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期末复习强化--勾股定理强化练（易错知识点） 2025-2026学年
下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．3 C． D．9
2．已知中，，，，，于点D，的平分线交于点E，则的面积为（ ）
A． B．3 C． D．
3．如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在，，分别以，，为直径向外构造半圆，则图中三个半圆的面积，，之间的关系为（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，在中，，垂直平分，垂足为D，交于点E，平分，那么下列关系式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上点处，已知，，则边的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（ ）
① ②
③ ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，是一个盖子圆心处插有吸管的圆柱形水杯，水杯底面直径为，高度为，吸管长为（底端在杯子底上），露在水杯外面的吸管长度为，则最小为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
9．如图所示，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（ ）
A．4 B． C．5 D．
二、填空题
10．已知一个直角三角形的斜边长是，一条直角边长是，则斜边上的高是_______．
11．如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要_______米．
12．如图，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的正半轴与点A．则点A的坐标为（，0），P点的纵坐标为﹣1，则P点的坐标为___．
13．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边长为，长直角边长为，那么的值是_______．
14．如图，若要建一个蔬菜大棚，棚宽3.2 m，高2.4 m，长15 m，请你计算，覆盖在顶上的塑料薄膜需要____.

15．如图是一个长，宽，高分别为，，的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是_______．

三、解答题
16．如图，小明与小华爬山时遇到一条笔直的石阶路，路的一侧设有与坡面平行的护栏．小明量得每一级石阶的宽为，高为，爬到山顶后，小华数得石阶一共200级，若每一级石阶的宽和高都一样，且构成直角，请你帮他们求护栏的长度．

17．如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在墙AC上，梯子的顶端A离地面的高度为2.4m，如果梯子的底部B向外滑出1.3m后停在DE位置上，则梯子的顶部下滑多少米
18．如图，在中，是内一点，连接，且．已知．

