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2025-2026学年云南省曲靖市宣威市第七中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合A={x|x2＜5}，B={-1，0，1，2，5}，则A∩B=（　　）
A. B. {-1，0，1} C. {-1，0，1，2} D. {-1，1，2，5}
2.已知a,b∈R，（a+3i）+（1-i）=5+bi,则ab=（　　）
A. -4 B. 7 C. 8 D. 6
3.“（ax+1）6的展开式中x2的系数为60”是“a=2”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知函数f（x）=alnx+x2的图象在x=1处的切线方程为3x-y+b=0，则a+b=（　　）
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
5.龙辰塔，萧县“龙城”文化地标，矗立于岱湖中心，是一座仿唐宋形制的八角仿古景观塔.某中学社会实践小组为探究这座古塔的高度，开展了一次实地测量的活动，他们在塔底B所在的水平地面上选取C，D两点，测得CD=15米，∠BCD=15°31′，∠BDC=150°，在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则龙辰塔的高度AB约为（　　）（参考数据：取sin14°29′=0.25，）
A. 48米 B. 50米 C. 52米 D. 54米
6.已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C的右支上，且∠F1PF2=60°，若PF1的中点在C的第一、三象限内的渐近线上，则C的渐近线方程为（　　）
A. B. y=±2x C. D. y=±3x
7.球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为3：4，则球的体积与圆台的体积之比为（　　）
A. 6：13 B. 5：14 C. 3：4 D. 7：15
8.若直线y=t与函数f（x）=|log2x|的图象从左至右交于点A，B，直线与f（x）的图象从左至右交于点M，N，则当t变化时，的取值范围为（　　）
A. （0，4] B. （4，+∞） C. （0，4） D. [4，+∞）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.记正项等比数列{an}的前n项积为Tn，若a10=8，，则下列结论正确的是（　　）
A. B. 当Tn取得最小值时，n=9
C. {an}是递增数列 D. 使Tn＞1的n的最小值为17
10.下列命题中正确的是（　　）
A. 决定系数R2越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好
B. 若回归方程为y=-0.45x+0.6，则变量y与x成负相关
C. 某校高三年级男生的身高X（单位：cm）近似服从N（170，52），随机选择一名该校高三年级的男生，则P（175＜X＜180）=0.2718（若X N（μ，σ2），则P（μ-σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545）
D. 样本相关系数r的取值范围为[-1，1]，|r|刻画了样本点集中于某条直线的程度，当r=0时，只表明成对样本数据间没有线性相关关系
11.已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A. f（x）的最小正周期为π B. f（x）的图象关于直线x=π对称
C. f（x）的图象关于点对称 D. f（x）无零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，若在上的投影向量相等，则x= .
13.一组数据19、5、4、13、a、b、1、2、16、3的第60%分位数为9（其中a,b∈（5，13）），则最小值为 .
14.已知以原点为中心的椭圆C1、双曲线C2，与抛物线有公共焦点F，且在第一象限交于同一点P.若C2的离心率为2，则C1的离心率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，已知：
（1）求角A；
（2）若，b=2，求边c及△ABC的面积.
16.(本小题15分)
某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同.甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p,假设每道题答对与否互不影响.
（1）当时，若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率；
（2）当时，甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望E（X）；
（3）乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值.
17.(本小题15分)
在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥AB，PA⊥BC，PA∥BE，AB=PA=2，BE=1.
（1）证明：CE∥平面PAD；
（2）求平面PCD与平面PCE所成角的余弦值；
（3）求点D到平面PCE的距离.
18.(本小题17分)
已知椭圆的右顶点为A（2，0），点为椭圆上的一点.设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2.
（1）求椭圆的标准方程及离心率；
（2）过点F1的直线l与椭圆交于B，C两点（异于椭圆的左、右顶点）.
（i）求△F2BC面积的最大值；
（ii）设直线AB，AC分别交y轴于M，N两点，求证：以MN为直径的圆与x轴相交的弦长为定值.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=x2-（a+2）x+alnx,其中a∈R.
（1）讨论f（x）的单调性.
（2）若函数g（x）=f（x）-x2有两个不同的零点x1，x2.
①求实数a的取值范围；
②证明：.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】ACD
10.【答案】ABD
11.【答案】CD
12.【答案】2
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】 c=3，
16.【答案】 X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
数学期望为
17.【答案】证明：因为四边形ABCD为正方形，所以AD∥BC，AB⊥AD，
又PA⊥BC，所以PA⊥AD，又PA⊥AB，
所以PA，AB，AD两两垂直，
如图，以A为原点，分别以直线AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz，
A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），E（2，0，1），P（0，0，2），
，显然是平面PAD的一个法向量，
因为，
所以，
又CE 平面PAD，
所以CE∥平面PAD
18.【答案】椭圆的标准方程为，离心率为 （i）3，（ii）A（2，0），
当l⊥x轴时，交点，关于x轴对称，所以点M，N关于原点对称，所以以MN为直径的圆圆心为O，半径为OM，
因为MO∥BF1，所以△BF1A∽△MOA，则，所以|OM|=1，
又因为|OF1|=|OF2|=1，所以圆O与x轴的截得的弦为F1F2，|F1F2|=2，
当直线l斜率存在时，设直线l：y=kx+k，
设B（x1，y1），C（x2，y2），
联立方程组，消y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0，
所以由根与系数的关系可得：，，
，
直线，令x=0，则，，
直线，令x=0，则..，，
则，，
则
即
即F1M⊥F1N，同理可证F2M⊥F2N，即点F1，F2在以MN为直径的圆上，
又因为F1，F2在x轴上，所以以MN为直径的圆被x轴截得的弦为F1F2，|F1F2|=2，
综上所述：以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值2．

19.【答案】若a≤0，f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增；若0＜a＜2，f（x）在内单调递增，在内单调递减；若a=2，f（x）在（0，+∞）内单调递增；若a＞2，f（x）在内单调递增，在内单调递减 ①；②证明：当时，g（x）有两个不同的零点x1，x2．
两根满足，
两式相加得：，两式相减得：，
上述两式相除得，
不妨设x1＜x2，要证：，只需证：，
即证，
设，令，
则，
可知函数F（t）在（1，+∞）上单调递增，且F（1）=0．
可得F（t）＞0，即，所以
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