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期末模拟试题（3） 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）七年级下册
一、单选题
1．16的算术平方根为（　　）
A． B．4 C．2 D．
2．下列调查中，最适合全面调查的是（　　）
A．了解全国中学生的视力情况
B．调查某款新能源车电池的使用寿命
C．对2025年春节联欢晚会满意度的调查
D．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件
3．若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．关于，的方程组，下列做法可以消去未知数的是（ ）
A． B．
C． D．
5．在平面直角坐标系中，点，，若直线与轴平行，则的值为(　　)
A．0 B．3 C．4 D．7
6．已知关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，长方形纸片沿对折后，点B、C的对应点分别为点．与交于点M．若 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
8．已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论：
①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；
②当时，方程组的解也是方程的解；
③无论取什么实数，的值始终不变．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
9．若方程组与方程3ax－2ay＝12具有相同的解，则a的值为（ ）
A．3 B．－3 C．2 D．－2
10．如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，其余部分为绿地，小路的左边线向右平移就是它的右边线，这块草地的绿地面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．由，得到用表示的式子为______．
12．点P在第____象限．
13．若n为正整数，且满足，则________．
14．如图，，点在上，平分，则______．
15．若实数，同时满足，，则的值为____．
16．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图3：当°时，．则其余符合条件的度数为_____．
三、解答题
17．（1）计算：
（2）
解：
第一步
第二步
第三步
①以上解方程的过程中从第__________步开始出现错误，错误的原因是__________
②请写出正确的解方程过程．
18．解下面的方程组：
(1)；
(2)．
19．解不等式（组）：
(1)；
(2)．
20．月日是“国际劳动节”，某校学生会发起了“劳动最光荣”的家务劳动主题活动，鼓励学生利用小长假主动参与家务劳动．返校之后，为了解学生假期家务劳动时间的情况，校学生会随机调查了部分学生的劳动时间（单位：分钟），将劳动时间分为四组，整理并制作出如下不完整的统计表和统计图，请根据图表信息解答以下问题．
学生劳动时间统计表
组别 时间 人数
组
组
组
组
(1)本次抽样调查共抽取了_______名学生； _______；扇形统计图中组对应的圆心角度数为_______；
(2)补全频数分布直方图：
(3)若将劳动时间在分钟以上（包括分钟）的学生评为“劳动小模范”，且该校共有名学生，请估计该校“劳动小模范”有多少人？
21．如图，已知，，，试说明：．完善下面的解答过程，并填写理由或数学式：
解：（已知），
（ ）．
（ ）
（已知），
（ ）．
（ ）．
∴（ ）
即：，
∵（已知）
∴（ ）
即：，
∴（ ）
22．为响应眉山东坡区“蜀里安逸 约惠东坡”消费焕新工程，落实家电“以旧换新”补贴政策，某家电卖场特推出惠民促销活动．请根据以下素材完成任务：
“以旧换新”政策
素材1 购买3台节能空调和2台智能洗衣机，补贴后实际花费7900元；
素材2 购买2台节能空调和3台智能洗衣机，补贴后实际花费8100元．
解决问题
(1)任务1，计算节能空调和智能洗衣机每台的补贴后金额各是多少元？
(2)任务2，东坡区某企业为职工采购节能空调和智能洗衣机共10台，要求节能空调的数量不超过7台，且补贴后的实际总花费不超过16000元，请计算出有几种采购方案？哪种方案最省钱？
23．已知：E，F分别是直线和上的点，，G，H点为平面内两个动点．
(1)如图1，G，H在两条直线之间时，，试说明：；
(2)如图2，作直线，G点在下方，H点在和之间，连接和的角平分线交于点G．探究与的数量关系；
(3)如图3，H，G在直线上，射线绕点E以每秒的速度逆时针旋转，射线在旋转6秒后开始绕点F以每秒的速度顺时针旋转．射线旋转后两条射线同时停止．设射线旋转t秒时，射线，直接写出t的值．
