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北京市东直门中学2025-2026学年高一第二学期6月阶段考试数学试题
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.若，则（ ）
A. B. 1 C. D. 2
2.在△ABC中，，则=（　　）
A. B. C. D.
3.已知α，β是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线.下列四个命题：
①若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n
②若α⊥β，m⊥α，m⊥n,则n⊥β
③若α∥β，m∥α，m∥n,则n∥β
④若α∩β=m,m∥n,则n∥α或n∥β
其中所有真命题的序号是（　　）
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①④
4.设甲：，乙：，则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则的值为2
B. 若与夹角为钝角，则的取值范围是
C. 若在方向上的投影向量的模为，则
D. 若，则与夹角为
6.函数是（ ）
A. 奇函数，且最小值为 B. 奇函数，且最大值为
C. 偶函数，且最小值为 D. 偶函数，且最大值为
7.在锐角中，，则（ ）
A. B. C. D.
8.在所在平面内一点P满足：，则点P是的（ ）
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
9.如图，矩形中，分别为边上的动点，且.则的最小值为（ ）
A. 8 B. 16 C. D.
10.如图，正方体的棱长为2，，分别为棱，的中点，为正方形边上的动点（不与重合），则下列结论正确的个数是（ ）

①平面截正方体表面所得的交线形成的图形可以是菱形
②存在点，使得直线与平面垂直
③平面把正方体分割成的两个几何体的体积相等
④点到平面的距离不超过
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.某中学高三学生有1000人，按照男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取一个容量为50的样本，若抽到的女生有20人，则该校高三男生人数为 ．
12.已知，则 .
13.已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是 ．
14.已知函数的部分图象如图所示.则 ， .
15.如图，在三棱锥中，，，，为的中点，是棱上的中点，则异面直线与所成角的正弦值为 ，点到平面的距离为 ．
16.在中，，，．为所在平面内的动点，且，若，给出下面四个结论：
①的最大值为； ②的最小值为；
③的最小值为； ④的最大值为．
其中正确命题的序号是 ．（写出所有正确命题的序号）
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，已知点，点满足．
(1)当时，求点的坐标；
(2)若，求的值．
18.(本小题12分)
在△ABC中，.
（Ⅰ）求sinB的值；
（Ⅱ）若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在，求△ABC的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
19.(本小题12分)
已知函数的一个零点为.
（1）求c；
（2）当时，若f（x）的值域为，求t的取值范围.
20.(本小题12分)
小明利用地图软件统计出他近期100次早上从家到公司的导航过程中的红灯等待时间，他将数据分成了[55，65），[65，75），[75，85），[85，95），[95，105]（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示.
（Ⅰ）求图中a的值；
（Ⅱ）估计小明红灯等待时间的第60百分位数（结果精确到0.1）；
（Ⅲ）根据以上数据，估计小明在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数.
21.(本小题12分)
如图，在四棱锥中，平面，，．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)设点为的中点，过点，的平面与棱交于点，且平面，求的值．
22.(本小题12分)
已知行列的数表的分量都是非零整数．若数表满足如下两个性质，则称数表为规范表：
①对任意，，，…，中有个，1个1；
②存在，使得，，…，都是正整数．
(1)分别判断数表，是否为规范表；（直接写出结论）
(2)当时，是否存在规范表满足？若存在，请写出一个；若不存在，请说明理由；
(3)当时，是否存在规范表满足？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】 ； ； ； ； ； ；
15.【答案】 ； ； ； ； ；
16.【答案】②③④
17.【答案】解：（1）因为点，所以．
又因为点满足，所以．
当时，，所以，
所以点的坐标为．
（2）由点，可得，
因为，且，
所以，
所以．

18.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）选择条件①不符合题意；选择条件②或③：5．
19.【答案】；
．
20.【答案】（Ⅰ）a=0.035；
（Ⅱ）82.1；
（Ⅲ）7．
21.【答案】解：（1）因为平面，平面，所以，
又，，平面，
所以平面.
（2）因为，，所以，
因为平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
（3）因为平面，平面平面，
平面，所以，因为点为的中点，
所以点为的中点，所以.

22.【答案】（1）数表，，
当时，，，中有个，1个1；
当时，，，中有个，1个1；
满足条件①；
，当时，，，均为正整数，满足条件②，
综上B是规范表；
数表，，
当时，，，中有个，2个1；不满足条件①，
则C不是规范表．
（2）不存在．用反证法．
假设存在规范表满足，
令，则；
另一方面，根据性质（1）：，
即对任意；
另一方面，由条件②，存在，使，矛盾．
所以假设不成立，即不存在符合题意的规范表．
（3）存在符合题意的规范表．
①构造：考虑满足如下条件的数表，
其中，
并且当时，相邻两列与，
满足对成立，
则数表为符合题意的规范表；
②估值：以下证明，当为偶数且时，
规范表满足.
事实上，用表示规范表第行中的个数，
其中为偶数，令，则，
从而，据此可知为偶数，为奇数．
设为规范表，则为奇数．
另一方面，由条件（1）知相邻两行有个分量符号相反，
据此可知第行与第行至多有2个分量符号相反，即，
所以，，
，
这表明．综合①②所述，的最小值是．
因为，所以的最小值是2025．

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