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期末复习强化-- 相交线与平行线强化练（易错知识点）
2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）七年级下册
一、单选题
1．如图，直线，相交于点O，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，线段的长度表示点A到直线距离的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．下列各图形中，，能确定的是（　　）
A． B． C． D．
5．一把直尺和一把含有角的直角三角板按如图方式摆放，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．下列语句中是真命题的是（ ）
A．若，那么
B．数轴上的所有点都表示有理数
C．3的平方根是
D．在同一平面内，垂直于同一直线的两条线互相垂直
8．现实生活中，下列现象不属于平移的是（ ）
A．电梯的升降 B．火车在平直的铁轨上行驶
C．飞机起飞前在跑道上滑行 D．卫星绕地球飞行
9．如图，沿着由点到点的方向平移得到，已知，，那么平移的距离是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
10．如图，在三角形中，，把三角形向下平移至三角形后，，，则下列结论：①；②；③；④三角形与三角形的周长和为24；⑤阴影部分的面积为24；其中正确结论的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
11．如图，直线与交于点，于点，若，则______．
12．如图，点B，C在直线l上，且，的面积．若P是直线l上任意一点，连接，则线段的最小长度为___________．
13．已知直线与相交于点平分，若，则__________．（用含的式子表示）
14．如图，将一副直角三角板作如下摆放，，当时，则_____．
15．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为________．
16．下列命题：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
④平行于同一条直线的两条直线互相平行．
其中假命题有______（填序号）．
17．如图，把三角形沿直线向右平移，得三角形（点在边上）．连接，若四边形的周长为，则两块阴影部分的周长之和为______．
18．如图，在中，，将以每秒的速度沿所在直线向右平移，所得图形对应为，设平移时间为t，若要使成立，则t的值为_______．
19．如图，将直角三角形沿射线的方向平移到三角形的位置，若，，则点与点的距离为_____．
20．如图，在平面直角坐标系中，将线段AB向左平移若干个单位得到线段，点的对应点为，点B在x轴上，线段所在的直线与y轴交于点P，连接，，则线段平移了________个单位，的面积为________．
三、解答题
21．如图，直线，，，相交于点，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
22．点是直线上一点，射线平分．
(1)如图①所示，射线在内部，，若，求的度数；
(2)如图②所示，射线在直线下方，，求的度数．
23．已知：如图，于点，于点，且．
求证：．
下面是推理过程，请你填空或填写理由．
证明：于点，于点（______），
（______），
（______），
（______），
（已知），
（等量代换），
，
______（两直线平行，同位角相等）．
____________（等量代换）．
24．如图，已知点，，，都在的边上，，且．
(1)试说明；
(2)若平分，，求的度数．
25．【发现】如图1，平分，平分．
当时，与的位置关系是　　　；
当时，与的位置关系是　　　；
当时，请判断与的位置关系，并说明理由；
【探究】如图2，，是上一点，保持不变，移动顶点，使平分，与存在怎样的数量关系？并说明理由．
【拓展】如图3，，为线段上一定点，为直线上一动点，且点不与点重合．直接写出与的数量关系．
26．已知：如图，直线被直线所截，①，②，③；请从①②③中选两个作为条件，一个作为结论，使其构成一个真命题，并写出证明过程．
(1)条件： ，结论： ；（填序号）
(2)证明：
27．在数学课上，老师提出了这样一个问题：
如图，请从①，②，③中选取两个作为已知条件，第三个作为结论，组成一个真命题．
请你选择一种情况，写出已知、求证、并加以证明．
28．如图，已知线段，点C是线段外一点，连接，（）．将线段沿平移得到线段．点P是线段上一动点，连接，．
(1)依题意在图1中补全图形，并证明：；
(2)过点C作直线．在直线l上取点M，使．当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系．
29．如图，在平面直角坐标系中三角形ABC的顶点坐标分别为，，．将三角形ABC进行平移得到三角形，平移后点B的对应点是点．
(1)请在图中画出三角形；
(2)点P是x轴上一点，当线段长度最小时，点的坐标为______．依据是______；
(3)轴上有一点Q，连接，．若三角形的面积是三角形面积的2倍，直接写出点Q的坐标．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A B B A A D A B
1．B
【分析】本题考查了对顶角相等，几何图形中角度的计算，解题的关键是掌握对顶角相等．
根据对顶角相等可得，再根据角的和差关系可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
2．C
【分析】根据点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度这一定义，逐一判断各选项中线段是否为点到直线的垂线段．
【详解】解：选项A中，不垂直于，线段的长度不表示点到直线的距离；
选项B中，垂直的是，不是，线段的长度不表示点到直线的距离；
选项C中，，垂足为，线段的长度表示点到直线的距离；
选项D中，垂直的是，不是，线段的长度不表示点到直线的距离．
3．A
【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
根据，得出，再利用平角等于求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
4．B
【分析】本题考查平行线的判定，由平行线的判定方法，即可判断，关键是掌握平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
【详解】解：A、由能判定，不能判定，故A不符合题意；
B、由，结合内错角相等，两直线平行判定，故B符合题意；
C、由，不能判定，故C不符合题意；
D、由不能判定，故D不符合题意；
故选：B．
5．B
