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2025—2026年度龙川第一实验学校期中
九年级数学
注意事项：
1．本试卷共6页，23小题，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将密封线内的项目填写清楚．
一、选择题．（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1. 如果德育量化分加5分，记作分，那么德育量化分扣3分就记作（ ）
A. 分 B. 分 C. 分 D. 分
2. 如图是社团小组运用打印技术制作的模型，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
3. 海洋的中心部分是洋，边缘部分是海，地球上海洋的总面积约为3.6亿平方千米，约占地球面积的．根据《联合国海洋法公约》规定，我国对钓鱼岛、黄岩岛、仁爱礁、仙宾礁拥有无可争辩的主权．我国海洋面积大约是2997000平方千米，将数据2997000用科学记数法可以表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图1，三根木条a，b，c相交成，，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转动至如图2所示，使木条a与木条b平行，则可将木条a旋转（ ）
A. B. C. D.
6. 下列说法不正确的是（ ）
A. 明天下雨是随机事件
B. 调查长江中现有鱼的种类，适宜采用普查的方式
C. 描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图
D. 若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据更稳定
7. 如图，在中，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点E．若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
8. 小方尝试直播带货，上了号四款商品的链接．图中的四个点分别描述了四款商品单件的利润率（利润率）与成本（元）的情况，其中描述1号和3号的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则四款商品中单件利润最高的是（　　）
A. 4号 B. 3号 C. 2号 D. 1号
9. 从，1，2这三个数中任取两个数作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（ ）
A. B. 2 C. D.
二、填空题．（每题3分，共15分）
11. 分解因式：________．
12. 若，则内的数字是________．
13. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____．
14. 方程的解为________．
15. 已知二次函数（a为常数，且）．下列四个结论：
①该函数图象经过点；
②若，则当时，y随x的增大而减小；
③若，则关于x的方程有一个根大于0且小于1；
④若，则关于x的方程的正数根只有1个．
其中正确的是________．（填序号）．
三、解答题（一）．（本大题3小题，每小题7分，共21分）
16. 计算：．
17. 如图，在中，是的中点，，．求证：四边形为菱形．
18. 在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为，然后沿方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，）
四、解答题（二）．（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19. 某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）已知抛物线的函数表达式为，，求的长．
20. 某校开展“中国诗词”竞赛，学生成绩为正整数，满分为5分．为了解本次竞赛的情况，从该校随机抽取名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）的值是_________，扇形统计图中“5分”对应的扇形的圆心角大小是_________．
（2）该校共有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过3分的学生人数．
（3）从样本的众数、中位数中选择一个统计量，写出它的值并说明它的实际意义．
21. 如图，在中，点在上，边交于点，于点．是的平分线．
（1）求证：为的切线；
（2）若的半径为2，，求的长．
五、解答题（三）．（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22. 综合与实践
【情境】要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图①），需找到合适的切割线．
【模型】已知矩形（数据如图②所示）．作一条直线，使与所夹的锐角为，且将矩形分成周长相等的两部分．
【操作】嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题．
如图③，嘉嘉的思路如下： ①连接，交于点； ②过点作，分别交，于点，；… 如图④，淇淇的方法如下： ①在边上截取，连接； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③在边上截取，作直线．
【探究】根据以上描述，解决下列问题．
（1）图②中，矩形的周长为________；
（2）在图③的基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）；
（3）根据淇淇的作图过程，请判断图④中的直线是否符合要求，并说明理由．
23. 【平行六边形】如图1，在凸六边形中，满足，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”，其中与，与，与叫做“主对边”；和，和，和叫做“主对角”；叫做“主对角线”．
（1）类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”．
猜想 判断正误
①平行六边形的三组主对边分别相等 _________
②平行六边形的三组主对角分别相等 _________
③平行六边形的三条主对角线互相平分 _________
【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”．
（2）如图2，已知平行六边形满足． 求证：平行六边形是菱六边形：
（3）如图3是一张边长为的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长．
2025—2026年度龙川第一实验学校期中
九年级数学答案
一、选择题．（本大题10小题，每小题3分，共30分）
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】A
【9题答案】
【答案】D
【10题答案】
【答案】B
二、填空题．（每题3分，共15分）
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】①②③④
三、解答题（一）．（本大题3小题，每小题7分，共21分）
【16题答案】
【答案】
【17题答案】
【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
在中，，为的中点，
，
四边形为菱形．
【18题答案】
【答案】校园西门A与东门B之间的距离为207.6米
四、解答题（二）．（本大题3小题，每小题9分，共27分）
【19题答案】
【答案】（1）
（2）
【20题答案】
【答案】（1）
（2）520人 （3）示例一：众数为 3 分。
意义：本次竞赛中，得 3 分的学生人数最多。
示例二：中位数为 3 分。
意义：将所有成绩从小到大排列，位于中间的成绩是 3 分。
【21题答案】
【答案】（1）证明：
∵ OD=OC
∴ ∠ODC=∠OCD
∵ CD∥AB
∴ ∠ODC=∠DOB
∴ ∠OCD=∠DOB
∵ OC 平分∠AOB
∴ ∠AOC=∠BOC
∴ ∠AOC=∠DOB
∴ OD∥AC
∵ DE⊥AC
∴ DE⊥OD
又 ∵ OD 是圆的半径
∴ DE 为⊙O 的切线。
（2）．
五、解答题（三）．（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
【22题答案】
【答案】（1）10 （2）连接矩形两条对角线，交于中心点 O；以 O 为顶点，作夹角为 45° 的直线，与矩形两组对边相交，该直线即为所求（保留作图痕迹）。
（3）直线符合要求。
矩形是中心对称图形，对角线交点为对称中心，过对称中心的直线可将矩形分成周长相等的两部分。
结合题目截取线段、作垂直平分线的作图步骤，所作直线经过矩形对称中心，且夹角满足角度要求，因此该直线可以把矩形分成周长相等的两部分。
【23题答案】
【答案】（1）错误；正确；错误 （2）∵ 该图形为平行六边形，三组对边分别平行，三组对角分别相等。
又 ∵ 平行六边形有一组邻边相等
结合平行六边形的性质，可推出六条边长度全部相等
∴ 此平行六边形是菱六边形。
（3）

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