资源简介

南宁三中2026届毕业班收网题
数学试卷
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若数列1，b，9是等比数列，则实数b的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则（ ）．
A． B． C． D．
4．某公司收集了某商品销售收入（万元）与相应的广告支出（万元）共10组数据（），绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合.
若将图中10个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ）
A．决定系数变小 B．残差平方和变小
C．相关系数的值变小 D．解释变量与预报变量相关性变弱
5．已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，若，夹角为钝角，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．过圆上一点的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．掷红蓝两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件：红骰子的点数为，：红骰子的点数为，：两个骰子的点数之和为，：两个骰子的点数之和为，则（ ）
A．与对立 B．与不互斥
C．与相互独立 D．与相互独立
二、多选题
9．已知点在双曲线的右支上，，是双曲线的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．双曲线C的离心率
C．双曲线C的渐近线方程为 D．点到C的渐近线的距离为
10．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．的单调递减区间为
B．当时，的最小值为
C．的极大值为
D．在点处的切线方程为
11．如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，则下列说法正确的是（ ）

A．若，则异面直线和所成的角的余弦值为
B．若，则点到平面的距离为
C．存在，使得平面
D．若三棱柱存在内切球，则
三、填空题
12．已知，则___________
13．求值：______.（用数字作答）．
14．设为正实数，且，则的最大值为___，的最小值为____．
四、解答题
15．已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)在中，，，的面积为，求边的长.
16．如图甲，在梯形中，，为中点．将沿折起到位置，连接，，得到如图乙所示的四棱锥．

(1)证明：平面；
(2)当为时，求点到平面的距离．
17．设是圆上的动点，点为点在轴上的投影，点满足.
(1)当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；
(2)直线与曲线交于两点，且线段的中点为，求的面积.
18．某学校有1000人，想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者，如果对每个人的血样逐一化验，需要化验1000次，统计专家提出了一种化验方法：随机地按10人一组分组，然后将各组10个人的血样混合再化验.如果混合血样呈阴性，说明这10个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个人再分别化验一次．
(1)如果该学校携带病毒的人占，用统计专家的方法分组化验.（，）
（i）按照5个人一组，求一组混合血样呈阳性的概率；
（ii）按照5个人一组或10个人一组分组化验，问哪种分组方式筛查出这1000人中该病毒携带者需要化验次数较少？请说明理由．
(2)如果该学校携带病毒的人占，按照个人一组，取多大时化验次数最少？此时大约化验多少次？说明：先减后增
0.8858 0.8681 0.8508 0.8337
19．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)已知，若存在，使得．
（i）求实数m的取值范围；
（ii）证明：．
参考答案
1．B
【详解】因为，，
所以.
2．C
【详解】若数列1，b，9是等比数列，
则，
所以.
3．C
【详解】由题意得.
故选：C.
4．B
【详解】从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，故去掉点后，回归效果更好，
故决定系数会变大，更接近于1，残差平方和变小，
相关系数的绝对值，即会更接近于1，由图可得与正相关，故会更接近于1，
即相关系数的值变大，解释变量与预报变量相关性变强，
故A、C、D错误，B正确.
故选：B.
5．B
【详解】因是定义在上的奇函数，
由可得，
又在单调递增，则函数在上单调递增，
则得，解得.
故选：B
6．B
【详解】已知，夹角为钝角，则，且，不共线，
即，则的取值范围为.
7．D
【详解】因为圆心为，所以，
而切线与垂直，则切线斜率为，
可得所求切线方程为，即.
8．C
【详解】对于A，事件：红骰子的点数为，：红骰子的点数为，与互斥但不对立，因为红骰子的点数还有其他情况，比如，A错误；
对于B，：两个骰子的点数之和为，：两个骰子的点数之和为，与不可能同时发生，故与互斥，B错误；
对于C，两个骰子的点数之和为的情况有，
则，
所以，所以与相互独立，C正确；
对于D，两个骰子的点数之和为的情况有，
，所以，D错误.
故选：C.
9．ABD
【详解】双曲线，则、，所以；
对于A：因为点在双曲线的右支上，
所以，故A正确；
对于B：双曲线C的离心率，故B正确；
对于C：双曲线C的渐近线方程为，故C错误；
对于D：点，所以点到C的渐近线的距离，故D正确.
故选：ABD
10．ACD
【详解】函数，
．
由，得或，此时函数单调递增；
由，得，此时函数单调递减，故 A正确；
当时，单调递增，的最小值为，故 B错误；
当时，函数取得极大值，故C正确；
，，它在点处的切线方程为，故 D正确．
11．AB
【详解】如图，以点为原点，向量为轴的正方向，再作，
若，，，，，
，，，故A正确；
，设平面的一个法向量为，
则，令，得，
所以平面的一个法向量为，且,
所以点到平面的距离为，故B正确；

