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期末模拟试题（1） 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．若在实数范围内有意义，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知中，，，分别是，，的对边，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，则以下结论不正确的是（ ）
A．，
B．若，则四边形是菱形
C．若，则四边形是矩形
D．
4．黎侯虎是发祥于山西省黎城县的传统手工艺品，因黎城古称黎侯古国而得名，是国家级非物质文化遗产代表性项目．现在有一款“枕头虎”，每个“枕头虎”的成本是元，每个“枕头虎”的利润是成本的倍少元，设一个“枕头虎”的利润为元，则与的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
5．某校九年级（1）班全体学生在2026年初中毕业模拟体育考试的成绩统计如下表：
成绩（分） 40 48 52 54 55 58 60
人数（人） 2 5 6 6 8 6 7
根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（ ）
A．该班一共有40名同学
B．该班学生这次考试成绩的众数是55分
C．该班学生这次考试成绩的中位数是55分
D．该班学生这次考试成绩的平均数是55分
6．对于一次函数，下列结论错误的是（ ）
A．y随x的增大而增大 B．当时，
C．直线与直线平行 D．函数的图象不经过第三象限
7．在八年级(1)班小组组徽设计比赛中，某六人小组设计的组徽由六个正九边形如图所示拼接而成，则图中的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，中，，，为的角平分线，过点D作的垂线，垂足为点E，则的长为( )
A．4 B． C． D．
9．某生物小组观察一植物生长，得到的植物高度（单位：厘米）与观察时间（单位：天）的关系如图所示（是线段，直线平行于轴）．下列说法中错误的是（ ）
A．从开始观察时起，50天后该植物停止长高
B．该植物最高为
C．线段的函数表达式为
D．第40天，该植物的高度为
10．正方形中，F正方形边上一个动点，连接交对角线于点E，过点E作，，垂足分别为M，N，连接，过E作交于H，下列说法：①四边形的周长是一个固定值；②；③存在某个F点，使得四边形是菱形；④；⑤当F运动到的中点时，；正确的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②⑤ D．①②④⑤
二、填空题
11．计算：的计算结果是_______．
12．直线与轴的交点坐标为______．
13．已知一次函数，当时，函数的最大值是__________．
14．我市今年某五天的空气质量指数为：，，，，，则这组数据的中位数是________．
15．如图，已知函数与函数的图象交于点P，则不等式的解集是______．
16．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的顶点A，B，C，D和边上的点E均在格点上．

（1）线段的长为___；
（2）在线段上找一点M，连接，使得．请用无刻度的直尺在如图所示的网格中，画出点M，并简要说明点M的位置是如何找到的．（不要求证明）_____________________________________．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．先化简，再求值：，其中．
19．为了解八年级学生英语口语情况，某测试中心从甲、乙两校各随机抽取1个班级进行测试，两班人数恰好相同．测试成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为分、分、分、分，测试中心将甲、乙两所学校测试班级的成绩整理并绘制成如下统计图，已知乙学校测试班级有人的成绩是级．
请根据以上提供的信息，解答下列问题：
(1)直接将甲校测试班级的成绩统计图补充完整．
(2)补全下面的表格中的数据：________，________，________．
学校 平均数/分 中位数/分 众数/分
甲校测试班级
乙校测试班级
(3)若甲校八年级有学生人，根据以上信息，估计甲校八年级学生中测试成绩为级及以上的学生有多少人？
20．渝北中学提档升级工程中要维修一段4800米长的围墙，有甲、乙两个工程队可供选择，甲、乙的工作效率始终保持不变．已知甲队每天比乙队多修40米，甲队单独修完这条路所用天数是乙队的．
(1)求甲、乙两队每天各修围墙多少米？
(2)若施工时发现，需要维修的围墙总长度为米．先由甲队单独施工6天，再由两队合作施工天完成任务，请直接列出与的函数解析式．
