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期末模拟试题（2） 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）七年级下册
一、单选题
1．下列实数中，无理数是（ ）
A． B． C． D．
2．4的平方根是（ ）
A．2 B． C． D．不存在
3．以下调查中，最适合采用全面调查的是（ ）
A．了解长江流域的水质污染情况 B．了解某战斗机所有关键零件的尺寸精度
C．测试某品牌手机的电池续航能力 D．了解全国中小学生每日的睡眠情况
4．如图，直线、相交于点，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．将不等式的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问绫、绢各价若干？”大意为：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则每尺绫、每尺绢各值多少分？已知一钱等于十分，设每尺绫值分，每尺绢值分，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
7．在平面直角坐标系中，如果点在x轴上，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．方程组的解满足，则的取值范围为（）
A． B． C． D．
9．如图，已知，为上的两点，为上的两点，延长至点，平分，点在直线上，且平分，若．则下列结论：；；设，则；，其中，正确的有（ ）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标比这个点的横坐标的2倍少2，则称这个点为“幸运点”．给出下列结论中正确的是（ ）
①“幸运点”不可能在第二象限；
②若点是“幸运点”，且在坐标轴上，则点的坐标为；
③以关于，的方程组的解为坐标的点是“幸运点”；
④无论取何值时，以关于，的方程的解为坐标的点一定存在“幸运点”．
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
二、填空题
11．如下图，根据图中已标注出的角，添加一个恰当条件使直线，应添加条件为________．
12．根据下面表格中的数据规律，填空：
x … 0.2026 2.026 20.26 202.6 2026 …
… 0.4501 1.423 4.501 14.23 45.01 …
… 0.5873 1.265 2.726 5.873 12.65 …
若，，则_______．
13．如果点的坐标满足，那么称点P为“平等点”．若第一象限内的某个“平等点”P到x轴的距离为3，则点P的坐标为__________
14．火车于第一天x时y分自长沙出发，第二天y时z分抵达北京，途中历时z小时x分钟，则_______．
15．对于两个互不相等的数a，b，我们用符号来表示其中较大的数和较小的数．规定和分别表示这两个数中较小的数和较大的数，例如：，．若关于x的不等式组，恰有三个整数解，则满足条件的整数t有 _____个．
16．已知将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数减去个位数的两倍，若所得之差能被7整除，则原多位自然数一定能被7整除，也称这个数为“美好数”．例如：将数1078分解为8和107，，因为91能被7整除，所以1078能被7整除，就称1078为“美好数”．判断1169是不是“美好数”______．若一个四位自然数是“美好数”，设的个位数字为，十位数字为，且个位数字与百位数字的和为13，十位数字与千位数字的和也为13，记，则的最大值为______．
三、解答题
17．解不等式组
(1)解不等式①得___________；
(2)解不等式②，得___________；
(3)把不等式①和②在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集为___________
18．解方程组：
(1)
(2)
19．完成下面的证明并在括号内填上推理的依据．
如图，已知，，垂足分别为H，F，．
求证：．
证明：∵，（ ），
∴，（ ），
即．
∴（ ）．
∴_____（ ）．
∵（已知），
∴_______（ ）．
∴（ ）．
∴（ ）．
20．为了解某校七年级男生的耐力情况，某兴趣小组随机抽取了该年级部分男生的跑成绩，将所得数据进行整理，分成，，，，五组，并绘制成如图所示的未完成的频数表与频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）．
抽取的男生跑成绩频数表
组别 频数 频率
A 3 a
B 6 0.1
C 12 0.2
D b c
E 15 0.25
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)填空：=_____，=_____，=_____．
(2)补全频数分布直方图．
(3)若该校七年级有800名男生，请根据样本估计跑成绩在（不含）内的男生人数．
21．如图，已知点E、F在直线上，点N在线段上，与交于点M，，，求证：．
22．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：（水价计费自来水销售费用污水处理费用）
已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．
自来水销售价格 污水处理价格
每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨
17吨及以下 a
超过17吨不超过30吨的部分 b
超过30吨的部分
(1)求a，b的值．
(2)小王家6月份交水费184元，则小王家6月份用水多少吨？
23．如图（1），在平面直角坐标系中，，且满足过点C作轴于点B，连接．
