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2025-2026学年四川省眉山市第一中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知随机变量X的分布列为P（X=i）=（i=1，2，3，4），则P（2≤x＜4）=（　　）
A. B. C. D.
2.5名工人各自在4天中选择1天休息，不同方法的种数是（　　）
A. 45 B. 54 C. D.
3.函数f（x）的图象如图所示，设f（x）的导函数为f′（x），则的解集为（　　）
A. （-∞，0）∪（1，4）
B. （0，4）
C. （0，1）∪（4，+∞）
D. （-∞，0）∪（4，+∞）
4.的展开式中，含有的项的系数为（　　）
A. -160 B. 60 C. 100 D. -100
5.横峰中学高二某班准备举办一场“互动沙龙”，要求从6位男嘉宾，2位女嘉宾中随机选出4位嘉宾进行现场演讲，且女嘉宾至少要选中1位，如果2位女嘉宾同时被选中，她们的演讲顺序不能相邻，那么不同演讲顺序的种数是（　　）
A. 1860 B. 1320 C. 1140 D. 1020
6.已知f（x）是可导的函数，且f′（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（　　）
A. f（1）＜ef（0），f（2025）＜e2025f（0）
B. f（1）＞ef（0），f（2025）＞e2025f（0）
C. f（1）＞ef（0），f（2025）＜e2025f（0）
D. f（1）＜ef（0），f（2025）＞e2025f（0）
7.将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的莱布尼茨三角形.莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果n≥2（n为正整数），则下列结论中正确的是（　　）
第0行
第1行
第2行
第3行
…………
A. 当n=2023时，中间的两项相等，且同时取得最大值
B. 当n=2024时，中间一项为
C. 第6行第5个数是
D.
8.已知函数，若函数g（x）=[f（x）]2+（2a+1）f（x）+2a有4个零点，则实数a的取值范围是（　　）
A. [0，1] B. （1，2] C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，则（　　）
A. B. C. D.
10.已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A. e是函数f（x）定义域内的极小值点
B. f（x）的单调减区间是（0，e）
C. 若方程f（x）=m（m∈R）有两个不同的实根，则m＞e
D. f（x）在定义域内无最小值，无最大值
11.设函数f（x）=x3-3x2+2，则（　　）
A. f（x）有三个零点
B. x=2是f（x）的极大值点
C. 当时，-2＜f（2x-1）＜0
D. 若过点（3，m）可以作三条直线与y=f（x）的图象相切，则m的取值范围为（-6，2）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量X服从两点分布，且，则P（X=1）= .
13.若函数在区间[2，+∞）内单调递增，则实数a的取值范围为 .
14.已知在一个有底的圆锥容器（厚度忽略不计）内放入一个正方体，若该正方体在其内部能任意转动，且正方体的最大棱长为，则该圆锥容器的容积的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=ax2+cosx（a为常数），若曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线垂直于直线x+πy+1=0.
（1）求a的值；
（2）求f（x）的单调区间和最值.
16.(本小题15分)
已知.
（1）求n的值；
（2）求|a1|+|a2|+|a3|+ +|an|的值；
（3）求a1+2a2+3a3+ +nan的值.
17.(本小题15分)
紫金天街抓娃娃机游乐场设有甲、乙两个盲抓娃娃机器，甲机器有3个良品娃娃和2个次品娃娃；乙机器有4个良品娃娃和1个次品娃娃.游戏规则：先选择一个机器，从该机器中等可能抓取1个娃娃，称为首次抓取；再将首次抓取的娃娃放回原机器，再重新选择机器进行第二次抓取，两次选择相互独立.若两次都抓到良品娃娃，则游戏通关.小明每次选择抓取甲机器的概率为，乙机器的概率为.
（1）求小明首次抓取抓到良品娃娃的概率；
（2）已知小明已经游戏通关，求首次选择抓取的是乙机器的概率；
（注：贝叶斯公式）
（3）小明为了更好的通关，现有两种方案：
方案一：第二次继续从首次选择的机器中抓取；
方案二：第二次从另一个机器中抓取.
比较两种方案，哪种方案游戏通关的概率更大.
18.(本小题17分)
已知（X，Y）是二维离散型随机变量，其中X、Y是两个相互独立的离散型随机变量，（X，Y）的分布列如表：
Y
X 0 2 4
1
3
（1）求P（X=3）和P（Y=0）；
（2）“Y|X=x”表示在X=x条件下Y的取值.
（i）求“Y|X=3”的分布列；
（ii）E（X）为X的数学期望，E（X|Y=yi）为“X|Y=yi”的数学期望，证明：.
19.(本小题17分)
已知函数.
（1）若函数f（x）在（-1，2）单调递减，求a的范围；
（2）若f（x）≥0恒成立，求a的值；
（3）求证：.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】ACD
10.【答案】ACD
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】（-∞，5]
14.【答案】
15.【答案】 单调递减区间为（-∞，0），单调递增区间为（0，+∞）；最小值为1，无最大值
16.【答案】8 6560 16
17.【答案】 方案二
18.【答案】P（X=3）=，P（Y=0）= （i）“Y|X=3”的分布列为：
Y 0 2 4
P（Y|X=3）
（ii）证明：由分布列可得X的边缘分布：P（X=1）=，P（X=3）=，
则X的数学期望为：E（X）=1×=，
计算等式右边各项：P（Y=0）=，P（Y=2）=，P（Y=4）=，
条件期望分别为：E（X|Y=0）=+3×=，E（X|Y=2）=1×+3×=，E（X|Y=4）=1×=，
所以==，
所以E（X）=
19.【答案】[3，+∞） a=1 证明：先证sinx＜x（x＞0），设h（x）=sinx-x（x＞0），则h′（x）=cosx-1≤0，
所以h（x）在区间（0，+∞）上单调递减，所以h（x）＜h（0）=0，即sinx＜x．
所以，
再证．
由（2）可知，当x=0时等号成立，
令，则，即，
所以，
累加可得，
所以
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