(3)若需要维修的围墙总长度为4800米，施工方决定先由两队合作施工若干天，再由甲队单独施工完成，要求总工期不超过20天．求两队至少需要合作多少天？
21．如图1，菱形中，，，对角线与交于点，点是对角线上一点（不与、重合），过点作，交于点．用表示线段的长度，点与点之间的距离为．
(1)直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在图2的平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数的一条性质；
(3)若直线与（2）中的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围．
22．“渝超”足球联赛赛季正如火如荼进行中．如图，A，B，C，D在同一平面内．在某次进攻回合中，球员乙在处发任意球，球员甲、丙、丁分别位于处、处、处接球．已知位于的北偏东方向，且位于的北偏东方向40米处，位于的北偏西方向上，位于的正东方向，且位于的南偏东方向上．（参考数据：）
(1)求的长度（结果保留根号）；
(2)当丙在处接到乙传球后立即沿方向跑动，同时甲从处沿方向朝球员丁跑动．在甲与丁相遇前某时刻，丙将球传给了甲，此时甲与丙刚好相距30米，若甲速度为丙速度的3倍，请问此时球员丙离开处多少米（结果保留小数点后一位）？
23．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，点在轴正半轴上，且．点是直线与线段的交点．
(1)求直线的解析式：
(2)若为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标；
(3)如图2，连接，并将直线沿轴向下平移7个单位长度得直线，在直线上是否存在动点，使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在．请说明理由．
24．如图1，正方形中，E，F分别为，上的点，，垂足为H．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，交于点M，O为的中点，交于点N，连接．求证：；
(3)如图3，若正方形的边长为10，P，Q是上两动点，且，请直接写出的最小值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D C D A C C B D
1．C
【分析】根据二次根式被开方数为非负数，列不等式求解即可．
【详解】解：∵在实数范围内有意义
∴
解得．
2．B
【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【详解】解：对于选项A，
∵，三角形内角和为，
∴，
∴是直角三角形，
∴A不符合题意；
对于选项B，
∵，设，
则，根据三角形三边关系判断不是三角形，更不是直角三角形，
∴B符合题意；
对于选项C，
∵，，
∴，
整理得，
∴，是直角三角形，
∴C不符合题意；
对于选项D，
∵，
∴，由勾股定理逆定理得是直角三角形，
∴D不符合题意．
故选：B．
3．D
【分析】利用矩形和菱形的判定、平行四边形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A．平行四边形中，，，故该选项正确，不符合题意；
B. 若，则平行四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意；
C. 当时，平行四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意；
D. 平行四边形中，但不一定成立，故该选项不正确，符合题意；
4．C
【分析】根据每个“枕头虎”的利润是成本的倍少元列关系式即可.
【详解】解：∵每个“枕头虎”的利润是成本的倍少元，
∴．
5．D
【分析】根据表格信息，结合总人数、众数、中位数、平均数的概念逐项判断即可解答．
【详解】解：A．该班总人数为 ，故A选项结论正确，不符合题意；
B．成绩为55分的人数最多，为8人，即该班成绩的众数是55分，故B选项结论正确，不符合题意；
C．40个数据从小到大排列后，中位数是第20和第21个数据的平均数，前四个成绩的总人数为 ，可得第20和第21个数据都是55分，∴ 中位数为 分，故C选项结论正确，不符合题意；
D．计算平均数得：，即平均数不是55分，故D选项结论错误，符合题意．
6．A
【分析】根据一次函数中和的意义，逐一判断选项即可找出错误结论．
【详解】解：对于一次函数，可得，．
A选项：∵，
∴随的增大而减小，原结论错误，符合题意；
B选项：若，即，解得，原结论正确，不符合题意；
C选项：直线与直线的相等，截距不同，因此两直线平行，原结论正确，不符合题意；
D选项：∵，，
∴一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，原结论正确，不符合题意．
7．C