C.设，则，，
，所以不存在，使得平面，故C错误；
D. 等边三角形的内切圆的半径为，若三棱柱存在内切球，则，故D错误.
故选：AB
12．
【详解】因为，所以.
故答案为：
13．20
【详解】由组合数性质，
因为，
所以
.
14．
【详解】而为正实数，则，故的最大值为，
当且仅当时，取得最大值．
令，，
，
，
又，
，
当且仅当时，即时取得最小值，
的最小值为．
15．(1)，
(2)
【详解】（1），
令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为，.
（2）因为，
又为的内角，则
故，
所以，所以.
设角所对边分别为，
因为，由正弦定理得.①
因为三角形的面积为，所以.②
由①②解得：，
由余弦定理得，
所以.
16．(1)在梯形中，，则四边形为平行四边形，
而，则是矩形，即
在四棱锥中，，
而平面，所以平面.
(2)
【详解】（1）略
（2）解法一：已知，，则是正三角形，
取的中点，连接，，则有，

又平面，于是平面，
而，则平面，
又平面，则平面平面，
在平面内过作于，
而平面平面，因此平面，
又，平面，平面，所以平面，
于是点到平面的距离等于，
而，由（1）知，平面，
则平面，又平面，则，而，
则，，
所以点到平面的距离为.
解法二：已知，，则是正三角形，

取的中点，连接，，则有，
由（1）知，平面，
则平面，又平面，则，
如图建立空间直角坐标系，
则可得，，，，
，，
设平面的法向量为，则，
取，
则
所以点B到平面的距离为
17．(1)
(2)
【详解】（1）设，则，由，得，
得，而是圆上的动点，所以，即
（2）设，即①，②
两式相减得到，
即
所以，
所以直线方程为，即，
与椭圆方程联立得，
由韦达定理：，
所以，
原点到直线的距离：，
所以.
18．(1)（i）0.05；（ii）10人一组的分组方式，10个人总的化验次数小于5个人一组总的化验次数
(2)，275次
【详解】（1）（i）已知某学校携带病毒的人占，
所以5个人一组，该组混合血样不是阳性的概率为，
所以，一组混合血样呈阳性的概率约为．
（ii）设5个人一组，每组需要化验的次数为随机变量，则可能取的值有．
由（i）知，5个人一组，需要重新化验的概率为，则的分布列为
所以，，
总的化验次数为；
设10个人一组，每组需要化验的次数为随机变量，则．
10个人一组，该组混合血样不是阳性的概率为，
则10个人一组，需要重新化验的概率为0.1，
则Y的分布列为
1 11
所以，
总的化验次数为，
所以，10人一组的分组方式筛查出这1000人中该病毒携带者需要化验次数较少．
（2）假设个人一组，设每个组需要化验的次数为，
若混合血样呈阴性，则，若混合血样呈阳性，则，
∴的分布列为：
∴
∴每个人需要化验
∵先减后增，
，∴
，∴
∴当时，最小，最小值为，
次，此时化验次数大约为275次.
19．(1)在上单调递减，在上单调递增
(2)（i）；（ii）证明见解析
【详解】（1）的定义域为，．
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增．
（2）（i）由（1）可知，
令，
若，则，则，则直线与函数的图象最多有两个交点，不符合题意；
若，，此时存在两个零点，
此时在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
此时作直线，其中，直线与的图象存在四个交点，
即存在，使得，
故实数m的取值范围是．
（ii）由题意得，，
则，，
令，，注意到，则，即，同理，
要证，即，即证明，
设，
则，
设，设，
则，故在上单调递减，
从而，则，在上单调递减，
故，也即，因此．

展开更多......

收起↑