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2025-2026学年广东省东莞市实验中学等校高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.计算：=（　　）
A. 30 B. 60 C. 90 D. 120
2.函数f（x）=（x-2）ex的单调递增区间是（　　）
A. （-∞，1） B. （ 0，2 ） C. （1，+∞） D. （2，+∞）
3.（2+）4的展开式中常数项是（　　）
A. 8 B. 16 C. 24 D. 32
4.端午节是中国四大传统节日之一，端午节当天，3名同学要从超市购买粽子，现有4种不同口味的粽子，每名同学只购买其中一种口味的粽子，则不同的购买方式种数是（　　）
A. 4 B. 16 C. 32 D. 64
5.函数的图象大致为（　　）
A. B. C. D.
6.若直线y=kx+1（k∈R）是曲线y=lnx+2与曲线y=ex+b（b∈R）的公切线，则b=（　　）
A. 0 B. 1 C. e D.
7.已知定义在R上的函数f（x）满足sinxf（x）+cosxf′（x）＞0，则（　　）
A. B. C. D.
8.已知函数f（x）=xlnx+mex有两个极值点，则实数m的取值范围为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列结论正确的是（　　）
A. 3×4×5×6= B.
C. D. 若，则正整数x的值是1
10.已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（　　）
A. n=11 B. 展开式的二项式系数和为212
C. 展开式的各项系数和为 D.
11.已知函数f（x）=xlnx,则（　　）
A. 函数f（x）在（0，e）上单调递减，在（e,+∞）上单调递增
B.
C. 若a＜xf（x），则实数a的取值范围是
D. 当时，若方程有且只有一个根，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从0，1，2，3中任取3个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是 .（用数字作答）
13.（x2+x+1）5展开式中，x3的系数为 .
14.对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数；请你根据上面探究结果，计算= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=x3-3x+2.
（1）求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）求f（x）在区间[-2，0]上的最值.
16.(本小题15分)
某校志愿者团队共派出6人参加志愿服务活动，其中男生4人，女生2人.
（1）从这6人中选出男、女队长各1人参加志愿服务活动，共有多少种选法？
（2）从这6人中选出3人完成本次活动的宣传工作，其中至少需要1名女生和1名男生，共有多少种选法？
（3）活动后6人排成一排拍照，男生甲在女生乙左边，有多少种不同的排法？
（4）现要将6名志愿者分配到三所学校参加志愿服活动，每所学校至少分配1人，共有多少种不同的安排方法？
17.(本小题15分)
为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本10万元，每年需另投入流动成本c（x）（万元）与成正比（其中x（台）表示产量），并知当生产20台该产品时，需要流动成本ln2万元，每件产品的售价p（x）与产量x（台）的函数关系为（万元）（其中x≥10）.记当年销售该产品x台获得的利润（利润=销售收入-生产成本）为f（x）万元.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当产量x为何值时，该工厂的年利润f（x）最大？最大利润是多少？（结果精确到0.1）
18.(本小题17分)
已知的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项、第5项、第6项的系数成等差数列.
（1）求a和n的值；
（2）若a＞1，且x=2，求被5除的余数；
（3）若a＜1，求的展开式中系数最大的项.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=x-1-alnx.
（1）讨论f（x）单调性；
（2）若f（x）≥0恒成立，求a的值；
（3）当时，证明：当x＞1时，恒成立.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】ABC
10.【答案】AD
11.【答案】BC
12.【答案】18
13.【答案】30
14.【答案】2012
15.【答案】9x-y-14=0 最大值为4，最小值为0
16.【答案】8；
16；
360；
540
17.【答案】 50台，24.4万元
18.【答案】n=8，a=或a=2 1 T3=7x4，T4=7x2
19.【答案】当a≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增 1 证明：当，且x＞1时，则，可得．
要证明，即证，
而，
令g（x）=ex-1-2x+1+lnx，x＞1，只需证明g（x）＞0即可，
由，再令，可得，
由于函数在（1，+∞）上单调递增，所以h′（x）在（1，+∞）上单调递增，
则h′（x）＞h′（1）=e0-1=0，即g′（x）=h（x）在（1，+∞）上单调递增，
可得g′（x）＞g′（1）=e0-2+1=0，即g（x）在（1，+∞）上单调递增，
故g（x）＞g（1）=e0-2+1+ln1=0，得证
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