【分析】根据正多边形内角和公式求出正九边形的内角度数，再结合图形可知与两个正九边形的内角组成一个周角，利用周角定义即可求解．
【详解】解：正九边形的内角和为，
正九边形的每个内角为，
由图可知，点是中间围成的多边形的顶点，
且在点处，与两个正九边形的内角拼接成一个周角，
．
8．C
【分析】作于交延长线于G，由平分，得到，由等腰三角形的性质得到，由勾股定理求出，得到，由，得到，因此，即可求出．
【详解】解：作于交延长线于G，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
9．B
【分析】根据直线平行于x轴可判断A；利用待定系数法求出当时，y与x的函数表达式可判断C；求出时的函数值即可判断B；求出时的函数值即可判断D．
【详解】解：A、∵直线平行于x轴，
∴50天后该植物的高度没有发生变化，
∴从开始观察时起，50天后该植物停止长高，原说法正确，不符合题意；
C、设当时，y与x的函数表达式为，
则，
∴，
∴当时，y与x的函数表达式为，原说法正确，不符合题意；
B、在中，当时，，
∴该植物最高为16厘米，原说法错误，符合题意；
D、在中，当时，，
∴观察第40天，该植物的高度为14厘米，原说法正确，不符合题意；
10．D
【分析】证明是等腰直角三角形，得到，证明四边形是矩形，得到，，即可判断①；连接，证明，得到，然后由矩形的性质得到，即可判断②；根据题意直角三角形斜边大于直角边得到，即可得到四边形不可能是菱形，进而判断③；延长交于点G，推出，证明四边形是正方形，得到，证明，得到，然后证明四边形是平行四边形，推出，然后等量代换得到，即可判断④；当F运动到的中点时，设，则然后根据等面积法表示出，然后得到即可判断⑤．
【详解】解：①∵四边形是正方形
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形
∴
∵
∴四边形是矩形
∴，
∴四边形的周长，是定值，故①正确；
②如图，连接，
∵四边形是正方形
∴，
又∵
∴
∴
∵四边形是矩形
∴
∴，故②正确；
③∵四边形是矩形
∴
∴在中，
∴四边形不可能是菱形，故③错误；
④如图，延长交于点G
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
又∵，
∴四边形是矩形
∵
∴四边形是正方形
∴
∴，即
∴
又∵，
∴
∴
∴
∵
∴四边形是平行四边形
∴
∵
∴，故④正确；
⑤当F运动到的中点时，
设，则
∵
∴
∴
∴
∴
∵四边形是矩形
∴
∴
∴，故⑤正确．
综上所述，正确的有①②④⑤．
11．9
【分析】本题考查了二次根式的运算，平方差公式．直接根据平方差公式计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．代入，求出的值，进而可得出直线与轴的交点坐标为．
【详解】解：当时，，
解得：，
直线与轴的交点坐标为，
故答案为：．
13．3
【分析】根据知道一次函数是单调递减函数，即y随x的增大而减小，代入计算即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴一次函数是单调递减函数，即y随x的增大而减小，
∴当时，在时y取得最大值，
即：当时，y的最大值为：，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数，当时y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大；掌握一次函数的性质是解题的关键．
14．
【分析】本题考查中位数的定义，熟练掌握求中位数的方法是解题的关键．
将数据从小到大排列后，取中间位置的数作为中位数．
【详解】解：将数据从小到大排列为，，，，，
数据个数为5，是奇数，
中位数是第3个数据，即．
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，观察图象可得当时，函数的图象位于函数的图象的上方，即可求解．利用数形结合思想解答是解题的关键．
【详解】解：观察图象得：当时，函数的图象位于函数的图象的上方，
∴不等式的解集是．
故答案为：．
16． 如图，取格点G，连接交于点M，则点M即为所求
【分析】（1）根据勾股定理即可求解；
（2）如图，取格点G，连接交于点M，则点M即为所求；作辅助线如图，可得四边形是菱形，推出垂直平分，得出，进而可得结论
【详解】解：（1）；
故答案为：；
（2）如图，取格点G，连接交于点M，则点M即为所求；

理由如下：取格点F，连接，如图，
则，
∴四边形是菱形，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴；
故答案为：如图，取格点G，连接交于点M，则点M即为所求．

【点睛】本题是格点作图题，主要考查了勾股定理、菱形的判定和性质、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质、正确得出点M的位置是关键．