(1)求三角形的面积．
(2)若过点B作交y轴于点D，且分别平分，如图（2），求的度数．
(3)在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图1，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点是第四象限内一点，轴于点，且．
(1)求点、两点的坐标；
(2)如图2，将点向左平移4个单位得到点，连接，与轴交于点，求点的坐标；
(3)在（2）条件下，轴上是否存在点，使和的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B B A D B B C D
1．C
【详解】解：选项A：是整数，属于有理数；
选项B：，2是整数，属于有理数；
选项C：中是无限不循环小数，因此是无理数；
选项D：，5是整数，属于有理数．
2．C
【详解】解：的平方根是，
3．B
【分析】本题考查全面调查的适用条件，根据调查的范围、要求和性质，判断符合全面调查适用要求的选项即可．
【详解】全面调查适用于要求结果精确、调查不具有破坏性、调查对象可控的情况，当调查范围广、具有破坏性或调查对象数量过大时，适合抽样调查．
∵选项A调查长江流域水质，范围过大，无法逐一调查，适合抽样调查，不符合要求．
∵选项C测试手机电池续航，测试过程具有破坏性，且样本数量大，适合抽样调查，不符合要求．
∵选项D调查全国中小学生睡眠情况，调查对象数量多范围广，适合抽样调查，不符合要求．
∵选项B中战斗机关键零件的尺寸精度直接影响飞行安全，要求绝对精准，必须对所有关键零件逐一检查，因此适合全面调查．
4．B
【分析】根据对顶角相等可得，结合已知可得，再利用垂直定义得，最后根据求解即可．
【详解】解：直线、相交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
5．A
【详解】解：解不等式得：，
在数轴上表示为
6．D
【分析】设每尺绫值分，每尺绢值分，根据三尺绫和四尺绢共值四钱八分可得方程，根据七尺绫和二尺绢共值六钱八分可得方程，据此列出方程组即可．
【详解】解：设每尺绫值分，每尺绢值分，
由题意得，．
7．B
【分析】根据x轴上点的纵坐标为0，求出a的值，再计算横坐标即可得到点P的坐标．
【详解】解：∵点在轴上，
∴点的纵坐标为，即，
解得，
将代入横坐标得：，
∴点的坐标为．
8．B
【分析】先利用加减消元法先解出方程组的解，再代入不等式即可求出的取值范围．
【详解】解：，
①②得，
解得．
把代入①得，
解得．
将，
代入得，
整理得，
解得：．
9．C
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质，分别对四个结论逐一验证即可．
【详解】解：∵平分，
∴，故正确，符合题意；
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，故正确，符合题意；
如图，过点作，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，故错误，不符合题意；
∵，
∴，
∵平分，
∴，
由知，
∴，
∴，
∵点在直线上，
∴，故正确，符合题意；
综上可知，正确．
10．D
【详解】解：结论①：一个点的纵坐标比这个点的横坐标的2倍少2，即幸运点满足．若“幸运点”在第二象限，则应满足，即，此不等式组无解，因此“幸运点”不可能在第二象限，故结论①符合题意；
结论②，若“幸运点”在坐标轴上，则当在轴上时，，即，解得．当在轴上时，，此时，因此或，故结论②不符合题意；
结论③，对于方程组由①+②，得 ，整理得，因此以关于，的方程组的解为坐标的点是“幸运点”，故结论③符合题意；
结论④，，当时，，，此时点为“幸运点”，故结论④符合题意．
综上可知，正确的结论是．
11．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理求解即可．
【详解】解：由“同位角相等，两直线平行”可知当时，，
由“内错角相等，两直线平行”可知当时，，
若，由题可知，由此可得，则，
综上，可添加的条件为：或或等．
故答案为：（答案不唯一）．
12．
【详解】解：由表格可得，被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位；被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位，
∴，，
∴．
13．
【分析】本题主要考查了坐标与图形．根据题意可得，再由“平等点”的定义，可得，即可求解．
【详解】解：∵第一象限内的某个“平等点”P到x轴的距离为3，
∴，
∴，
解得：，
此时点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为．
故答案为：
14．12
【分析】本题主要考查经过时间的计算．本题中经过的时间不在一天内，所以我们先算出第一天经过的时间再加上第二天经过的时间即可．
分与两种情况，结合问题实际解答，舍去不合实际的．
【详解】解：∵第一天x时y分自长沙出发，第二天y时z分抵达北京，
∴当时，途中历时时分，
∵途中历时z小时x分，
∴，
解得；
当时，途中历时时分
∴，
解得（要是整数，不合题意，舍去），
故答案为：12．
15．9
【分析】本题考查了新定义，根据不等式组解的情况求参数的取值范围，根据新定义得，从而，根据恰有3个整数解得，求出t的取值范围即可求解．
【详解】解：由题意可得：，
解得，
∵恰有3个整数解，
∴整数解为：2、1、0，
∴，
解得，
则整数t有：，共9个．
故答案为：9．
16． 是 4
【分析】根据定义直接判断1169即可；由已知这个四位数的千位数字是，百位数字是，且，，由已知可得能被7整除，分别代入数验证可得，；，；，；，；，，即可求解．
【详解】解：1169：个位数字为9，个位之前的数为116．
计算：．
∵，能被7整除，