24．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B在坐标轴上，其中，满足．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)将平移到，点A对应点，若三角形的面积等于13，求点D的坐标；
(3)如图2，若平移到，点C，D也在坐标轴上，F为线段上一动点不包含点A，点B，连接平分，，试探究与的数量关系．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C C B A B D A A
1．B
【详解】解：∵ ，且为正数，
∴ 的算术平方根为．
2．D
【分析】本题考查普查与抽样调查的选择．普查适用于结果要求精确、个体数量较少或事关重大的情况；抽样调查适用于数量庞大、具有破坏性或成本过高的情况．据此求解即可．
【详解】A．全国中学生数量庞大，全面调查难度大，适合抽样调查，排除；
B．电池寿命测试具有破坏性，全面检测会导致所有电池报废，只能抽样，排除；
C．春晚观众群体广泛，全面调查不现实，需采用抽样，排除；
D．运载火箭的零部件必须逐一检查，确保绝对安全，必须全面调查．
故选：D．
3．C
【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【详解】解：A．∵，
∴， 原变形错误，故该选项不符合题意；
B．∵，
∴，原变形错误，故该选项不符合题意；
C．∵，
∴，原变形正确，故该选项符合题意；
D．∵，
∴，原变形错误，故该选项不符合题意；
故选：C
4．C
【详解】解：得，
观察四个选项，选项C符合题意．
5．B
【分析】本题考查平面直角坐标系中平行于轴的直线的坐标特征，关键是掌握“平行于轴的直线上的所有点横坐标相同，纵坐标不相等”这一核心知识点．根据直线与轴平行的性质，得出、两点的横坐标相等，据此列出关于的一元一次方程，求解方程即可得到的值．
【详解】解：∵直线与轴平行，点，点，
∴，得；
故选：B．
6．A
【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，正确理解“不等式组有且只有3个整数解”是解本题的关键．
先解不等式组得到解集为，由有且只有3个整数解，确定整数解为，从而推导出的取值范围．
【详解】解：解不等式得，
解不等式得，
∵不等式组有解，
∴不等式组的解集为，
∵有且只有3个整数解，
∴整数解为，
∴的取值范围为，
故选：A．
7．B
【分析】根据长方形的性质得出平行线，根据平行线的性质得出，再根据翻折的性质得出相等的角，最后利用平行线的性质求解．
【详解】解：∵四边形是长方形，
∴，
∴，
根据翻折的性质可得，
∵，
∴．
8．D
【分析】先解得方程组的解，根据题意逐一解答判断即可．
【详解】解：，
得，
解得，
把代入，得，
故方程组的解为，
①当这个方程组的解，的值互为相反数时，得，
解得，结论正确；
②当时，方程组的解为，
方程，
而，
故方程组的解也是方程的解，
故结论正确；
③由，得，是定值，
故无论取什么实数，的值始终不变，结论正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了解方程组，相反数的性质，方程同解，定值问题，熟练掌握解方程组是解题的关键．
9．A
【详解】解方程组，得
因为方程组与方程3ax－2ay＝12具有相同的解，
所以6a－2a＝12，解得a＝3
10．A
【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
根据平移的性质可得：这块草地的绿地面积是长为，宽为的长方形，然后进行计算即可解答．
【详解】解：∵小路的左边线向右平移就是它的右边线，
∴，
∴这块草地的绿地面积是长为，宽为的长方形，
故，
∴这块草地的绿地面积是，
故选：A．
11．
【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握等式的性质是解题的关键．将看作已知数，移项、化系数为1，即可求解．
【详解】解：，
移项得：，
解得：．
故答案为：．
12．二
【分析】根据平方的非负性判断点纵坐标的符号，结合横坐标的符号，根据象限内点的坐标特征判断点所在象限．
【详解】解：由点可知，点的横坐标为，可得，
∵对任意实数，都有，
∴，即点的纵坐标为正，
∵平面直角坐标系中，第二象限内点的坐标特征为横坐标小于，纵坐标大于，
∴点在第二象限．
13．3
【分析】先估算出的取值范围，结合已知不等式，根据为正整数即可求出的值．
【详解】解：，，且，
，
，且为正整数，
，
．
14．/65度
【分析】由平行线的性质推出，求出，由角平分线定义得到，由垂直的定义得到，由平角定义得到．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
15．
【分析】本题考查实数，绝对值，二元一次方程组的知识，解题的关键是先确定，的取值范围，两式子作差可得：，最后分类讨论，，即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴
∴，
由可得，，
当时，，
∴，
解得：，
∴，
∴；
当时，，
∴，不符合题意；
∴．
16．或或
【分析】本题考查了平行线的性质，；熟练掌握平行的性质是解题的关键；
