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2025-2026学年云南省玉溪一中高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合M={-2，-1，0，1，2}，N={x|x2-x-60}，则M∩N=（　　）
A. {-2，-1，0，1} B. {0，1，2} C. {-2} D. {2}
2.已知实数a＞0，b＞1满足a+b=5，则+的最小值为（　　）
A. B. C. D.
3.已知函数，则f（x）（　　）
A. 是奇函数，且在R上是增函数 B. 是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数
C. 是奇函数，且在R上是减函数 D. 是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数
4.若，则tanα=（　　）
A. 1 B. -1 C. D.
5.围棋是一种古老的智力游戏，相传是中国“五帝”之一的尧帝发明的，至今已有4000多年的历史.围棋最早被称为“弈”或“棋”后来，人们根据下棋时黑白双方总是互相攻击，互相包围的特点，称“下棋”是“围棋”这样，“围棋”作为一个专门名词就固定下来.南北朝时候，棋盘定型为现在的19道棋盘（即棋盘上有纵横各19条线段将棋盘分成361个交叉点）.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（　　）（参考数据：lg3≈0.48）
A. 1093 B. 1073 C. 1053 D. 1033
6.设△ABC的面积为S，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且b2=a2+c2-ac,若，则此三角形的形状为（　　）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，动点E在棱BB1上，动点F在线段A1C1上，O为底面ABCD的中心，若A1F=m,BE=n,则四面体O-AEF的体积（　　）
A. 与m,n都有关 B. 与m,n都无关 C. 与m有关，与n无关 D. 与n有关，与m无关
8.已知函数为f（x）的零点，为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）单调，则ω的最大值为（　　）
A. 11 B. 9 C. 7 D. 5
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列命题中错误的有（　　）
A. 若复数z满足z2＜0，则z是虚数
B. 若复数z∈R，则其虚部不存在
C. “”是“”的充分不必要条件
D. 若复数z1、z2满足z1 z2∈R，则z1=z2
10.已知互不相同的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18个样本数据的方差为，平均数：去掉的两个数据的方差为，平均数；原样本数据的方差为s2，平均数，若，则（　　）
A. 剩下的18个样本数据与原样本数据的中位数不变
B.
C. 剩下18个数据的22%分位数大于原样本数据的22%分位数
D.
11.给定函数f（x）=x2-3x+m,g（x）=x,x∈R，用M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为M（x）=max{f（x），g（x）}，则（　　）
A. M（x）的图象可能是一条直线
B. M（x）的图象不可能是一条直线
C. 当m=2时，M（x）的值域为[1，+∞）
D. 若关于x的不等式M（x）＜0的解集中有且仅有1个整数，则实数m的取值范围是[-10，-4）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，，则向量与的夹角为 .
13.在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内，有一体积为V的球，若AB⊥BC，AB=3，BC=4，AA1=5，当球的体积V取得最大值时，球的内接正四面体的棱长为______．
14.已知函数，若不相等的正实数a，b满足，且a，b恰为g（x）=|lnx|-k的两个零点，则k=______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=x2-3x+a．
（1）若f（x）＞0在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）＜0在x∈（-1，2）上恒成立，求实数a的取值范围．
16.(本小题15分)
已知函数.
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数的零点为x0，求.
17.(本小题15分)
已知向量=（2cosx，sinx+sinθ），=（2sinx，-cosx+cosθ）．
（1）若∥，求cos（x+θ）；
（2）若，函数f（x）= （x∈[0，π]），求f（x）的值域．
18.(本小题17分)
设函数f（x）=ax2+（1-a）x+a-2（a∈R）.
（1）若a=-2，求f（x）＜0的解集.
（2）若不等式f（x）≥-2对一切实数x恒成立，求a的取值范围；
（3）解关于x的不等式：f（x）＜a-1.
19.(本小题17分)
近年来，某西部乡村农产品加工合作社每年消耗电费24万元.为了节能环保，决定修建一个可使用16年的沼气发电池，并入该合作社的电网.修建沼气发电池的费用（单位：万元）与沼气发电池的容积x（单位：米3）成正比，比例系数为0.12.为了保证正常用电，修建后采用沼气能和电能互补的供电模式用电.设在此模式下，修建后该合作社每年消耗的电费C（单位：万元）与修建的沼气发电池的容积x（单位：米3）之间的函数关系为（x≥0，k为常数）.记该合作社修建此沼气发电池的费用与16年所消耗的电费之和为F（单位：万元）.