∴1169是“美好数”．
∵的个位数字为，十位数字为，且个位数字与百位数字的和为13，十位数字与千位数字的和也为13，
∴这个四位数的千位数字是，百位数字是，
∴且 ，
且，
四位数是“美好数”，
能被7整除，即能被7整除，
∵，
∴能被7整除，
，；，；，；，；，；
的最大值是4．
17．(1)
(2)
(3)见解析
(4)
【分析】（1）根据一元一次不等式的解法可得答案；
（2）根据一元一次不等式的解法可得答案；
（3）直接将两个不等式的解集表示在数轴上即可；
（4）根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，可确定不等式组的解集．
【详解】（1）解：解不等式①，得
（2）解：解不等式②，得
（3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图所示．
（4）解：原不等式组的解集是
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键．
（1）方程组利用代入消元法求解即可；
（2）方程组利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：，
将①代入②得：，
解得：，
将代入①得：．
解得：，
原方程组解为；
（2）解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为．
19．已知；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．本题根据垂直的定义，平行线的判定定理与性质定理求证即可．
【详解】证明：∵，（已知），
∴，（垂直的定义），
即．
∴（同位角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
∵（已知），
∴（同角的补角相等）．
∴（内错角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：已知；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
20．(1)0.05；24；0.4
(2)见解析
(3)280人
【分析】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
（1）先根据A组频数及频率求出样本容量，再根据频率频数总数、频数之和等于总数求解即可；
（2）根据所求b的值即可补全图形；
（3）总人数乘以样本中A、B、C组频率之和即可．
【详解】（1）解：样本容量为，
则，
，
，
故答案为：0.05；24；0.4；
（2）补全图形如下：

（3）（人）
答：在内的男生人数有280人．
21．见解析
【分析】根据，可得，从而得到，继而得到，即可求证．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
22．(1)a的值是，b的值是
(2)40吨
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
（1）根据题意和表格可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出a、b的值；
（2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得小王家本月用水量为多少吨．
【详解】（1）解：根据题意得：
，
解得：，
即a的值是，b的值是；
（2）解：设小王家6月份用水x吨，
根据题意得：30吨的水费为：，
∵，
∴小王家6月份计划用水超过了30吨，
∴，
解得：，
即小王家6月份用水量40吨．
23．(1)4
(2)
(3)P点的坐标为或
【分析】本题是三角形的综合应用，坐标与图形，解答本题主要应用了非负数的性质、三角形的面积公式，平行线的性质，依据三角形的面积公式、梯形的面积公式依据图形中相关图形之间的面积关系列出关于和的方程是解题的关键．
（1）先依据非负数的性质可求得、的值，从而可得到点和点的坐标，接下来，再求得点的坐标，最后，依据三角形的面积公式求解即可；
（2）如图甲所示：过作，首先依据平行线的性质可知，接下来，依据平行公理的推理可得到，然后，依据平行线的性质可得到，，然后，依据角平分线的性质可得到，最后，依据求解即可；
（3）①当在轴正半轴上时，设点，过点作轴交的延长线于，过作轴交的延长线于，然后，用含的式子表示出的长，然后依据列出关于的方程求解即可；
②当在轴负半轴上时，如图4，过作轴交的延长线于，过作交于，设点，然后用含的式子表示出、的长，最后，依据列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，
（2）如图2中，过作．
∵轴，
∴轴，，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵分别平分，
∴，
∴．
（3）①当在轴正半轴上时，如图3中．
设点，过点作轴交的延长线于，过作轴交的延长线于，则．
∵，
∴，
∴，
解得，即点的坐标为．
②当在轴负半轴上时，如图4，过作轴交的延长线于，过作交于．
设点，则．
∵，
解得，
∴点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
24．(1)，
(2)
(3)的坐标为或
【分析】本题考查了非负数的性质，三角形的面积等知识．
（1）利用非负数的性质求出、、的值即可解答；
（2）由图可知，，利用面积法构建方程求解即可；
（3）由题可得，，，利用面积法构建方程求解即可．
【详解】（1）解：，
又，，，
，，，
；
（2）向左平移4个单位得，
，
，
，
，
，
；
（3），，
，
，
，，
，即，
当在上方时，，
当在D下方时，，
故的坐标为或．
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