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2025-2026学年江苏省无锡市梁溪区市北高级中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若，则n=（　　）
A. 2 B. 4 C. 2或4 D. 2或3
2.已知某生物技术公司研制出一种新药，并进行了临床试验，该临床试验的成功概率是失败概率的2倍.若记一次试验中成功的次数为X，则随机变量X的数学期望为（　　）
A. B. C. D.
3.已知函数f（x）的导函数为f′（x），且，则 =（　　）
A. B. C. D.
4.设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=-2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（　　）
A. B.
C. D.
5.五一放假期间，4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，若2名女生相邻且农场主站在中间，则不同的站法有（　　）
A. 240种 B. 192种 C. 144种 D. 48种
6.展开式中x2的系数为（　　）
A. 10 B. 24 C. 32 D. 56
7.已知函数f（x）=ex（x3+a）既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（　　）
A. （-4，0） B. [-4，0] C. （0，4） D. [0，4]
8.某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书.到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱，现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知，是两个随机事件，且，下列命题正确的是（ ）
A. 若相互独立， B. 若事件，则
C. 若是对立事件，则 D. 若是互斥事件，则
10.已知f（x）=（2x-3）n的展开式的二项式系数的和为512，且，下列选项正确的是（　　）
A. a1+a2+…+an=1 B.
C. f（6）除以8所得的余数为1 D. a1+2a2+3a3+…+nan=9
11.定义：设f′（x）是f（x）的导函数，f″（x）是函数f′（x）的导函数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数f（x）=x3-3x+1，则下列说法中正确的有（　　）
A. f（x）的对称中心为（0，1）
B. 若关于x的方程f（x）=m有三解，则-1＜m＜3
C. y=f（x）在[-2，n）上有极小值，则n＞-1
D. 若f（x）在[a,b]上的最大值、最小值分别为8、-6，则a+b=0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f（x）=x3，过点作曲线f（x）的切线，则其切线方程为 .
13.随机变量X的分布列如表所示，若，则D（3X-2）= .
X -1 0 1
P a b
14.一个不透明的袋子中有6个白球和2个红球，这些球除颜色外完全相同.某人从袋子中不断地随机摸球，每次从袋子中摸出一个球，直到2个红球被全部取出时停止.则摸球次数为3的概率是 ，摸球次数的期望是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=ax3+bx在x=1处取得极大值2.
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-3，4]上的最值.
16.(本小题15分)
袋中有大小相同的小球10个，其中黑球3个，红球n个，白球（7-n）个，n∈N*.从中任取2个球，至少有1个红球的概率为.
（1）任取3球，求取出的球中恰有2球同色的概率；
（2）任取2球，取到1个红球得2分，取到1个白球得0分，取到1个黑球得-1分，求总得分X的概率分布列及数学期望E（X）.
17.(本小题15分)
现有6个不同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同盒子.
（1）当每个盒子的球数大于等于0时，求共有多少种不同放法；（用数字作答）
（2）当每个盒子的球数不小于它的编号数时，求共有多少种不同放法；（用数字作答）
（3）当每个盒子的球数不小于1时，求共有多少种不同放法；（用数字作答）
18.(本小题17分)
在（x2）n的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为．
（1）求n的值；
（2）求展开式中所有的有理项；
（3）求展开式中系数最大的项．
19.(本小题17分)
函数f（x）=x+alnx,a∈R.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a=-1时，解方程f（x）=xe1-x；
（3）当x≥1时，不等式f（x）≥（1+lnx）2恒成立，求a的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】BC
11.【答案】ABD
12.【答案】y=0或3x-y-2=0
13.【答案】5
14.【答案】
6

15.【答案】解：（1）由f（x）=ax3+bx,得f′（x）=3ax2+b.
因为f（x）在x=1上取得极大值2，
所以，解得．
当时，f（x）=-x3+3x,
则f′（x）=-3x2+3=-3（x+1）（x-1），
当x＜-1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当-1＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
故在函数f（x）在x=1处取得极大值．
所以f（x）=-x3+3x.
（2）由（1）可知，f′（x）=-3x2+3=-3（x-1）（x+1），
当x∈[-3，-1），f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（-1，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（1，4]时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以函数f（x）在x=-1处取得极小值f（-1）=-2，在x=1处取得极大值f（1）=2；
又因为f（-3）=18，f（4）=-52，
所以f（x）在[-3，4]上的最大值为18，最小值为-52．
16.【答案】；
17.【答案】729 60 540
18.【答案】解：（1）有题意知：通项公式为Tr+1= 2r ，则第4项的系数为 23，
倒数第4项的系数为 2m-3，
则有=，即=，∴m=7．
（2）由（1）可得当2m-为整数时，即r=0，2，4，6时，为有理项．
故所有的有理项为T1=x14，T3=84x9，T5=560x4，T7=448x-1．
（3）设展开式中第r+1项的系数最大，则
，求得 ≤r≤，∴r=5，故系数最大项为T6= 25 =672．
19.【答案】a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
a＜0时，f（x）在（0，-a）上单调递减，在（-a，+∞）上单调递增 x=1 [4- e，+∞）
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