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2025 2026学年度初2023级下期第四次定时作业
数学试题
（全卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．试题的答案写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3．作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；
4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为．
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列汉服纹样中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A．如意纹 B．凤纹
C．龙纹 D．忍冬纹
3．磁器口古镇为了解游客对特色小吃的喜爱程度，对前来游玩的名游客随机抽取名游客进行调查，下列说法正确的是（ ）
A．该调查方式是全面调查 B．样本容量是
C．名游客是总体的一个样本 D．名游客是总体
4．已知，反比例函数的图象经过点，则下列各点也在此函数图象上的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，线段与相切于点，连接并延长，交于点，连接，．若，则的度数是（ ）
A． B．
C． D．
6．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有个小太阳，第②个图案中有个小太阳，第③个图案中有个小太阳，第④个图案中有个小太阳，…，按照这一规律．则第⑧个图案中小太阳的个数是（ ）
A． B． C． D．
7．下列命题是真命题的是（ ）
A．过一点作已知直线的平行线有且只有一条
B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于同一条直线的两直线平行
D．垂线段最短
8．年中国建成全球最大碳纤维生产基地，实现碳纤维国产化，碳纤维的价格由元/公斤经过连续两次降价后，价格为元/公斤，若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在正方形中，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，，，点为线段的中点，点为线段的中点，连接、．若，，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
10．若整式，其中，为正整数，，，…，均为整数，且满足：．下列说法：
①不存在满足条件的单项式；
②若，当时，满足条件的所有整式有且仅有个；
③若为二次三项式，当取任意值时，的值均为非负数的的个数为个．
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11．某校开设了“数学学具”、“数学与跨学科”、“与几何”三门校本选修课程，小杨从中随机选取两门课程，恰好选中“数学学具”和“与几何”两门课程的概率为________．
12．一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形的边数为________．
13．若，是两个连续整数，且，则的值为________．
14．已知，且，则的值为________．
15．如图，是的直径，，垂足为点，的切线、交于点，切点分别为、，连接，为劣弧的中点，连接，连接交于点，延长至点使，连接交于点，若，，则________；________．
16．若一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为，且满足十位和个位数字的和的平方等于由千位和百位数字组成的两位数，则称这个四位数为“开心数”，例如：四位数，因为，所以是“开心数”；又如，四位数，，所以不是“开心数”．则最大
的“开心数”为________；已知是“开心数”，将去掉个位数字后所得的三位数记为，
记，，若能够被整除，则满足条件的最大值与最小值的积为________．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17．解不等式组：
解：解不等式①，得________．
解不等式②，得________．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
所以不等式组的解集为________．
18．温故而知新．在复习平行四边形与尺规作图的基础上，庆庆同学进行了几何拓展探究，他发现由一个三角形构造出平行四边形的一种作法．请完成以下作图与证明：
（1）如图，是的中线．请利用尺规作图：在右侧作，与的延长线相交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）求证：四边形为平行四边形．
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．年月日是全国“爱眼日”．为了解学生对护眼知识的掌握情况，配合我校“美丽行动—明眸护双眼，清辉照未来”主题活动开展，学校随机抽取八年级、九年级各名学生开展线上问卷测试，并对测试得分进行整理、分析（得分用整数表示，单位：分），并分为A、B、C三个等级，分别是：优秀（A等级）：；合格（B等级）：；不合格（C等级）：；分别绘制成如下统计图表．
其中八年级学生测试成绩数据的众数出现在B等级，B等级测试成绩情况分别为：，，，，，，，，，，．
八年级学生测试成绩频数分布直方图 九年级学生测试成绩扇形统计图
八、九年级两组样本的平均数、中位数、众数如表所示：
年级 平均数 中位数 众数
八年级
九年级
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：________，________；并补全八年级抽取的学生测试成绩频数分布直方图；
（2）根据以上信息，你认为我校哪个年级的测试成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若我校八年级有名学生，九年级有名学生，请估计两个年级中成绩为合格的学生共有多少名？
20．先化简，再求值：，其中
21．列方程解决下列问题：
某工厂生产端午伴手礼圆形礼盒
（1）已知一个礼盒由个盒身和个盒底组成，用张硬纸板可制作个盒身或个盒底．现有张硬纸板，应用多少张硬纸板制作盒身，多少张硬纸板制作盒底，才能使盒身与盒底刚好配套？
（2）甲、乙两个车间接到任务制作一批礼盒，若甲车间单独完成，所需时间比规定工期多天；若乙车间单独完成，所需用时比规定工期少天；若两车间先合作天，剩下部分由甲车间单独制作，最终比规定工期提前天完成．求甲车间单独完成这批礼盒需要的时间．
22．如图，在长方形中，，，动点从点出发，先以每秒个单位长度的速度
沿方向运动，到达点后再以每秒个单位长度的速度沿方向运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动．连接，过点作交于点，连接，设运动时间为（＜＜）秒，点到点的距离为，的面积为，．
（1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．
23．如图，港在港北偏东方向，港在港的正西方向海里处，港在港的正北方向，港在港的北偏西方向，港在港的正西方向海里处，且在港的西北方向．（参考数据：，）
（1）求，两港之间的距离（结果保留根号）；
（2）甲货船从港出发，向港运送物资，乙货船从港出发，向港运送物资，甲船速度为乙船速度的倍（均沿直线匀速运送）．请问当两艘船相距海里时，甲船离港多少海里（结果保留小数点后一位）？
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，点为直线上方抛物线上一动点，过点作交于点，点是抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为点，连接、．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值；
（3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，平移后点恰好落在轴上，点是新抛物线上一动点，点是原抛物线顶点的对应点，连接，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
25．为等边三角形，点为线段上的动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
（1）如图，若，点是中点，，求的面积；
（2）如图，若，连接，若点为中点，连接，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图，若，，点为中点，连接，点从移动到的过程中，将绕点逆时针旋转得到线段，当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在平面内，得，连接，作交直线于点，当取最大值时，请直接写出的面积．

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