17．(1)
(2)
【分析】（1）先算除法，再算乘法；
（2）根据二次根式的乘法法则运算，同时利用完全平方公式计算．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式乘除法法则运算，解题的关键是先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
18．，
【分析】先根据整式和分式的混合运算的法则把原式进行化简，再根据绝对值的性质和负整数指数幂的运算法则求出x的值，然后代入求值即可．
【详解】解：
，
∵，
∴原式．
19．(1)见解析；
(2)，，；
(3)人
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，平均数、中位数与众数、用样本估计总体，从统计图中获取数据求出中位数和众数是解题的关键．
根据乙学校测试班级有人的成绩是级，占总人数的，可以求出乙校参加测试的总人数人，从而可知甲校参加测试的总人数为人，用减去获得、、等于级的人数，可得获得级的人数，根据获得级的人数补全统计图；
根据平均数、中位数、众数的定义分别求出、、的值即可；
利用样本估计总体，用甲校参加测试的同学中级及以上同学占测试总人数的百分比代表全年级同学中级及以上人数占全年级人数的百分比计算即可．
【详解】（1）解：乙学校测试班级有人的成绩是级，
从乙校测试班级成绩统计图中可以看出乙学校成绩是级的占总人数的，
乙校参加测试的学生的总人数为(人)，
甲校参加测试的学生总数也是人，
甲校成绩为级的人数为(人)，
补全甲校测试班级成绩统计图如下：
：
（2）解：甲校参加测试的共有人，按照成绩从高到低排列第名学生应在级，
甲校测试班级的中位数是分，
即，
乙校测试成绩获得组的人数为(人)，获得级的有(人)，
获得级的有(人)，获得级的有(人)，
乙校测试成绩的平均数为：，
乙校测试成绩中获得级的人数最多，
乙校测试成绩的众数是，
故答案为：，，；
（3）解：甲校测试成绩为级的人数占测试总人数的，
甲校测试成绩为级的人数占测试总人数的，
甲校测试成绩为级及以上的人数占测试总人数的，
利用样本估计总体，可得：甲校测试成绩达到级及以上的人数为(人)，
答：估计甲校八年级学生中测试成绩为级及以上的学生有人．
20．(1)甲队每天修路200米，乙队每天修路160米
(2)
(3)两队至少需要合作5天
【分析】本题考查分式方程的应用、一次函数的应用及一元一次不等式的应用；
（1）设乙队每天修围墙x米，则甲队每天修围墙米，根据题意列分式方程，求解并检验即可；
（2）根据题意求解即可；
（3）设两队需要合作t天，根据题意列出不等式，求解即可．
【详解】（1）解：设乙队每天修围墙x米，则甲队每天修围墙米，由题意得
解得，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（米），
答：甲队每天修路200米，乙队每天修路160米；
（2）解：由题意得：；
（3）解：设两队需要合作t天，由题意得
解得，
答：两队至少需要合作5天．
21．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据菱形的性质得到、、，进而求出的度数，根据含角的直角三角形的性质得到，设、，则，在中，得到，进而得到，利用勾股定理求出长，再次利用勾股定理得到关于的表达式，利用，结合二次根式的非负性求出变量的取值范围；
（2）根据（1）所得函数关系式，利用描点法画出函数的图象，再写出该函数的性质即可；
（3）结合函数图象，找出临界点，当直线的图象在直线和之间时，与函数有两个交点，据此求解即可．
【详解】（1）解：四边形是菱形，
、、、，
，
在中，，
，
，
，
，
，
设、，则，
在中，，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
当时，，
当时，，
；
（2）解：由（1）知，
函数图象如下：
由图象可得：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；
（3）解：如图，由图象可知，直线的图象在直线和之间时，与（2）中的函数图象有两个交点，
将代入得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
的取值范围为．
【点睛】本题考查菱形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形、一次函数的图象和性质，两直线交点问题等，熟练掌握相关性质定理，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键．
22．(1)米
(2)球员丙离开处米
【分析】（1）根据题意，，，，米，过点作于点，则，再根据含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质即可求解；