分，，三种情况，分别利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图3，当时，；
如图4，当（或）时，，
∴，
∴；
如图5，当时，，
∴．
综上所述，其他可能符合条件的度数为或或．
故答案为：或或．
17．（1）（2）①一，9的平方根应为②见详解
【分析】（1）利用立方根和算术平方根的定义、绝对值得性质以及乘方运算法则求解即可；
（2）①由平方根的性质易知解方程的过程中从第几步开始出现错误以及错误的原因；②利用平方根的性质解方程即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）①以上解方程的过程中从第一步开始出现错误，错误的原因是9的平方根应为；
②正确的解方程过程为：，
，
，
，
∴或．
【点睛】本题主要考查了实数的运算以及利用平方根解方程的知识，熟练掌握相关知识和运算法则是解题关键．
18．(1)
(2)
【详解】（1）解：
①得，③
②得，④
③④得，
解得：
将代入①得，
解得：
∴方程组的解为：；
（2）解：
由①得：③
由②得：④
③得，⑤
⑤④得，
解得：
将代入③得，
解得：
∴方程组的解为：
19．(1)
(2)
【详解】（1）解：
解得
∴原不等式的解集为；
（2）解：
由①得，；
由②得，
∴原不等式组的解集为．
20．(1)，，
(2)见解析
(3)该校“劳动小模范”有人
【分析】（1）由组人数及其所占百分比可得抽取的总人数，用抽取的总人数减去其他各组的人数可得的值，用乘以组所占百分比得到组对应的圆心角度数；
（2）根据的值补全频数分布直方图即可；
（3）总人数乘以样本中“劳动小模范”人数所占比例即可．
【详解】（1）解：本次抽样调查共抽取学生（名），
，
扇形统计图中组对应的圆心角度数为；
（2）解：补全频数分布直方图如下：
（3）解：（人），
该校“劳动小模范”有人．
21．；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，按照所给的证明思路，利用平行线的判定与性质定理，完善证明过程即可．
【详解】解：∵（已知），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
即，
∵（已知），
∴（等量代换），
即，
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
22．(1)补贴后节能空调每台1500元，智能洗衣机每台1700元
(2)有三种采购方案，采购节能空调7台，智能洗衣机3台更最钱
【分析】（1）设补贴后节能空调每台x元，智能洗衣机每台y元，根据素材1和素材2的购买情况列方程组求解即可；
（2）设采购节能空调a台，则采购智能洗衣机台，根据节能空调的数量不超过7台，且补贴后的实际总花费不超过16000元列不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设补贴后节能空调每台x元，智能洗衣机每台y元，由题可得：
，
解得：，
∴补贴后节能空调每台1500元，智能洗衣机每台1700元；
（2）解：设采购节能空调a台，则采购智能洗衣机台，由题可得：
，
解得：，
∵a为正整数，
∴，
方案一：采购节能空调5台，智能洗衣机5台，元，
方案二：采购节能空调6台，智能洗衣机4台，元，
方案三：采购节能空调7台，智能洗衣机3台，元，
∵，
∴有三种采购方案，采购节能空调7台，智能洗衣机3台最省钱．
23．(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】本题考查角平分线，平行线的判定与性质，平行公里的推论，旋转，一元一次方程，掌握知识点是解题的关键．
（1）过点G作，过点H作，可得，，继而推导出，即可解答；
（2）先证明，继而推导出即可解答．
（3）分类讨论，逐一分析，即可解答．
【详解】（1）如图1，
过点G作，过点H作，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（2）∵平分平分，
∴，
∵
，
∴，
∴
∴．
（3）分两种情况：
①如图3①，
由题意得，，
则，
当时，，
∴，
解得：；
如图3②，有
，
当时， ，
∴，解得：．
综上所述，t的值为或．
24．(1)点，点
(2)
(3)
【分析】（1）根据非负数的性质分别求出a、b,得到答案；
（2）如图1中，分别过点B，A作x轴，y轴的垂线交于点M，过点C作于N．根据构建方程求解即可．
（3）如图2中，延长交的延长线于M．首先证明，再利用结论，求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，且 ，
∴，
解得，
∴点，点；
（2）解：如图1中，分别过点B，A作x轴，y轴的垂线交于点M，过点C作于N．
∵，
∴，
解得：，
则点C的坐标为，
∵，
由点平移到点，平移方式为向左平移2个单位，再向下平移5个单位，
根据平移规律，点D的坐标为；
（3）解：如图2中，延长，交的延长线于M．
∵由平移可得，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
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