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2025-2026学年江苏省扬州市邗江区新华中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为，若l∥α，则实数x的值为（　　）
A. B. C. D.
2.已知定义在（a,b）上的函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）的图象如图所示，则f（x）在（a,b）上的极值点个数为（　　）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3.某旅行社设计了4条不同的旅游路线，甲要从中任选2条路线，分别在假期7月和8月出游，则不同的选择及安排方法有（　　）
A. 24种 B. 16种 C. 12种 D. 6种
4.已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A. B. C. D.
5.如图，在四面体O-ABC中，，，，且，，则=（　　）
A.
B.
C.
D.
6.树人中学选派出甲、乙、丙、丁四名学生参加接力比赛，要求甲不跑第一棒，丁不跑第四棒，则不同的接力比赛顺序有（　　）
A. 8种 B. 10种 C. 12种 D. 14种
7.已知正三棱台ABC-A1B1C1的高为，则二面角B1-BC-A的大小为（　　）
A. B. C. D.
8.已知f′（x）是函数f（x）的导函数，且对任意实数x都有f′（x）-f（x）=ex（2x-1），f（0）=-2，则不等式f（x）＜10ex的解集为（　　）
A. （-4，3） B. （-3，4） C. （-3，2） D. （-2，3）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.2名男生，3名女生，这5个人站成一排，下列选项正确的是（　　）
A. 共有120种排法
B. 男生必须排在一起，共有24种排法
C. 男生甲在男生乙右边（可不相邻）共有60种排法
D. 男生不能排在一起，共有54种排法
10.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则下列结论正确的是（　　）
A. AM⊥ND1
B. 点B到直线AM的距离为
C. 直线AM与直线BN所成角的余弦值为
D. 直线A1M与直线BN是异面直线
11.若函数f（x）=x3+f′（1）x2+4，f′（x）是函数f（x）的导函数，则下列说法正确的是（　　）
A. x=0是f（x）的极小值点
B. 当0＜x＜1时，f（x2）＞f（x）
C. 过点（1，2）只能作一条切线与曲线y=f（x）相切
D. 若直线y=t与曲线y=f（x）交于A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））三点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位数共有 个.
13.已知函数f（x）=alnx+ax2的图象在点（1，f（1））处的切线与直线3x-y-5=0平行，则a= .
14.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AB|=|AD|=1，|AA1|=2，动点P在体对角线BD1上（含端点），则点B到平面APC的最大距离为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
（1）计算：（结果用数字作答）；
（2）解方程：.
16.(本小题15分)
已知函数f（x）=（x2-3x+1）ex.
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-2，0]上的最大值和最小值.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=3，E为AD的中点.
（1）证明：平面PAD⊥平面PAB；
（2）求直线PC与平面PBE所成角的正弦值.
18.(本小题17分)
如图所示，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥平面ABCD，△PAD是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1.
（1）取线段PA中点M连接BM，判断直线BM与平面PCD是否平行并说明理由；
（2）求B到平面PCD的距离；
（3）线段PD上是否存在一点E，使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=x2-mx+2lnx（m∈R）.
（1）若m=5，求函数f（x）的极值点；
（2）若f（x）在其定义域内单调递增，求实数m的取值范围；
（3）若4＜m＜5，且设g（x）=f′（x），g（x）有两个零点x1，x2，其中x1＜x2，求f（x1）-f（x2）的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】AC
10.【答案】ABC
11.【答案】BCD
12.【答案】100
13.【答案】1
14.【答案】
15.【答案】 x=6
16.【答案】解：（Ⅰ）由函数的解析式可得：f′（x）=（x2 x 2）ex=（x+1）（x 2）ex，
令f′（x）=0，得x1= 1，x2=2．
f（x）与f’（x）的变化情况如下：
x （-∞，-1） -1 （-1，2） 2 （2，+∞）
f’（x） + 0 - 0 +
f（x） 单调递增 单调递减 单调递增
所以 f（x）的单调递减区间为（-1，2），单调递增区间为（-∞，-1）和（2，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）在区间（-2，-1）上单调递增，在区间（-1，0）上单调递减．
所以f（x）在区间[-2，0]上的最大值为，
f（x）在区间[-2，0]上的最小值为min{f（-2），f（0）}，
因为，且，
所以f（x）在区间[-2，0]上的最小值为f（0）=1．
17.【答案】证明：底面ABCD为矩形，
所以AB⊥AD，
又因为PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，所以PA⊥AB，
又PA∩AD=A，PA，AD 平面PAD，
所以AB⊥平面PAD，
又AB 平面PAB，
可知平面PAD⊥平面PAB
18.【答案】解：（1）BM∥平面PCD．
理由如下证明：取PN中点N，连接MN，
因为M为PA的中点，且AD=2，BC=1，
所以MN=BC，且MN∥BC，
所以四边形BCNM为平行四边形，
所以BM∥CN，因为CN 平面PCD，BM 平面PCD，
所以BM∥平面PCD．
（2）取AD的中点O，连接PO，OC，
因为△PAD为等边三角形，
所以PO⊥AD，
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以PO⊥平面ABCD，
如图所示，
以O为坐标原点，直线OC，OD，OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，-1，0），D（0，1，0），C（1，0，0），B（1，-1，0），，
，，
设平面PCD的法向量为，
所以，
令z=1，则，
，
故B到平面PCD的距离．
（3）设E（s,t,r），，
所以，
所以，
则，，
设平面EAC的法向量为=（x′，y′，z′），
则，
令，则，
又平面DAC的法向量为，
于是，
化简得3λ2-10λ+3=0，又λ∈[0，1]，
得，
即，
故存在点E，此时．
19.【答案】极大值点为，极小值点为x=2 （-∞，4]
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