可求解．
【详解】（1）解：将代入得；，
，
点B是点A的倍横变点，，
点；
（2）设点，依题意得点，
点E是线段的中点，
点，
点E在直线上，
，
解得：，
，
，
点；
（3）①设函数图像上的点，
则点M的2倍横变点N的坐标为，
设，则，
点，
，
函数的2倍横变函数的表达式为：；
②当时，，
整理得：，
解得：，，
折点，，
当直线过点H时，
，，
当直线与在点H下方只有一个交点时，
一元二次方程即：有两个相等的实数根，
，
解得：，
当直线与新函数F的图象恰好有4个公共点时，b的取值范围是．
7．(1)顶点坐标
(2)（i）；（ii）或
【分析】（1）根据新定义可得，再配方得出顶点式，即可得出答案；
（2）（i）根据新定义得出，再根据对称轴得出关于m的方程，求出解即可；
（ii）由（1）得函数，即可求出函数图象与轴交点，再根据函数过，可知交点为，然后设点坐标为，点坐标为，接下来表示出直线的解析式，再将直线的解析式和联立，由两根之和可得，同理可得：，再根据横坐标之差得，结合已知条件得，求出解即可．
【详解】（1）解：由题意得：
，
所以二次函数的顶点坐标；
（2）解：（i）
对称轴为直线，
，
解得，
的值为1；
（ii）由（1）得函数，
令，
解得，．
函数图象与轴交点分别是和．
函数过，则交点为，
过点作一条直线分别与两个函数图象交于、两点，
可设点坐标为，点坐标为，
直线的解析式为．
，
，
∴．
又与交于点、，
，
即，
由两根之和得：．
又与交于点、，
同理可得：，
则，
当、两点横坐标的差为5时，，
或．
8．(1)①，②；
(2)
【分析】（1）①该函数图象向左平移5个单位，解析式为：，顶点坐标为，再结合新定义求解即可；
②先判断顶点在的范围内，求得，从而求得抛物线的表达式及的值；
（2）由二次函数的图象上不存在“三倍点”，可得无解，进一步可得，最后根据二次函数的性质，可求得答案．
【详解】（1）解：①∵二次函数，
∴该函数图象向左平移5个单位，解析式为：，
∴顶点坐标为，
∵顶点刚好是三倍点，
∴，
解得：，
∴该函数解析式为：；
②∵，
抛物线的对称轴为直线，
∵，
当时，的最小值是，
，
，
，抛物线的表达式为，
当时，；
（2）解：二次函数的图象上不存在“三倍点”，
∴无解，
整理得：，
判别式，
解得：，
而
，
当时，，
∵，则图象开口向上，
当时，随的增大而减小，
∴时，．
9．(1)，；
(2)或；．
【分析】（）先求出函数的对称轴为直线，然后通过“和谐二次函数”定义设，得出，再求出，的值即可；
（）由题意知，，联立，从而得出点，，所以轴，，过点作于点，然后根据得出，对于，当时，，然后求出的值即可；
由题意，得函数的图象如图所示，当时，的最大值为，又函数的最大值与最小值的差为，所以最小值应为，过点作轴交的图象于点，将代入，从而可得点的坐标为，由图象可知，当时，函数的最大值与最小值的差为，从而求解．
【详解】（1）解：函数的对称轴为直线，
设其“和谐二次函数”为，
∴，
解得：，
∴其“和谐二次函数”为，
故答案为：，；
（2）解：设其“和谐二次函数”为，
∴，
解得：，
，
联立，解得，，
∵点的横坐标小于点的横坐标，
∴点，，
∴轴，，
如图，过点作于点，
∵
∴，
∴，
∴，
对于，
当时，，
解得或，
∴点的横坐标为或；
由题意，得函数的图象如图所示，
∵点，
∴当时，的最大值为，
∵函数的最大值与最小值的差为，
∴最小值应为，
∵，
∴的顶点的坐标为，
过点作轴交的图象于点，
将代入，
解得或（不合题意，舍去）
∴点的坐标为，
∴由图象可知，当时，函数的最大值与最小值的差为，
∴．
10．(1)
(2)点A的坐标是，点B的坐标是
(3)
(4)①1；②或
【分析】（1）根据点A、B、O三点坐标即可设抛物线解析式为，再将代入计算即可；
（2）根据等边三角形的性质设B点坐标，代入解析式求解即可；
（3）过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，证明∽，设点，点，根据相似比可得，再联立直线和二次函数解析式得到关于x的方程组，利用根与系数的关系即可求出点P坐标；
（4）①由抛物线对称性可得点C为抛物线顶点，设，从而得到点B和点C的坐标，代入抛物线解析式即可求出a值，因而得解；
②由图象得当点A和点B在y轴同侧时，则为钝角三角形，此时；当点A和点B在y轴两侧时，可讨论的临界值，因此得解．
【详解】（1）解：，，
抛物线的对称轴为直线，即y轴，
在抛物线上，