(1)求的周长；
(2)求图中阴影部分的面积．
19．如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8．在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标．
20．如图，在长方形中，，，E为边上的中点，点F从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边向终点C运动，连接，，．设点F运动的时间为t秒．
(1)当t为何值时，？
(2)是否存在某一时刻，使得？如果存在，求出t的值；如果不存在，说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 C A C B C C D B B
1．C
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．先由等腰三角形的性质即勾股定理得出，，再在中由勾股定理得出，最后根据阴影部分面积为进行求解即可．
【详解】解：∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，
在中，，
∴阴影部分面积为：
，
故选：C．
2．A
【分析】本题考查角平分线的性质，勾股定理，三角形的面积．过E作于H，由角平分线的性质推出，由三角形面积公式得到，求出，由勾股定理求出，由三角形面积公式得到，求出，即可求出的面积．
【详解】解：过E作于H，
∵平分，
∵，
∴，
∵，于点D，
∴的面积，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的面积的面积的面积，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
故选：A．
3．C
【分析】本题考查勾股定理的应用及在数轴上表示实数，关键是先利用勾股定理求出的长度，再根据圆的半径相等得到的长度，最后结合数轴上点的位置关系求出点表示的数．
【详解】解：∵数轴上点表示的数是，点表示的数是，
∴；
∵于点，，
∴是直角三角形，，
由勾股定理得：；
∴，
∴点表示的数为，
故选：C．
4．B
【分析】本题考查勾股定理，利用勾股定理解可得，进而推出，即．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵分别以，，为直径向外构造半圆，三个半圆的面积，，，
∴，
∴，
故选：B．
5．C
【分析】综合运用线段垂直平分线性质，角平分线性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，逐一判断，即得．
【详解】解：A、∵垂直平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴选项正确；
B、∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，
∴,
∴，
∴选项正确；
C、∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴选项不正确；
D、∵，，
∴，
∴选项正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了含30度的直角三角形．熟练掌握线段垂直平分线性质，角平分线性质，含30度的直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，是解题的关键．
6．C
【分析】本题注意考查勾股定理与折叠问题．设边的长为，首先根据长方形的性质得出，，，进而求出的长度，然后根据折叠的性质得出，，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：设边的长为，
∵四边形是长方形，
∴，，．
，
．
由折叠的性质可知，，
．
在中，
∵，
，
解得，
∴边的长为，
故选：C．
7．D
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理．
由和都是等腰直角三角形，可证，进而根据“”可证，故结论①正确；由可得，进而可证结论②正确；由和都是等腰直角三角形可得，从而证得，进而得到，，因此，故结论③正确；在中，，在中，，因此，等量代换即可得到，故结论④正确．
【详解】∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，故结论①正确；
∵，
∴，
∴，故结论②正确；
∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故结论③正确；
∵在中，，
在中，，
∴，
∵，，
∴，故结论④正确．
综上，正确的结论有4个．
故选：D
8．B
【分析】本题考查勾股定理，根据题意，利用勾股定理求出吸管在杯内的最大长度，即可得出结果．
【详解】解：如图，由题意，得：，
由勾股定理，得：，
∴最小；
故选B．
9．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理．在边上取点G使，连接，过点A作于点H，证明，可得，从而得到，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，再根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，然后证明，，再根据，即可求解．
【详解】解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H，
∵的平分线交于点D，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，
在中，，，，
∴，
∴为直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
10．
【分析】本题主要考查勾股定理，三角形的面积，根据勾股定理可求解另一直角边的长度，再利用三角形的面积公式计算可求解．
【详解】解：∵直角三角形的斜边长是，一条直角边长是，
∴另一直角边的边长为：，
设该直角三角形斜边上的高为x，
则，
解得，
故答案为：．
11．17
【分析】本题考查了勾股定理的应用，地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此利用勾股定理求出水平距离即可．
【详解】解：根据勾股定理，楼梯水平长度为米，
则红地毯至少要米长，
故答案为：17．
12．
【分析】根据题意知：OP＝OA＝．在直角△OBP中，利用勾股定理求得BP的长度即可．
【详解】解：如图，OP＝OA＝，
在直角△OBP中，OP＝，OB＝1，
由勾股定理知：BP＝．
则P（4， 1）．
故答案是：（4， 1）．
【点睛】本题考查的是坐标与图形的性质，勾股定理，根据题意利用勾股定理求出BP的长是解答此题的关键．
13．25
【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式，根据图形找出等量关系是解题关键．由大正方形的面积，利用勾股定理得到的值，由小正方形的面积得出的值，最后结合完全平方公式，即可得出答案．
【详解】解：大正方形的面积是13，
，
小正方形的面积是1，
，
，
，
，
故答案为：25．
14．60
【分析】在中，先根据勾股定理求出的长，再根据矩形的面积公式即可求出矩形的面积，即盖在顶上的塑料薄膜的面积．
【详解】如图，
由题意可知，在中，，
∴，
又∵在长方形中，，
∴，
即覆盖在顶上的塑料薄膜的面积为60．
故答案为:60．
【点睛】此题考查的是勾股定理在实际生活中的应用及长方形的面积公式，解题的关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，利用勾股定理求出的长．
15．
【分析】本题考查勾股定理的应用．解题关键是展开长方体将，放在同一平面，展开的方式不同，蚂蚁爬行的路线就不同．分三种情况展开，将和放在同一平面内，根据两点之间线段最短和勾股定理可求得的长度，取最小值即可．
【详解】解：由于长方体的平面展开方式不唯一，故分以下三种情况进行讨论：
（1）把前面右面组成一个长方形，连接，如图，
；
（2）把前面上面组成一个长方形，连接，如图，
；
（3）把左面上面组成一个长方形，连接，如图，
，
，
最短路径的长为，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先利用勾股定理求出每一级石阶的斜边长，再乘以200即可求出护栏的长度．
【详解】解：根据勾股定理，每一级石阶的斜边长为，
．
答：护栏的长度为．
17．0.9米.
【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据梯子的长度不变求出CE的长，根据AE=AC-CE即可得出结论．
【详解】由题意得，，
在中，根据勾股定理得：
=
=0.7，
在中，根据勾股定理得：
答：梯子的顶部下滑0.9米.
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
18．(1)30
(2)24
【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．
（1）根据勾股定理得出，再求出结果即可；
（2）先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，，再根据求出结果即可．
【详解】（1）解：，
，
的周长为．
（2）解：由（1）知，
，
，
是直角三角形，，
．
19．E（4，8），D（0，5）
【分析】先根据勾股定理求出BE的长，从而可得出CE的长，求出E点坐标．在Rt△DCE中，由DE=OD及勾股定理可求出OD的长，从而得出D点坐标．
【详解】解：依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，
∴在Rt△ABE中，AE=AO=10，AB=8，
，
∴CE=4，
∴E（4，8）
在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，
又∵DE=OD，
∴（8-OD）2+42=OD2
∴OD=5
∴D（0，5）
【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，勾股定理等知识点，关键在于找到直角三角形．
20．(1)8
(2)存在，
【分析】（1）根据勾股定理求出，进而可以解决问题；
（2）通过证明，从而利用勾股定理列方程求解．
【详解】（1）在长方形中，，，E为的中点，
∴，
在中，，
由勾股定理得，
由题意得，
在中，由勾股定理得，
当时，，
解得（负值已舍去），
即当时，；
（2）存在，理由如下：
在长方形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，理解题意，准确列出方程是解题关键．
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