【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出．由平行线的性质推出，即可求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：B．
6．A
【分析】此题主要考查了平行线的性质与判定．作，得到，再结合，得到，求出，最后根据代入计算即可．
【详解】解：如图：作，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
7．A
【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理．
利用不等式的性质、数轴的定义、平方根的定义及垂直的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、若，那么，正确，是真命题，符合题意；
B、数轴上的点都表示实数，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、3的平方根是，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：A
8．D
【分析】本题主要考查了生活中的平移现象，根据平移的定义直接判断即可，熟练掌握平移的定义是解答本题的关键．
【详解】解：、电梯的升降，属于平移，不符合题意；
、火车在平直的铁轨上行驶，属于平移，不符合题意；
、飞机起飞前在跑道上滑行，属于平移，不符合题意；
、卫星绕地球飞行，不属于平移，符合题意；
故选：．
9．A
【分析】本题考查了平移，熟练掌握平移的性质是解题关键．先根据平移的性质可得平移的距离为的长，再根据即可得．
【详解】解：，
，
即平移的距离为2，
故选：A．
10．B
【分析】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定与性质，掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质可得①②说法正确，由，，，可得③说法错误，依据平移的性质，平行四边形的判定与性质，可判断④⑤说法正确．
【详解】解：三角形向下平移至三角形，
，，
故①②说法正确；
，，
，
故③说法错误；
与的周长和为，
又三角形向下平移至三角形，
四边形是平行四边形，，
，
，
与的周长和为，
故④说法正确；
三角形向下平移至三角形，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，即，
，
故⑤说法不正确；
综上，正确结论的个数为个，
故选：B．
11．/度
【分析】本题考查了垂直的定义，对顶角相等，根据垂直得到，根据对顶角相等即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
12．
【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短知∶当时，的长度最小，从而由三角形的面积公式可求出，即三角形的高；
【详解】解：根据垂线段最短知，当时，的长度最小，
此时△ABC的面积为，
即，可得，
解得：，
即的最小值为
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了角平分线定义，几何图形中角的计算，先根据，得出，，再求出，然后根据角平分线定义得出，最后求出结果即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴
，
∵平分，
∴，
∴．
故答案为：．
14．/45度
【分析】此题考查了三角板的角度计算，平行线的性质．由题意可得，根据平行线的性质可得，由即可求解．
【详解】解：由题意可得，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
15．/65度
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．过顶点作直线，直线将分成两个角、，根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，过顶点作直线，
，
，
，
，
故答案为：．
16．①②③
【分析】本题主要考查了平行公理、垂直的性质、平行线的性质，熟练掌握这些知识的准确内容及适用条件是解题的关键．依次分析每个命题，根据所学的平行公理、垂直的性质、平行线的性质等知识判断真假．
【详解】解： ∵ 必须是过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，
∴ ①是假命题．
∵ 在空间中，过一点与已知直线垂直的直线有无数条；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这里没限定同一平面，
∴ ②是假命题．
∵ 两条平行直线被第三条直线所截，内错角才相等，若两条直线不平行，内错角不相等，
∴ ③是假命题．
∵ 平行于同一条直线的两条直线互相平行，这是平行公理的推论，
∴ ④是真命题．
故答案为：①②③．
17．
【分析】本题考查了平移的性质，由平移的性质可得，，再由四边形的周长为可得，进而即可求解，掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】解：沿直线向右平移，得到，
，，
，，
∵四边形的周长为，
，
，
，
∴两块阴影部分的周长之和，
故答案为：．
18．3或9
【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质，得到，分点在线段上，点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：由平移可得，
当点在线段上时，则：，
∵，
∴，
∴；
当点在线段的延长线上时，则：，
∵
∴，
∴；
综上：或．
故答案为：3或9．
19．5
【分析】本题考查的是平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键．
先根据平移的性质得出，再由，，即可由求解．
【详解】解：连接，
直角三角形沿边的方向平移到的位置，
，
∴，
，，
∴，
即点与点的距离为5．
故答案为：5．
20． 4 8
【分析】本题考查点的平移的坐标变化，平移的性质，平行线间三角形等积变换，掌握平移的性质是解题的关键．
由点A与点的坐标可得线段平移了4个单位长度．连接，由平移的性质得到，．过点作轴于点N，则，进而得到．
【详解】解：∵，，
∴线段平移了4个单位长度．
连接，
∵平移4个单位长度得到，
∴，．
过点作轴于点N，则，
∴，
∵，
∴．
故答案为：4；8．
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查的是同角的余角相等，邻补角的性质；
（1）由可得结论；
（2）利用邻补角的性质求解即可.
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴.
（2）解：∵，，
∴.