设抛物线解析式为，
将代入得，
的外接抛物线的解析式为；
故答案为：；
（2）解：设与y轴交于点M，
为等边三角形，
，，
，
，
设，则，
，
将B坐标代入得，，
解得，（不合题意，舍去，
点A的坐标是，点B的坐标是；
（3）解：如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点，
设点，点，则，，，，
，
，，
，
，
，
，
，
解得或（舍去），
设直线的解析式为，
由，
得，
，
，
当时，，
点P的坐标是；
（4）解：①如图，设抛物线的对称轴交于点，
由抛物线和等腰直角三角形的对称性，
得，，，
设，
对称轴为，
点B的坐标为，点C的坐标为，
将点B，C的坐标分别代入，得，
解得或（舍去），

，，
；
②点A和点B在x轴上，点C在y轴上，
若当点A和点B在y轴同侧时，则为钝角三角形，
如图，
此时或，
抛物线开口向上，
；
若时，则可先讨论的c的值，
如图，
设，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得或舍去，
此时时，；
综上，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
11．(1)
(2)
(3)或或
【分析】本题考查的是二次函数综合题，重点考查二次函数的性质、平行四边形性质及相似三角形性质，
（1）将点代入表达式，求出m的值，根据“轮换抛物线”定义写出即可；
（2）根据轮换抛物线定义得出抛物线表达式及点E、F坐标，并求出P、Q坐标，根据平行四边形性质得出列方程并解出m值，进而解决问题；
（3）求出，由点关于对称，平行于y轴，得到，根据和相似，分，两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：抛物线：与轴交于点坐标为，
当，代入，得，
，
抛物线表达式为，
抛物线的“轮换抛物线”为表达式为；
（2）解：抛物线：，
当时，，即与y轴交点为，
抛物线：的“轮换抛物线”为，
抛物线表达式为，
同理抛物线与y轴交点为，
抛物线对称轴为直线，
当时，，
抛物线的顶点坐标为，
当时，，
抛物线的对称轴与直线交点，
点在点的上方，
，
解得：，
，
四边形为平行四边形，
，即，
解得：，
；
（3）解：由（2）知
：，：，，，，，
点在抛物线上，
即，
如图，
点关于对称，
，
又平行于y轴，
，
，
和相似，
有两种可能：
情形1：，
，
，，
，
解得：（符合题意）；
情形2：，
，
，，
，
解得：（符合题意）或（符合题意），
综上，当与相似时，的值为或或．
12．(1)，
(2)①；②
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）①求出点，点，由，即可求解；②求出点，得到直线的表达式为：，设点、点，则，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线顶点的纵坐标为，且与x轴交于点．
∴顶点的坐标为：，
则抛物线的表达式为：，
将点代入上式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
即，；
（2）解：①由函数的对称性，翻折后抛物线的表达式为：，
联立上式和得：，
解得：，，
即点，
同理可得，点，
∵，
∴，
解得：（舍去）或；
②由①知，点B的坐标为：，
则直线的表达式为：，
在上取点，则，
作轴于点N，交于点P，过点P作于点T，
∵平分，
∴设，则，，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
则点，
由点P的坐标得，直线的表达式为：，
设点、点，
则，
即，
解得：，，（不符合题意的根舍去）
即点D、E的坐标分别为：、，
则．
【点睛】本题考查的是新定义运算的含义，二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解函数的解析式，一元二次方程的解法，同圆的半径相等，勾股定理的应用，理解题意，选择合适的方法解题是关键．
13．(1)
(2)①；②；③
【分析】（1）根据题意即可直接得出结果；
（2）①利用待定系数法确定，得出该二次函数的“关联函数”为，然后联立求解即可；
②过点A作轴交于点H，得出，设则，表示出和，利用相似三角形的判定和性质得出，，结合图形得出，利用二次函数的性质，即可求解；
