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2025-2026学年甘肃省陇南州宕昌一中、二中、两当一中高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有1个.现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为X，则当P（X=k）取得最大值时，k=（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2.已知直线l与曲线y=x3-x+3相切，则l的方程不可能是（　　）
A. y=2x+1 B. y=2x+5 C. y=-x+3 D. y=-x+5
3.已知函数f（x）=xcosx-sinx，则的值为（　　）
A. B. - C. -1 D. -π
4.已知，则a1+a2+a3+a4=（　　）
A. -15 B. -16 C. -80 D. -81
5.已知两函数y=4x3，y=3x4+m的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则m=（　　）
A. 0 B. 1 C. 0或-1 D. 0或1
6.林老师希望从{A，B，C}中选2个不同的字母，从{1，3，5，7}中选3个不同的数字编拟车牌号鄂J×××××的后五位，要求数字互不相邻，那么满足要求的车牌号有（　　）
A. 576个 B. 288个 C. 144个 D. 72个
7.已知定义在（a,b）上的函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）的图象如图所示，则f（x）在（a,b）上的极值点个数为（　　）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8.已知函数f（x）是定义在区间（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f′（x），且满足xf′（x）+2f（x）＜0，则不等式的解集为（　　）
A. {x|x＞1} B. {x|x＜1} C. {x|-1＜x＜0} D. {x|-1＜x＜1}
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（　　）
A. n=11 B. 展开式的二项式系数和为212
C. 展开式的各项系数和为 D.
10.若点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是函数f（x）=的图象上任意两点，且函数f（x）在点A和点B处的切线互相垂直，则下列结论正确的是（　　）
A. x1＜0 B. 0＜x1＜1 C. 最小值为e D. x1x2最大值为e
11.已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A. 函数f（x）有三个零点
B.
C. 曲线y=f（x）上不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线分别为l1，l2，若l1∥l2，则x1+x2=1
D. 若方程f（x）=t有三个不同的实数根x1，x2，x3，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.（1-3x）（x-2y）5的展开式中x4y2的系数为 .
13.考古时在埃及金字塔内发现“142857”这组神秘的数字，其神秘性表现在具有这样的特征：142857×2=285714，142857×3=428571，……，142857×6=857142.且142+857=285+714=428+571=……=857+142=999.这类数因其“循环”的特征，常称为走马灯数.若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数构成一个三位数x,则满足999-x是剩下的3个数字构成的一个三位数的x的个数为 .
14.已知函数，若，则函数g（x）=f（f（x））-cosθ的零点个数是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知函数f（x）=x3+x-16．
（1）求曲线y=f（x）在点（2，6）处的切线方程；
（2）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
16.(本小题15分)
已知函数f（x）=eax，a∈R.
（1）令，讨论g（x）在（0，+∞）的单调性；
（2）证明：，n∈N*，n≥2.
17.(本小题15分)
解决下列问题
（1）包含甲、乙、丙、丁四人在内的七个人站成一排，求甲、乙相邻，丙、丁不相邻的情况总数；（结果用数字作答且书写出步骤）
（2）一支医疗小队由3名医生和6名护士组成，现将他们平均分配到三家不同的医院工作，每家医院分到1名医生和2名护士，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，求不同的分配方法种数；（结果用数字作答且书写出步骤）
（3）请你构造一个实际背景，对等式作出解释.（请注意不要使用生活中的真人名，以及用语规范）
18.(本小题15分)
根据下列条件求值：
（1）已知，求a0+a1+a2+…+a13的值；
（2）已知，求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|的值；
（3）已知，求（a0+a2+a4）（a1+a3+a5）的值.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ax-2ex+2（a∈R）.
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）已知a∈（2，+∞），函数，对任意α∈（0，+∞），存在，使f（α）＜g（β），求实数a的取值范围；
（3）已知a∈（2，e），函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，且有唯一的极值点x0，记A（x1，0），B（x2，0），C（x0，f（x0）），判断△ABC是否可能为等腰三角形，并说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】AD
10.【答案】CD
11.【答案】BCD
12.【答案】-120
13.【答案】48
14.【答案】4．
15.【答案】解：（1）由f（x）=x3+x-16，得
f′（x）=3x2+1，∴f′（2）=3×22+1=13，
∴曲线y=f（x）在点（2，6）处的切线方程为y-6=13（x-2），即13x-y-20=0；
（2）设切点为（），，
∴切线方程为，
∵切线经过原点，
∴，
∴，x0=-2．
则f′（-2）=13，
∴所求的切线方程为y=13x；
切点为（-2，-26）．
16.【答案】当a≤0时，g（x）在（0，+∞）上单调递减；当a≥1时，g（x）在（0，+∞）上单调递增；当0＜a＜1时，g（x）在上单调递减，在上单调递增 证明：根据题意，令h（x）=ex-x-1，则h′（x）=ex-1，
当x＜0时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；当x＞0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；则当x=0时，h（x）取极小值，
故h（x）≥h（0）=0，即ex-x-1≥0，所以ex≥x+1，当且仅当x=0，等号成立．
令，则，所以，则．
所以=．
综上，，n∈N*，n≥2
17.【答案】960 108 用0，1，2，3，4，5六个数字排成一个六位数．
可以分步先排0的位置，除了最高位，剩下的5个位置选一个0去占，有种，
剩下的5个数，5个位置随便安排有种，根据分步计数原理，一共有种，
也可以先6个数全排列，有种排法，再去掉0占最高位的方法数，即．
同一个问题，结果一样，因此
18.【答案】-2 214 -256
19.【答案】当a≤0时，f（x）在R上单调递减；当a＞0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减 （2，2e） △ABC不可能为等腰三角形，理由如下：
由（1）知，当a∈（2，e）时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，
∴f（x）有唯一的极大值点，不妨设x1＜x2，
∵f（0）=0，x1＜x2，∵f（0）=0，∴x1=0＜x0＜x2，∴A（0，0），
过点C作CD⊥x轴于点D，则D（x0，0）．
①比较|AC|与|BC|的大小，等价于比较|AD|与|BD|的大小，等价于比较x0与x2-x0的大小，即比较2x0与x2的大小．
∵，
设，，
∴g（a）在（2，e）上单调递减，
∴g（a）＜g（2）=0，即f（2x0）＜0=f（x2），
∵f（x）在（x0，+∞）上单调递减，∴2x0＞x2，
即x0＞x2-x0，|AD|＞|BD|，由勾股定理可得|AC|＞|BC|，
②比较|AC|与|AB|的大小，，
先证明ex＞x+1（x＞0），设h（x）=ex-x-1，h′（x）=ex-1＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，∴h（x）＞h（0）=0，即ex＞x+1（x＞0），
∵，∴f（x0）＜x0，
∴，
下面比较与x2的大小，
∵，
设，，
设，
则，
∵2＜a＜e，∴，即φ′（a）＞0，φ（a）在（2，e）上单调递增，
∴φ（a）=F′（a）＞F′（2）=0，F（a）在（2，e）上单调递增，
∴F（a）＞F（2）=0，∴，
∵f（x）在（x0，+∞）上单调递减，∴，
即，
∴|AB|＞|AC|＞|BC|，
综上，△ABC不可能为等腰三角形
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