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2025-2026学年湖南省常德市汉寿县第一中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合A={x|x2-6x+8≤0}，B={x|x2-3x≥0}，则A∩B等于（　　）
A. [0，4] B. [2，3] C. [3，4] D. [2，4]
2.多面体欧拉定理是指：若多面体的顶点数为V，面数为S，棱数为l,则满足V+S=l+2.已知某n面体各面均为五边形，且经过每个顶点的棱数为3，则n=（　　）
A. 6 B. 10 C. 12 D. 20
3.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，，，AB=1，CD=4，则tan∠CAD=（　　）
A. 1 B. 3 C. 2 D. 4
4.不等式x2+mx+15≥0对任意x∈[3，5]恒成立，则m的最小值是（　　）
A. B. C. D.
5.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（　　）
A. 直线D1D与直线AF垂直
B. 直线A1G与平面AEF不平行
C. 平面AEF截正方体所得的截面面积为
D. 点C与点G到平面AEF的距离相等
6.已知函数图象的两相邻对称轴之间的距离为，且为偶函数，则φ=（　　）
A. B. C. D.
7.复数z（1+i）=1-i,则（　　）
A. 1 B. 2 C. D.
8.在平面直角坐标系下，x轴正方向的单位向量为，y轴正方向的单位向量为，若向量，，下列说法正确的是（　　）
A. 在x轴上的投影为3 B. 在y轴上的投影为4
C. 在上的投影为0 D. 在x轴上的投影为
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若复数z满足z（1+2i）=10，则（　　）
A.
B. z的虚部是-4
C. 复数z在复平面内对应的点在第一象限
D. 若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则
10.已知角α的顶点与坐标原点重合，角α的始边落在x轴的正半轴上，如果P（x,y）是角α终边上不同于坐标原点的任意一点，记，当角α的终边不在y轴上时，称为角α的正割，记作secα.则下列说法正确的是（　　）
A.
B. 函数f（x）=secx的最小正周期为2π，其图象的对称轴为
C. （其中α和β的取值使各项都有意义）
D. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,则
11.设函数则下列说法正确的有（　　）
A. 方程的实根之和为
B. 函数f（f（x））的值域为
C. 当时，方程f（f（x））=m只有1个实根
D. 若方程f（f（x））=m有5个实根，则
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
12.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为 .
13.设F1，F2分别是椭圆的左右焦点，过点F1的直线交椭圆于A，B两点，且|AF1|=2|F1B|，若，则椭圆E的离心率为 .
四、解答题：本题共6小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题13分)
已知函数，（ω＞0），且函数图象的相邻对称轴之间的距离为.
（1）求f（x）的解析式和单调递增区间；
（2）把f（x）图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再把图象上的所有点向左平移个单位，得到g（x）的图象.若关于x的方程g（x）=m在上有两个解，求实数m的取值范围.
15.(本小题13分)
已知△ABC的面积为，且且AB＞AC.
（1）求角A的大小；
（2）设M为BC的中点，且，求线段BC的长度.
（3）在满足（2）的条件下，若∠BAC的平分线交BC于N，求线段AN的长度.
16.(本小题14分)
为改善居民的生活环境，政府拟将一公园进行改造扩建，已知原公园是直径为2千米的半圆形，出入口在圆心O处，A为居民小区，OA的距离为2千米，按照设计要求，以居民小区A和圆弧上点B为线段向半圆外作等腰直角三角形ABC（C为直角顶点），使改造后的公园成四边形OACB，如图所示.
（1）若OB⊥OA时，C与出入口O的距离为多少千米？
（2）B设计在什么位置时，公园OACB的面积最大？并求出公园OACB的面积最大值.
17.(本小题14分)
设函数f（x）的定义域为R，对任意实数α，β，有，且.
（1）求证：f（-x）=f（x）=-f（π-x）；
（2）若时，f（x）＞0，求证：f（x）在[0，π]上单调递减.
18.(本小题14分)
已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B为⊙O上的两个动点，C为弦AB的中点，点P的坐标为（6，8），.
（1）求；
（2）若，
（i）求；
（ii）求的取值范围.
19.(本小题14分)
已知函数f（x）=2kx2+kx-（k∈R）.
（1）若f（x）＜0对一切实数x都成立，求k的取值范围；
（2）若函数f（x）在区间[-4，0]上有两个不相等的零点，求k的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】AB
10.【答案】AC
11.【答案】ACD
12.【答案】（）
13.【答案】
14.【答案】，单调递增区间为，k∈Z
15.【答案】解：（1）由题=-1可得，||×||×cosA=bccosA=-1；
因为△ABC的面积为，所以bcsinA=，即bcsinA=；
所以=tanA=-；
又因为A∈（0，π）；
所以A=．
（2）如图所示，
在△ABC中，AM为中线，所以2=+；所以4||2=（+）2=+2 +，
即4×=c2+b2-2，所以b2+c2=5．
由（1）知bcsinA=，所以bc=2；
因为b＞c,所以c=2，b=1；
由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccosA=5+2=7，解得a=，即BC=．
（3）因为S△ANC=|AN|bsin∠CAN，S△BAN=|AN|csin∠BAN，
且∠CAN=∠BAN，
所以==，
所以S△ANC=S△ABC=；
所以|AN|bsin∠CAN=|AN|sin=|AN|=；
解得|AN|=．
16.【答案】千米；
时，
17.【答案】令，那么可得，
根据，解得f（0）=1，
令α=x，β=-x，可得f（x）+f（-x）=2f（0）f（x），
化简得f（-x）=f（x），
令α=x，β=π-x，那么可得，
因此f（x）=-f（π-x），
综上，f（-x）=f（x）=-f（π-x） 由于f（x）=-f（π-x），所以时f（x）=-f（π-x）＜0，
又因为f（x）=f（-x），因此时，时，f（x）＜0，
任取x1，x2∈[0，π]，x1＜x2，
令α=x1，β=π-x2，那么可得，
由于x1+x2∈（0，2π），x1-x2∈[-π，0），
因此，
因此上式可化为，所以函数f（x）在[0，π]上单调递减
18.【答案】4 （i）；（ii）
19.【答案】解：（1）若f（x）=2kx2+kx-＜0恒成立，
当k=0时，-时恒成立，
当k≠0时，，解得-3＜k＜0，
综上，k的范围为（-3，0]；
（2）若函数f（x）在区间[-4，0]上有两个不相等的零点，
因为f（0）=-＜0，
则，解得k＜-3，
故k的范围为{k|k＜-3}．
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