③根据题意画出相应函数图象，然后结合二次函数的性质及图象得出函数w的最大值和最小值的差是4，为定值，结合图象求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数，
，
该二次函数的“关联函数”为．
（2）解：①交x轴于点，交y轴于点，
，
，
，
∴该二次函数的“关联函数”为；
根据题意，令，整理得，
解得，
，
∵点在点的右侧，
∴；
②如图，过点A作轴交于点H，
当时，，
∴，
，
设，则，
，
，
，
，
，
∴当时，有最大值为；
③根据题意，由二次函数与它的“关联函数”组成的新函数w如图所示：
，
，
，
∴开口向下，
，
∴当时，取得最小值，最小值为0；当时，取得最大值，最大值为4，
∵当时，函数的最大值和最小值的差值不随的值变化而变化，
∴当的最大值为4时，符合题意，
则当时，即，解得，
，
，
，
∴当时，函数的最大值和最小值的差值不随的值变化而变化，的取值范围是．
14．(1)
(2)
(3)①当时点对应的“神秘点”的坐标为；②的取值范围为或
【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了“神秘点”的定义，一元二次方程根的判别式，求得的函数关系式是解题的关键．
（1）由“神秘点”的定义解答即可；
（2）由“神秘点”的定义可求得的“神秘点”，代入函数解析式可求得的值；
（3）①先求出直线的解析式，再根据，求出得坐标，进而求出点对应的“神秘点”的坐标；
②先求出点对应的“神秘点”的坐标，点对应的“神秘点”的坐标，进而可得当时和当时，“神秘点”所形成图象的解析式，即新的图形的解析式，联立抛物线和图形成一元二次方程，结合图象位置分别讨论一元二次方程解的数量，即可得到结论．
【详解】（1）解：根据题意，，
∴点的“神秘点”坐标为，
故答案为：．
（2）解：当时，点的“神秘点”为，
把代入，得，
解得：；
当时，点的“神秘点”为，
把代入，得，
解得：；
∴综上，．
（3）解：①设直线的解析式为，
将点，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
点在直线上，当时，，
解得：，即，
∴点的坐标为，
∵，
∴点对应的“神秘点”的坐标为；
②点对应的“神秘点”的坐标为，
点对应的“神秘点”的坐标为，
当时，所有“神秘点”组成的图形是以为端点，过点的一条射线，即：，
当时，所有“神秘点”组成的图形是以为端点，过点的一条射线，即：，
∴新的图形是以为端点的两条射线组成的图形，
由和，
得：和，
如图，当抛物线 与图形有1个交点时，方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
如图，当抛物线 与有1个交点时，方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
如图，当抛物线 过点时，
，
解得：，
综上所述，当抛物线 与图形有2个交点时，的取值范围为或．
15．(1)
(2)或
(3)
(4)或或
【分析】本题考查了“美点”的定义，一元二次方程根的判别式，二次函数与几何综合，旋转的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据题意得到，求出，得到直线上存在的“美点”是；
（2）根据题意得 ，即，解得或，即可得到答案；
（3）根据题意得方程有两个根，即方程有两个根，推出两个“美点”的坐标分别为，得到，求出；
（4）根据题意求出，，求出分三种情况讨论，计算即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得，
解得：，
直线上存在的“美点”是；
（2）解：根据题意得 ，即，
解得：或，
抛物线上存在的“美点”是或；
（3）解：根据题意得方程有两个根，即方程有两个根，
，
，，
两个“美点”的坐标分别为，
两个“美点”之间的距离为，
；
解得：；
（4）解：根据题意得方程，即方程只有一个根，
，
解得，
，
，即
解得：，
，
，，
，，，
，，
是直角三角形，
，
为的中点，
，
，
如图，点在中位线上时，作
，，
，
根据旋转的性质得，
，
点到的距离为；
当点在中位线上时，
点到的距离为；
如图，当点在中位线上时，
点到的距离为，
综上所述，点到的距离为或或．
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