（1）解释C（0）的实际意义，并写出F关于x的函数关系；
（2）该合作社应修建多大容积的沼气发电池，可使F最小，并求出最小值.
（3）要使F不超过140万元，求x的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】BD
10.【答案】ABD
11.【答案】BD
12.【答案】30°
13.【答案】
14.【答案】ln2
15.【答案】解：（1）函数f（x）=x2-3x+a，
因为f（x）＞0在x∈R上恒成立，即x2-3x+a＞0在x∈R上恒成立，
所以△=（-3）2-4a＜0，解得，
故实数a的取值范围为；
（2）因为f（x）＜0在x∈（-1，2）上恒成立，即x2-3x+a＜0在x∈（-1，2）上恒成立，
因为f（x）=x2-3x+a=，x∈（-1，2），
所以a-≤f（x）＜f（-1）=4+a，
则4+a≤0，解得a≤-4，
故实数a的取值范围为（-∞，-4]．
16.【答案】（I），k∈Z；
（II）．
17.【答案】解：（1）因为∥，所以2cosx（-cosx+cosθ）=2sinx（sinx+sinθ），
即2（cosxcosθ-sinxsinθ）=2（sin2x+cos2x），
则cos（x+θ）=1，
所以cos（x+θ）=；
（2）因为，所以=（2cosx，sinx+1），=（2sinx，-cosx+1），
所以f（x）=4sinxcosx+（sinx+1）（-cosx+1）
=3sinxcosx+（sinx-cosx）+1
=-（sinx-cosx）2+（sinx-cosx）+，
设t=sinx-cosx，则t=sin（x-），
因为x∈[0，π]，所以t∈[-1，]，
设g（t）=-t2+t+，t∈[-1，]，
由二次函数性质可得：g（t）max=g（）=，
g（t）min=g（-1）=0，
故f（x）的值域为[0，]．
18.【答案】解：（1）
由函数f（x）=ax2+（1-a）x+a-2（a∈R），
若a=-2，可得f（x）=-2x2+3x-4，
又由f（x）＜0，即不等式-2x2+3x-4＜0，
即2x2-3x+4＞0，
因为=9-4×2×4＜0，且函数对应的抛物线开口向上，
所以不等式2x2-3x+4＞0的解集为R，
即f（x）＜0的解集为R；
（2）由f（x）≥-2对一切实数x恒成立，
等价于 x∈R，ax2+（1-a）x+a≥0恒成立，
当a=0时，不等式可化为x≥0，不满足题意，
当a≠0，则满足，
即，解得，
所以a的取值范围是；
（3）依题意，
f（x）＜a-1等价于ax2+（1-a）x-1＜0，
当a=0时，不等式可化为x＜1，解集为{x|x＜1}，
当a＞0时，不等式可化为（ax+1）（x-1）＜0，
此时，
所以不等式的解集为，
当a＜0时，
不等式化为（ax+1）（x-1）＜0，
①当a=-1时，，
不等式的解集为{x|x≠1}；
②当-1＜a＜0时，，
不等式的解集为{x|x＜1或x＞-}；
③当a＜-1时，，
不等式的解集为{x|x＜-或x＞1}；
综上，当a＜-1时，解集为{x|x＜-或x＞1}；
当a=-1时，解集为{x|x≠1}；
当-1＜a＜0时，解集为{x|x＜1或x＞-}；
当a=0时，解集为{x|x＜1}；
当a＞0时，解集为．
19.【答案】解：（1）C（0）的实际意义是未修建沼气发电池时合作社每年消耗的电费，
由C（0）=，得k=1200，
∴F=16+0.12x=（x≥0）；
（2）∵F==
=90，当且仅当，即x=350时取等号．
∴该合作社应修建容积为350米3的沼气发电池，可使F最小，最小值为90万元；
（3）由F=≤140，得3x2-3350x+305000≤0，
解得：100≤x≤．
∴x的取值范围为[100，]．
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