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2025-2026学年河北省唐山市路北区高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知向量，，若，则λ=（　　）
A. B. C. D.
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，则异面直线D1E与BC1所成角的余弦值为（　　）
A. B. C. D.
3.某校高一年级有800名学生选学物理，将某次联考的物理成绩绘制成的频率分布直方图如图所示，则高一年级这次联考的物理成绩位于区间[60，80）的人数约为（　　）
A. 200
B. 220
C. 240
D. 260
4.已知m,n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）
A. 若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n B. 若m⊥β，n⊥α，m∥n,则α∥β
C. 若α⊥β，m α，n β，则m⊥n D. 若m∥α，m⊥n,n⊥β，则α∥β
5.已知一组样本数据：8，9，9，11，12，13，15，16，17，18，18，20，则这组样本数据的第70百分位数与中位数之和是（　　）
A. 29 B. 30 C. 31 D. 32
6.“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战2025年成都世界运动会，已知某运动员某次特训的成绩分别为4，8，9，3，3，5，7，9，则下列说法错误的是（　　）
A. 这组数据的极差为6 B. 这组数据的众数为3
C. 这组数据的平均数为6 D. 这组数据的方差为
7.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a,b,c.若sinB+2sinCcosA=0，则角B的最大值为（　　）
A. B. C. D.
8.在△ABC中，A=60°，b=1，其面积为，则等于（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（　　）
A. 目标恰好被命中一次的概率为+ B. 目标恰好被命中两次的概率为×
C. 目标被命中的概率为×+× D. 目标被命中的概率为1-×
10.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是AD，DD1的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（　　）
A. 存在点P，使得FP∥平面ABC1D1
B. 过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形
C. 异面直线BA1与EF所成的角的大小为60°
D. 若D1P∥平面A1BC1，则点P的轨迹的长度为
11.已知a,b,c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是（　　）
A. 若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC是锐角三角形
B. 若acosA=bcosB，则△ABC是等腰三角形
C. 若bcosC+ccosB=b,则△ABC是等腰三角形
D. △ABC是锐角三角形，则sinA＞cosB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.由于甲流暴发，防疫站对学生进行身体健康调查，对男女学生采用分层抽样法抽取，学校共有学生1600名，抽取一个容量为200的样本.已知女生比男生少抽了20人，则该校的女生人数应是 人.
13.在四面体P-ABC中，PA=PB=PC=1，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°则该四面体P-ABC的外接球的表面积为______．
14.若，且，则向量与的夹角为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
2017年12月1日，“国际教育信息化大会”在山东青岛开幕.为了解哪些人更关注“国际教育信息化大会”，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的100人进行调查，并按年龄绘制成频率分布直方图，如图所示，其分组区间为：[15，25），[25，35），[35，45），[45，55），[55，65），[65，75].把年龄落在区间[15，35）和[35，75]内的人分别称为“青少年”和“中老年”.
关注 不关注 合计
青少年 15
中老年
合计 50 50 100
（1）根据频率分布直方图求样本的中位数（保留两位小数）和众数；
（2）根据已知条件完成2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“国际教育信息化大会”；
P（K2≥x0） 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
x0 2.708 3.841 6.635 7.879 10828
16.(本小题15分)
回答下列问题：
（1）已知平面向量、的夹角为60°，且为单位向量，，求；
（2）已知向量、，满足，，，求向量与的夹角.
17.(本小题15分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知向量，=（a,c），且⊥.
（1）求A；
（2）若△ABC的面积为，且b2+c2=2bc,求a.
18.(本小题17分)
已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，PD⊥底面ABCD.
（1）求证：AC⊥平面PBD；
（2）已知PD=1，
（ⅰ）当直线PB与平面ABCD所成的角为45°时，求四棱锥P-ABCD的体积；
（ⅱ）当时，求直线PB与AD所成角的余弦值.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=（ω＞0）最小正周期为2π.
（1）求ω的值和函数y=f（x）图象的对称中心；
（2）将函数y=f（x）的图象上的各点向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半；得到函数y=g（x）的图象，当时，方程g（x）=a有两个解，求实数a的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】BD
10.【答案】AC
11.【答案】ACD
12.【答案】720
13.【答案】3π
14.【答案】
15.【答案】中位数约为36.43，众数为40；
有99%的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“国际教育信息化大会”．
16.【答案】
17.【答案】；
．
18.【答案】因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
又因为PD⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以PD⊥AC，
又PD∩BD=D，PD、BD 平面PBD，所以AC⊥平面PBD （ⅰ）；（ⅱ）
19.【答案】，对称中心为；
．
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