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2025-2026学年四川省巴中市南江中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知函数f（x）=，则f′（2）=（　　）
A. -2 B. -4 C. - D. -
2.已知等差数列{an}的通项公式为an=2n-9，则使得前n项和Sn最小的n的值为（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3.导函数y=f′（x）的图象如图所示，在标记的点中，函数y=f（x）的极大值点为（　　）
A. x1
B. x2
C. x3
D. x4
4.已知等比数列{an}中，a3 a10=1，a6=2，则公比q为（　　）
A. B. 2 C. D. 4
5.已知函数f（x）=ax+cosx在上单调递增，则a的取值范围是（　　）
A. [-1，+∞） B. [1，+∞） C. D.
6.下列命题为真命题的是（　　）
A. 若a＞b＞1，则 B. 若a＞b＞1，则
C. 若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D. 若a＜b＜0，则cosa＜tanb.
7.已知n∈N*，设函数的零点个数为an，则a1+a2+…+a10=（　　）
A. 120 B. 210 C. 75 D. 240
8.定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足xf′（x）＞x+1，且f（5）=ln（5e5），则不等式f（ex）＞ex+x的解集为（　　）
A. （10，+∞） B. （ln5，+∞） C. （ln10，+∞） D. （5，+∞）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列命题正确的有（　　）
A. 已知函数f（x）在R上可导，若f′（1）=2，则
B.
C. 已知函数f（x）=ln（2x+1），若f′（x0）=1，则
D. 设函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）=x2+3xf′（2）+lnx,则
10.记Sn为数列{an}的前n项和，已知则（　　）
A. 2026是数列{an}中的项
B. 数列{a2n-1}是公比为2的等比数列
C. S7=115
D. 若cn=a2n，则数列的前n项和小于
11.对于函数，则（　　）
A. 函数f（x）的单调递减区间为（0，e）
B. 不存在k∈R，使得直线y=k（x-1）与曲线y=f（x）相切
C. 若方程|f（|x|）|=k有6个不等实数根，则k＞e
D. 对任意正实数x1，x2，且x1≠x2，若f（x1）=f（x2），则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f（x）=ex+x,则曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为 .
13.已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn+1Sn+an+1=0，a1=1，则a8= .
14.已知函数y=ex的图象在点P（a,b）（其中a＜2）处的切线与圆心为Q（1，0）的圆相切，则圆Q的最大面积是
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=x3-3x2-9x+1（x∈R）.
（1）求函数f（x）的单调区间和极值.
（2）若2a-1≤f（x）对 x∈[-2，4]恒成立，求实数a的取值范围.
16.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1D⊥平面ABC，AB=AC，AB⊥AC，D，E分别为BC，B1C1的中点.
（1）证明：侧面BCC1B1为矩形；
（2）若AA1=2AB=4，求直线AA1与平面A1CE夹角的正弦值.
17.(本小题15分)
已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点A（0，2）满足直线AF1，AF2的斜率之积为-4，点B是C上任意一点，.
（1）求C的方程；
（2）过点A的直线l与C交于D，E两点，若以DE为直径的圆经过坐标原点O，求直线l的方程.
18.(本小题17分)
已知等差数列{an}前n项和为Sn，2a1+a2=a4，S5=4a3+3.数列{bn}前n项和为Tn，Tn=2bn-2.
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）求数列的前n项和；
（3）若数列的前2n项和为P2n，且P2n＞2026，求n的最小值.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=x2-1+aln（1+x），
（1）当a=-4时，讨论函数单调性；
（2）当a=2时，若对任意x∈（-1，+∞），不等式f（x）+x+2≤bex+lnb恒成立，求b的最小值；
（3）若f（x）存在两个不同的极值点x1，x2，x1＜x2，且f（x1）＜mx2，求实数m取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】CD
10.【答案】AD
11.【答案】BCD
12.【答案】2x-y+1=0
13.【答案】
14.【答案】2π
15.【答案】解：（1）因为f（x）=x3-3x2-9x+1（x∈R），
则f'（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3），
合f′（x）=0，可得x=-1或x=3，列表如下：
x （-∞，-1） -1 （-1，3） 3 （3，+∞）
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） 增 极大值 减 极小值 增
所以，函数 f（x）的增区间为（-∞，-1）、（3，+∞），减区间为（-1，3），
函数f（x）的极大值为f（-1）=-1-3+9+1=6，极小值为f（3）=27-27-27+1=-26．
（2）由（1）可知，函数f（x）在区间[-2，-1]上单调递增，在[-1，3]上单调递减，在[3，4]上单调递增，
且 f（-2）=-8-12+18+1=-1，故当x∈[-2，4]时，f（x）min=min{f（-2），f（3）}=f（3）=-26，
因为2a-1≤f（x），对 x∈[-2，4]恒成立，则2a-1≤f（x）min=-26，解得，
因此，实数a的取值范围是．
16.【答案】连接DE，如图所示：
易知A1E⊥B1C1，
又因为A1D⊥面ABC，面ABC∥面A1B1C1，所以A1D⊥面A1B1C1，
又因为B1C1 面A1B1C1，所以A1D⊥B1C1，
又因为A1D∩A1E=A1，A1D，A1E 面A1DE，所以B1C1⊥面A1DE，
又因为DE 面A1DE，所以B1C1⊥DE，
D，E分别是BC，B1C1的中点，所以DE∥BB1，所以B1C1⊥BB1，
故侧面BCC1B1为矩形
17.【答案】
18.【答案】an=n； 32
19.【答案】函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，在区间（-1，1）上单调递减
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