22．(1)
(2)
【分析】本题考查了角平分线的定义及平角的定义，角的和差，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）设，则，利用角平分线的定义求得，再利用平角的定义列式计算求得，据此求解即可；
（2）由题意设，，，利用角平分线的定义求得，再利用平角的定义列式计算求得，据此求解即可．
【详解】（1）解：设，则．
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴的度数为；
（2）解：∵，
设，，，
∵平分，
∴，
∴，
解得，
∴．
23．已知；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；； ；
【分析】根据垂直的定义得到，根据平行线的判定得到，由平行线的性质得到，等量代换得到，由平行线的性质得到，等量代换即可得到结论．
【详解】证明：于点，于点（已知），
（垂直的定义），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
（已知），
（等量代换），
，
（两直线平行，同位角相等），
（等量代换）．
24．(1)说明见详解
(2)
【分析】本题考查三角形中求角度，涉及平行线的判定与性质、邻补角定义求角度、角平分线定义等知识，熟记平行线的判定与性质是解决问题的关键．
（1）由得到同旁内角互补，再由即可确定，从而由内错角相等两直线平行即可得到；
（2）由得到同位角相等，再由邻补角定义求出，进而根据角平分线定义求出，结合（1）中结论即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：，
，
则，
平分，
，
由（1）知，．
25．发现：平行；平行；平行，理由见解析；
探究：，理由见解析；
拓展：或
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质求角之间的关系，
对于【发现】，根据角平分线定义得,再结合，然后根据“同旁内角互补两直线平行”得；
对于【探究】，作,由平行线的性质得，再根据角平分线的定义得，即可得出答案；
对于【拓展】，分两种情况：当点Q在射线上运动时，作，根据平行线的性质得,再根据,可得答案；当点Q在射线的反向延长线上运动时（点C除外），再作,根据平行线的性质得，接下来得180°，进而得出答案.
【详解】当时，.
∵平分，平分，
∴,
∴，
∴；
当时，.
∵平分，平分，
∴,
∴，
∴；
故答案为：平行；平行；
当时，.
理由如下：
∵平分，平分，
∴,
∴，
∴；
【探究】，
理由如下：
过E向右作,
∵,
∴,
∴.
【拓展】,或
如图1，当点Q在射线上运动时，.
理由：过点P作,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴；
当点Q在射线的反向延长线上运动时（点C除外），.
理由：过点P作,
∵,
∴,
∴.
∵
180°，
即
综上可知，,或
26．(1)①②，③；或①③，②；或②③，①
(2)见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
（1）根据平行线的判定与性质定理写出是真命题的条件和结论即可；
（2）利用了平行线的判定与性质定理证明即可．
【详解】（1）解：条件：①②，结论：③；（或条件：②③，结论：①；或条件：①③，结论：②）
（2）证明：选条件：①②，结论：③
∵，
∴（同旁内角互补，两直线平行），
∵，
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（平行于同一直线的两条直线平行）．
选条件：①③，结论：②
∵，
∴（同旁内角互补，两直线平行），
∵，
∴（平行于同一直线的两条直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等）．
选条件：②③，结论：①
∵，
∴（内错角相等，两直线平行），
∵，
∴（平行于同一直线的两条直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
27．见解析
【分析】本题考查命题与定理，平行线判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
任选取两个作为已知条件，第三个作为结论，都可以组成一个真命题，选择一种情况，即可写出已知、求证；由平行线的性质推出，得到，判定，推出，由对顶角相等得到，即可证明．
【详解】解：已知：，，
求证：．
证明：，
，
，
，
，
，
，
；
已知：，，
求证：．
证明：，
，
，
，
，
，
；
已知：，，
求证：．
证明：，
，
，
，
，
．
28．(1)见解析
(2)或
【分析】本题考查了平行线的性质、平移的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）根据题意补全图形即可，根据平移的性质可知，，过点作，则，由平行线的性质可得，，由此即可得证；
（2）分两种情况：当在的外部时；当在的内部时；分别求解即可．
【详解】（1）解：补全图形如图所示：
证明：根据平移的性质可知，，
如图，过点作，
则，
，，
，
；
（2）解：如图，当在的外部时，
∵，，
∴，
根据平移的性质可知，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图，当在的内部时，
∵，，
∴，
根据平移的性质可知，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述，与之间的数量关系为或．
29．(1)图见解析
(2)；垂线段最短
(3)点Q的坐标为或
【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）结合垂线段最短可知，当轴时，线段长度最小，进而可得答案．
（3）设点Q的坐标为，根据用矩形求三角形面积方法列方程，求出m的值，即可得出答案．
本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
【详解】（1）解：如图，三角形即为所求．
（2）可知当轴时，线段长度最小，
点P的坐标为
依据是：垂线段最短．
故答案为：；垂线段最短．
（3）设点Q的坐标为，
三角形的面积是三角形面积的2倍，
，
解得或23，
点Q的坐标为或
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