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期末复习强化--二次根式强化练（易错知识点） 2025-2026学年
下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．下列式子中，属于最简二次根式的是( )
A． B． C． D．
2．下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
3．若二次根式有意义，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
4．实数，在数轴上的位置如图所示，化简：（ ）
A． B． C．2 D．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知等腰三角形的两边长为和，则此等腰三角形的周长为（　　）
A． B．
C． D．或
二、填空题
8．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．
9．比较大小：_________（用或填空）
10．与最简二次根式是同类二次根式，则a＝_____．
11．已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：______．
12．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：，所以与互为“对偶式”．则的“对偶式”是________．
三、解答题
13．计算：
(1)；
(2)
14．我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数，如：，这样的化简过程叫作分母有理化．我们把叫作的有理化因式，叫作的有理化因式，完成下列各题．
(1)化简：________；
(2)计算：．
15．【再读教材】我们八年级下册数学课本第17页介绍了“海伦-秦九韶公式”；如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．
【解决问题】已知如图在中，，，．
(1)请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积．
(2)设边上的高为，边上的高为，边上的高为，求的值．
16．小明在解决问题：已知 ，求 的值. 他是这样分析与解的：
，
.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)观察上面解答过程，请写出 ；
(2)化简；
(3)若，请按照小明的方法求出 的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B D A A B D B
1．B
【详解】试题分析：判断一个二次根式是最简二次根式的条件是：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.据此判断，A项中被开方数4，可以写成22，能被开方，不是最简二次根式，B项中的被开方数5，符合条件，所以是最简二次根式，C项中的被开方数是分数，不符合条件，D项中的根式作分母，不符合条件，故选B.
考点：最简二次根式的定义.
2．D
【分析】本题考查了同类二次根式的概念把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，根据同类二次根式的概念即可得出答案．
【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；
B、和不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；
C、和不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；
D、和是同类二次根式，能合并，故本选项符合题意；
故选：D．
3．A
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件，可得，进而得出答案．
【详解】解：∵有意义，
∴，
∴，
故选：A．
4．A
【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负.由数轴得到，，，再计算即可.
【详解】由数轴可得，，，
∴，，，
∴原式
．
故选A．
5．B
【分析】此题主要考查了二次根式的加减运算以及二次根式的乘除法运算．直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘除法运算法则分别计算得出答案．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，无法相加减，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：B．
6．D
【分析】本题考查了算术平方根的应用，化简二次根式．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出，的长，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．
【详解】解：两张正方形纸片的面积分别为和
它们的边长分别为
，
空白部分的面积
．
故选：D．
7．B
【详解】本题考查了二次根式的加法，也考查了等腰三角形的性质：两腰相等，注意要用三角形的三边关系确定出第三边．
先由三角形的三边关系确定出第三边的长，再求周长．
【解答】解：∵，
∴只能是腰长为，
∴等腰三角形的周长．
故选：B．
8．
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式中被开方数是非负数这一条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，由此建立关于的不等式，求解不等式得到的取值范围．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，二次根式中被开方数须大于等于，
∴，
解不等式得：．
故答案为： ．
9．<
【分析】先把两个式子分母有理化，再比较化简后的结果的大小，从而得到原式的大小关系．
【详解】解：，
，
∵，
∴，
∴．
故答案是：<．
【点睛】本题考查二次根式的化简和大小比较，解题的关键是掌握二次根式的化简方法和比较大小的方法．
10．3
【分析】首先化简二次根式，再根据同类二次根式定义可得2a﹣3＝3，再解即可．
【详解】，
∵与最简二次根式是同类二次根式，
∴2a﹣3＝3，
解得：a＝3，
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了同类二次根式，关键是掌握把二次根式化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
11．/
【分析】本题主要考查二次根式的化简，实数与数轴．由数轴可得，，从而得，，再结合二次根式的性质化简进行求解即可．
【详解】解：由数轴得：，，
∴，，
∴
．
故答案为：．
12．
【详解】解：根据定义，与称为一对“对偶式”，
已知所求式子为，其中，，
可得它的“对偶式”为．
13．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先化简，根据二次根式的加减混合运算计算即可；
（2）运用平方差公式，完全平方公式，根据二次根式混合运算计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
14．(1)
(2)2024
【分析】分母有理化的原理是通过平方差公式和同类最简二次根式的平方为有理数，来对分母有理化，根据题目中的计算方式进行计算即可
【详解】（1）解：；
（2）解：，，
同理，可得：
原式
．
15．(1)
(2)
【分析】（1）直接代入公式计算即可；
（2）用底乘高除以2的面积公式与用海伦秦九韶公式计算而得的结果相等，利用（1）中所求的面积，分别求出三角形三条边上的高，再求和即可．
【详解】（1）三角形三边长分别为4、5、7，
，
；
（2），
，
解得，，．
．
16．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化．
（1）根据例题可得：对式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解；
（2）将式子中的每一个分式进行分母有理化，问题随之得解；
（3）根据小明的分析过程，得得，，再整体代入，即可求出代数式的值．
【详解】（1）解：
；
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：，
，
，即，
，，
．
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