（2）根据题意是等边三角形，点分别表示丙，甲，设秒时甲与丙刚好相距30米，设丙的速度为，则甲的速度为，根据含30度角的直角三角形的性质得到，则，，，在中，由勾股定理得，代入计算即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
根据题意，，，，米，
∴，，
∴，
在中，，
过点作于点，则，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴（米），（米），
∴（米）；
（2）解：如图所示，，，
∴，即是等边三角形，
∴米，
根据题意，点分别表示丙，甲，设秒时甲与丙刚好相距30米，设丙的速度为，则甲的速度为，
∴，，则，，
过点作于点，
∵，
∴，则，，
∴，
在中，，
∴，
整理得，，
∴，
解得，，，
当时，米，米，
当时，米，米，不符合题意，舍去；
∴球员丙离开处米．
【点睛】本题主要考查方位角，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
23．(1)
(2)或；
(3)存在，或
【分析】（1）根据直线的表达式得到点的坐标，进而得出点、点的坐标，即可求解；
（2）根据题意得出点的坐标，，，设，根据点在直线下方和在直线上方时分情况讨论，列出关于的表达式，根据的取值范围分情况讨论，即可求解；
（3）过点作交轴于点，过点作交的延长线于点，直线和直线交于点，直线和直线分别交直线于点和，在直线上截取，连接，通过证明四边形是平行四边形，得到点即为所求，再通过证明直线垂直平分，得到，继而得到点的两种情况下的坐标.
【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交点，
∴当时，，当时，，
∴，，
∴，则，
∵点是直线与线段的交点，
∴当时，，
∴，
设直线的表达式为：，
∴代入点，，得，解得：，
∴直线的表达式为：；
（2）解：由（1）可知直线的表达式为：，
∴当时，，则，
又∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∵点为直线上一动点，且直线的表达式为，
∴设，
当点在直线下方时，此时，如图所示，连接，，，
∴，
，
，
，
当时，，此时，解得，，
∴，
当时，此时，解得，（不合题意，舍去），
当点在直线上时，点与点重合，不存在，不符合题意，
当点（）在直线上方时，如图所示，连接，，，
，
，
当时，，，解得：，（不合题意，舍去），
当时，，，解得：，
，
综上所述，点的坐标或；
（3）解：存在，
设直线的表达式为：，
代入点、得，解得：，
∴直线的表达式为：，
∴直线沿轴向下平移个单位后，直线的表达式为，
如图，过点作交轴于点，过点作交的延长线于点，直线和直线交于点，直线和直线分别交直线于点和，在直线上截取，连接，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，同理可证，
∵，
∴，
∴，
∴点即为所求，
∵，
∴设直线的表达式为：，
代入点到直线的表达式，得：，解得：，
∴直线的表达式为：，
∴联立直线和直线的表达式，得：，解得：，
∴点，
∵,，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴直线垂直平分，
∴，
∴，
∴联立直线和直线的表达式，得：，解得：，
∴点，
∵，，
∴点的横坐标为：，
∴点的纵坐标为：，
∴点，
综上所述，满足条件的点的坐标为或.
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）证明，利用全等三角形的对应边相等可证得结论；
（2）过点作交于点， 可证出，得，，利用勾股定理得到，进而可证得结论；
（3）过点B作的平行线，过点P作的平行线，两线交于点G，过点G作于点H，交于点K，连接，则四边形为平行四边形，可以得到，当G、P、D三点共线时，最小，最小值为长，然后根据等腰直角三角形的判定与性质及勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴， ，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：过点作交于点，则，
∵四边形是正方形，O为的中点，
∴，，即，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：过点B作的平行线，过点P作的平行线，两线交于点G，过点G作于点H，交于点K，则四边形为平行四边形，
∴，，
∴，即当G、P、D三点共线时，最小，最小值为的长，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴最小值为．
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