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2025-2026学年内蒙古包头市第八十一中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.2025年哈尔滨亚洲冬季运动会高山滑雪比赛的滑雪赛场中某一段滑道的示意图如图所示，综合考虑安全性和趣味性，在滑道最陡处点P处的切线方程是y=-x+8，则f（5）+f′（5）=（　　）
A. -1 B. -2 C. 1 D. 2
2.（x+y）（x-y）6的展开式中x4y3的系数是（　　）
A. 10 B. -10 C. 5 D. -5
3.2026年泡泡玛特旗下的IP“星星人”突然爆火，现有5个不同造型的“星星人”.把这5个“星星人”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有（　　）种不同的装法.
A. 180 B. 150 C. 100 D. 90
4.若离散型随机变量X的分布列如表所示．
X 0 1
P 4a-1 3a2+a
则实数 a的值为（　　）
A. a=-2或 B. a=-2 C. D. a=2或
5.已知函数f（x）的定义域为R，f（1）=-2，对任意x∈R，f′（x）＞3恒成立，则f（x）＞3x-5的解集为（　　）
A. R B. （-∞，1） C. （1，+∞） D. （0，+∞）
6.某高校决定从甲、乙等7支队伍中选出4支队伍参加全国的数学建模大赛，已知甲队被选出，则乙队也被选出的概率为（　　）
A. B. C. D.
7.曲线y=lnx上的点到直线x-y+1=0的最短距离是（　　）
A. B. 2 C. D.
8.已知函数f（x）=ex-e-x-2x,若f（3a+1）+f（2-a）＞0，则实数a的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知随机变量X，Y，且Y=aX+b,X的分布列如下：
X 0 1 2
P 0.2 b a
若E（X）=1，则（　　）
A. a=0.2 B. P（X≤1）=0.8 C. D（X）=0.4 D. E（Y）=0.04
10.在（1+2x）8的展开式中，下列说法正确的是（　　）
A. 二项式系数最大的项为1120x4 B. 常数项为2
C. 第6项与第7项的系数相等 D. 含x3的项的系数为480
11.已知x=-2是函数f（x）=x3+ax2+4的极值点，则（　　）
A. f（x）有1个零点
B. 当-1＜x＜0时，f（|x|）＞f（2-x）
C. 曲线y=f（x）关于点（-1，6）对称
D. 过点（-3，4）与曲线y=f（x）相切的直线有2条
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.用0，1，2，3，4组成没有重复数字的四位数，其中奇数有______个．
13.设A，B为两个随机事件，已知P（A）=0.6，P（A|B）=0.3，P（B|A）=0.2，则P（B）= .
14.若不等式＞x,对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数.
（1）求函数f（x）在x=2处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间和极值.
16.(本小题15分)
已知.
（1）求展开式中所有项的二项式系数之和；
（2）求a1+a3+a5；
（3）求a1+2a2+3a3+4a4+5a5.
17.(本小题15分)
设甲袋中有4个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.
（1）现从甲、乙两个袋内各任取2个球，记取出的4个球中红球的个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.
（2）现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球.求从乙袋中取出的是2个红球的概率.
18.(本小题17分)
高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉将若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内，如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内，例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下．
（1）若进行一次高尔顿板试验，求这个小球掉入2号球槽的概率；
（2）若进行5次高尔顿板试验，记小球掉入偶数号球槽的次数为ξ，求ξ的分布列与期望．
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=lnx-2m（x-1）（m∈R）.
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）证明：当时，f（x）＜3-ln4；
（3）若不等式xf（x）+ex-1-x≥0对 x∈[1，+∞）恒成立，求实数m的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】ABC
10.【答案】AC
11.【答案】ACD
12.【答案】36
13.【答案】0.4
14.【答案】（0，e）
15.【答案】解：（1）由于，
所以：f′（x）=3x2+3x-6，
所以f′（2）=12+6-6=12，又f（2）=8+6-12-1=1，
所以函数f（x）在x=2处的切线方程为y-1=12（x-2），整理得12x-y-23=0．
（2）函数的定义域为R，由于f′（x）=3x2+3x-6=3（x+2）（x-1），
所以f′（x）=3x2+3x-6=3（x+2）（x-1）；
令f′（x）=0，解得x=-2，x=1，
则x,f′（x），f（x）的变化如下表：
x （-∞，-2） -2 （-2，1） 1 （1，+∞）
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
故函数 f（x）的单增区间为（-∞，-2），（1，+∞），单减区间为（-2，1）；
函数f（x）的极大值为f（-2）=-8+6+12-1=9，极小值为．
16.【答案】32 121 405
17.【答案】解：（1）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
则，，P（X=2）==，，，
所以X的分布列为：
P 0 1 2 3 4
X
所以；
（2）记事件A1：从甲袋中取出2个红球，A2：从甲袋中取出2个白球，A3：从甲袋中取出1个白球和1个红球，B：从乙袋中取出2个红球，
显然，A1，A2，A3两两互斥，且A1+A2+A3正好为“从甲袋中任取2个球”的样本空间Ω，
由全概率公式，得P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）=，
即从乙袋中取出的是2个红球的概率为．
18.【答案】解：（1）设这个小球掉入2号球槽为事件A，
掉入2号球槽，需要向右1次向左5次，
所以P（A）=，
故这个小球掉入2号球槽的概率为．
（2）小球掉入偶数号球槽的概率P=++，
由题意可得，ξ～B（5，），且ξ所有可能取值为0，1，2，3，4，5，
P（ξ=k）=，k=0，1，2，3，4，5，
故可得ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3 4 5
P
故E（ξ）=．
19.【答案】若m≤0，函数f（x）在定义域（0，+∞）内单调递增；若m＞0，函数f（x）在内单调递增，在内单调递减 当时，可知函数f（x）在内单调递增，在内单调递减，
则，
令t=2m∈（1，4），g（t）=t-lnt-1，则在t∈（1，4）内恒成立，
可知g（t）在（1，4）内单调递增，则g（t）＜g（4）=3-ln4，
所以当时，f（x）＜3-ln4
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