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2025-2026学年山东省淄博中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若z（1-i）=2，则z=（　　）
A. 1-i B. 1+i C. -1-i D. -1+i
2.下列关于空间几何体的说法，错误的是（　　）
A. 棱柱的侧棱都互相平行且相等
B. 正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心
C. 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的几何体一定是棱台
D. 圆柱的侧面展开图是矩形
3.已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（　　）
A. B. C. D.
4.已知α，β为两个不同的平面，m,n为两条不同的直线，则下列命题正确的是（　　）
A. 若α∥m,β∥m,则α∥β
B. 若m∥n,m∥α，n∥β，则α∥β
C. 若m∥n,m⊥α，n⊥β，则α∥β
D. 若m,n为异面直线，m∥α，n∥β，则α∥β
5.已知向量，满足：，，且，则||=（　　）
A. B. C. D. 1
6.△ABC的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为（　　）
A. B. C. D. 9
7.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′=4，C′D′=2，则四边形ABCD的周长为（　　）
A.
B.
C.
D.
8.在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，PA=2AB=2BC=4，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积与体积分别为（　　）
A. 12π， B. 12π， C. 24π， D. 24π，
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数，则（　　）
A. |z|=5 B. z的虚部为-2 C. z-1为纯虚数 D.
10.下列命题中正确的是（　　）
A. 若，则或
B. 在△ABC中，若点P满足，则P为△ABC的垂心
C. 已知非零向量，若，则的夹角为锐角
D. 若M是△ABC所在平面上的一点，且满足，则△ABC为等腰三角形
11.六氟化硫，化学式为SF6，在常压下是一种无色，无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m,则（　　）

A. 该正八面体结构的表面积为 B. 该正八面体结构的体积为
C. 该正八面体结构的外接球表面积为2πm2 D. 该正八面体结构的内切球表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，则四棱锥S-ABCD的体积与正方体体积的比为 .
13.已知复数z满足|z-1|=1，则|z+2+4i|（i是虚数单位）的最小值为 .
14.已知向量，夹角为，，若对任意x∈R，恒有，则函数的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量，若，与的夹角为.
（1）求；
（2）求与夹角的余弦值.
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a,b,c,已知sinA+cosA=0，a=2，b=2.
（1）求c；
（2）设D为边BC上一点，且AD⊥AC，求CD的长.
17.(本小题15分)
如图，一个圆锥的顶点是P，O是底面的圆心，AB是底面的一条直径，AB=2.
（1）若PA和圆锥底面所成角大小是，求该圆锥的表面积；
（2）若Q是PA中点，C、D是底面圆上两点，劣弧AC的长为，CD∥AB，M是线段OC上一点，求证：平面QCO∥平面PBD.
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,若sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC．
（1）求角A的值；
（2）若BC=3，求△ABC周长的最大值．
19.(本小题17分)
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P分别为棱D1C1，B1C1，AA1的中点.
（1）求证：D，B，F，E四点共面.
（2）设平面A1BD∩平面A1B1C1D1=l,求证：BD∥l.
（3）棱A1D1上是否存在一点M，使PM∥平面DBFE？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】BC
10.【答案】BD
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】4
14.【答案】
15.【答案】；
．
16.【答案】c=4
17.【答案】（1）3π （2）证明：因为O，Q分别为AP，AB的中点，
所以OQ∥PB，
又因为OQ 平面QCO，PB 平面QCO，
所以PB∥平面QCO，
劣弧AC的长为，又因为圆O的半径为1，
则，
又因为OC=OD，可得△OCD为等边三角形，
所以CD=OB=1，
所以四边形OCDB为平行四边形，
所以OC∥BD，
又因为OC 平面QCO，BD 平面QCO，
所以BD∥平面QCO，
又因为PB∩BD=B，PB，BD 平面PBD，
所以平面PBD∥平面QCO
18.【答案】解：（1）△ABC中，因为sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC，
由正弦定理得a2-b2-c2=bc,...①
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，...②
由①②解得cosA=-，
又A∈（0，π），所以A=；
（2）由a=BC=3，sinA=sin=，
根据正弦定理得====2，
所以b=2sinB，
c=2sinC=2sin（-B）=3cosB-sinB，
所以a+b+c=3+2sinB+（3cosB-sinB）=3+sinB+3cosB=3+2sin（B+）；
又0＜B＜，所以当B=时，△ABC周长取得最大值为3+2．
19.【答案】连接D1B1，
因为E，F分别为棱D1C1，B1C1的中点，
所以EF∥D1B1，
又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1∥BB1且DD1=BB1，
所以四边形DBB1D1为平行四边形，
所以DB∥B1D1，
所以EF∥BD，
所以D，B，F，E四点共面 由（1）知EF∥BD，
又EF 平面A1B1C1D1，BD 平面A1B1C1D1，
所以BD∥平面A1B1C1D1，
因为平面A1BD∩平面A1B1C1D1=l，BD 平面A1BD，
所以BD∥l 存在，
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