资源简介

2025-2026学年河北省唐山市第一中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知3+2i是关于x的方程x2+px+q=0（p,q∈R）的一个复数根，则p=（　　）
A. -6 B. -4 C. 4 D. 6
2.一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，轴截面的面积为9，则该圆台的体积为（　　）
A. B. 2π C. D. 7π
3.如图，在△ABC中，D为BC边上靠近B的三等分点，若E为AD的中点，则=（　　）
A.
B.
C.
D.
4.如图，矩形A′B′C′D′是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图，其中A′B′=2，B′C′=4，则原四边形ABCD中最长边的长度为（　　）
A. 2
B.
C. 4
D. 6
5.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且，，若该三角形有两解，则b的取值范围是（　　）
A. B. C. D. （6，+∞）
6.已知单位向量，，满足，则向量，的夹角为（　　）
A. B. C. D.
7.记△ABC的内角的A，B，C对边分别为a,b,c,已知ab=5，c=2，当△ABC的面积的最大值时，则sinC的值为（　　）
A. B. C. D. 1
8.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别，且E，F分别为上底面、下底面（含边界）内的动点，当AE+EF+FC1最小时，以A为球心，AE的长为半径的球面与上底面A1B1C1D1的交线长为（　　）
A. 2
B. π
C.
D. 2π
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是（　　）
A. 若|z1-z2|=0，则 B. 若，则
C. 若|z1|=|z2|，则 D. 若|z1|=|z2|，则
10.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是AA1，CC1，C1D1的中点，Q是线段D1A1上的动点，则（　　）
A. 不存在点Q，使得B，N，P，Q四点共面
B. 存在点Q，使得PQ∥平面MBN
C. 三棱锥D1-PBN的体积为
D. 经过C，M，B，N四点的球的表面积为9π
11.如图，已知正方形ABCD的边长为2，动点P在以AB为直径的半圆弧上（正方形ABCD内部，含边界），则下列结论正确的是（　　）
A.
B. 的最大值为2
C. 若，则λ+μ的最大值为
D. 若Q为图中半圆内（含边界）的动点，则的取值范围为[0，4]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知A（1，2），B（-1，3），若，则C点坐标为 .
13.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在一个球面上，且，AA1=4，∠ACB=120°，则这个球的表面积为 .
14.设正实数a,b,c满足，则ab+bc+ca= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
复数z1=a-1+（a-2）i其中a∈R，复数z2满足，其中i为虚数单位.
（1）若z1为虚数，求a的取值范围；
（2）求与|z2|；
（3）求|z1-z2|的最小值.
16.(本小题15分)
已知向量，满足||=2，||=1，且，的夹角为60°.
（1）求|-|；
（2）求在上的投影向量；
（3）若向量2t+7与向量+t的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
17.(本小题15分)
如图，四棱锥P-ABCD，底面ABCD为平行四边形，E、F分别为 PD、BC的中点，面PAB∩面PCD=l．
（1）证明：l∥AB；
（2）证明：EF∥平面PAB．
（3）在线段PD上是否存在一点G，使FG∥面ABE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18.(本小题17分)
在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且满足_____.
请从条件①、条件②中选择一个条件补充至横线处，并解决下列问题：
条件：①c+b=2acosB；②a（cosB-cosC）=（b+c）cosA.
（1）证明：A=2B；
（2）若∠BAC的平分线交BC于D，AD=1，，求的值；
（3）求的取值范围.
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分.
19.(本小题17分)
在△ABC中，∠A，∠B，∠C对应的边分别为a,b,c,bsinA+atanAcosB=2asinC.
（1）求A；
（2）奥古斯丁 路易斯 柯西，法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.已知三维柯西不等式：x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，，当且仅当时等号成立.
在（1）的条件下，若a=3.
（ⅰ）求：的最小值；
（ⅱ）若P是△ABC内一点，过P作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F，设△ABC的面积为S，求的最小值.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】ABC
10.【答案】BCD
11.【答案】ACD
12.【答案】（-5，5）
13.【答案】64π．
14.【答案】
15.【答案】{a|a≠2}
16.【答案】；
；
．
17.【答案】证明：（1）∵ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，又AB 面PCD，CD 面PCD，
∴AB∥面PCD，∵面PAB∩面PCD=l，∴l∥AB．
（2）取PA中点M，连接BM，EM，则，又∵，
∴，∴四边形BFEM为平行四边形，∴EF∥BM，
∵EF 面PAB，BM面PAB，∴EF∥面PAB．
（3）取AD中点N，连接FN，NG，则FN∥AB，FN 面ABE，AB 面ABE，
∴FN∥面ABE，又∵FG∥面ABE，FN FG=F,FN,FG 面FNG,
∴面FNG∥面ABE，且面PAD 面ABE=AE,面PAD 面FNG=NG,
∴AE∥NG，又∵N为AD中点，∴G为ED中点，
∴EG=GD，又PE=ED，∴．
18.【答案】证明见解析；
；
．
19.【答案】解：（1）在△ABC中，∵bsinA+atanAcosB=2asinC，
∴由正弦定理得，sinBsinA+sinAtanAcosB=2sinAsinC，
又sinA≠0，∴，
整理得：sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosA，即sin（B+A）=2sinCcosA，
又A+B=π-C sin（B+A）=sinC，
∴sinC=2sinCcosA，sinC≠0，
∴，又A∈（0，π），∴；
（2）（i）∴a=3，
∴
=
（当且仅当△ABC为正三角形时取等号）
即：的最小值为108．
（ii）．
又，
∴c|PD|+a|PE|+b|PF|=2S，
∵x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，，当且仅当时等号成立．
∴有，当且仅当，即|PE|=3|PD|=3|PF|时等号成立．
所以；
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得9=b2+c2-bc,
∴（b+c）2-9=3bc,即，
则，
令t=b+c+9，则．
∵，
∴3＜b+c≤6，当且仅当b=c时等号成立，
∴12＜t≤15 ，
令，则y在上递减，
当即b=c=3时，y有最大值，
此时T有最小值（此时|PE|=3|PD|=3|PF|与b=c可以同时取到）．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