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北京市鲁迅中学2025-2026学年第二学期学情调研八年级数学
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ）
A. B. C. D.
2.在下列性质中，平行四边形不一定具有的是( )
A. 对边相等 B. 对角互补 C. 对边平行 D. 对角相等
3.下列计算正确的是（）
A. B. C. D.
4.如图所示，某数学小组为测量池塘两侧、两点之间的距离，在空地上另取一点，并找到，的中点，，通过测量得，则（ ）
A. B. C. D.
5.下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 1，1， D. 1，1，1
6.将一次函数y =2x-3的图象沿y轴向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为（）
A. y=2x B. y=2x-6 C. y=5x-3 D. y= - x-3
7.如图1，在菱形中，，动点P从点A出发，沿，，匀速运动至点B，连接，．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的函数图象如图2所示，那么下列说法中正确的是（ ）
A.
B.
C. 菱形的面积
D. 当时，点P一定运动到的中点
8.如图，墙面MO与地面NO垂直，一块矩形木板ABCD的顶点A，B分别在OM和ON上滑动，连接OC（图中各点均在同一平面内），已知AB=8，BC=3，在木板滑动的过程中，下面说法正确的是（　　）
A. OC的最大值为9，最小值为3 B. OC的最大值为，最小值为3
C. OC的最大值为9，最小值为2 D. OC的最大值为，最小值为1
二、填空题：本题共9小题，共22分。
9.函数y=-1中，自变量x的取值范围是 ．
10.在平行四边形中，若，则 ．
11.若函数y=（2k-6）x+1是关于x的一次函数，y随x增大而增大，则k的取值范围是 .
12.如图，菱形ABCD的周长为20，点A的坐标是(4，0)，则点B的坐标为 ．
13.如图，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上一点，且BP=BC，则∠BPC= °.
14.如图，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线 ，在l上取点B，使 ，以点O为圆心， 为半径作弧，弧与数轴交点为C，则点C表示的数是 ．
15.如图，从一个大正方形中裁去面积为12和27的两个小正方形，则剩下阴影部分的面积为 ．
16.在图1所示的的网格内有一个八边形，网格中每个小方格的边长均为．经探究发现，此八边形可按图所示的方式分割成四个全等的五边形和一个小正方形①．现将分割后得到的四个五边形重新拼接（图中的阴影部分），得到一个大正方形，发现该正方形中间的空白部分②也是个正方形，记正方形①的面积为，正方形②的面积为．若大正方形的面积为，则 ．
17.阅读理解：勾股定理是几何学中的明珠，结合数形结合思想，经常在解决最值问题时起到化腐朽为神奇的作用．
例题：求代数式的最小值．
解决问题时，我们可以如图构造图形，中，，，，则，延长至点D，使，过点D作的垂线，在下方的垂线上截取，连接，，则，由两点之间线段最短可知，最小值即为线段的长，最后过点E作的垂线，垂足为点F，利用勾股定理即可求出的长，进而解决问题．
(1) 的长为 ；
(2) 类比如上方法，求的最小值为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
18.计算：
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共8小题，共57分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题4分)
如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，E，F为上两点，连接，，，，且，求证：四边形为平行四边形．
20.(本小题7分)
已知：如图，在中，．
求作：以为边作菱形．
作法：
①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点；分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线与交于点；
②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；
③连接．
四边形ABCD为所求的菱形．
(1) 根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；
(2) 完成以下证明．
证明：平分，
，
又，
四边形为平行四边形（ ）（填推理的依据）
又
平行四边形是菱形．（ ）．（填推理的依据）
(3) 若，则菱形的面积为 ．
21.(本小题4分)
某校有一块如图所示的四边形空地，为迎接国庆节的到来，学校欲在此地种满鲜花．已知鲜花的费用为100元/，．请你算出学校应付费用多少元？
22.(本小题5分)
如图，在 中，D，E分别为 的中点， ，垂足为F，点G在 的延长线上， ．
(1) 求证：四边形 是矩形；
(2) 若 ， ， ，求 和 的长．
23.(本小题7分)
在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，．
(1) 画出该一次函数的图象，并求这个一次函数的解析式；
(2) 当时，的取值范围是 ；
(3) 如果点，那么的面积是 ．
24.(本小题15分)
学习一次函数时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．请根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题．
(1) 函数中自变量的取值范围是 ；
(2) 下表是与的几组对应值．
… 0 1 2 3 4 5 6 7 …
… 4 2 1 2 3 4 5 …
直接写出表格中的值；
(3) 在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象：
(4) 结合函数图象，解决问题：
①方程有 个解；
②当时，的取值范围是 ；
(5) 进一步研究：若点，是函数图象上的任意两点，若对于，，都有，则的取值范围是 ．
25.(本小题9分)
如图，在正方形中，E是延长线上一点，连接，O为的中点，过点E作于点F，连接．设．
(1) 依题意补全图形；
(2) 求的度数（用含α的式子表示）；
(3) 用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，A为平面内一点．对于点P和线段给出如下定义：如果线段的中点在线段上，则称点P是线段关于点A的“倍增点”．
(1) 如图1，，，
①如果，那么在点，，，中，线段关于点A的“倍增点”是 ；
②已知，如果点P是线段关于点的“倍增点”，那么 ，a的取值范围是 ；
(2) 已知，点M，N在直线上，且．设点M的横坐标为n，如果在直线上存在点P，使点P是线段关于点A的“倍增点”，直接写出n的取值范围．
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】x≥0
10.【答案】
11.【答案】k＞3
12.【答案】（0，3）
13.【答案】67.5
14.【答案】
15.【答案】36
16.【答案】
17.【答案】【小题1】
15
【小题2】
10

18.【答案】【小题1】
解：
．
【小题2】
解：
．

19.【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴
∵，
∴即，
∴四边形是平行四边形．

20.【答案】【小题1】
解：如图所示；
【小题2】

对角线互相平分的四边形是平行四边形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【小题3】

21.【答案】解：如图，连接．
在中，，
，
∵，
∴，
∴在中，，
，
，
（元）．
答：学校应付费用3600元．

22.【答案】【小题1】
证明：∵D，E分别为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴平行四边形 是矩形；
【小题2】
解：∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ；
∵点D为 的中点，
∴ ；
如图所示，过点A作 于H，
在 中， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ．

23.【答案】【小题1】
解：如图，
把，分别代入得，
解得，
这个一次函数的解析式为；
【小题2】
【小题3】

24.【答案】【小题1】
一切实数
【小题2】
解：把代入中，得
，
∴．
【小题3】
解：函数的图象如图所示：
【小题4】
2

【小题5】

25.【答案】【小题1】
解：如图所示
【小题2】
∵四边形是正方形，
∵O为的中点，
∴，
，
．
【小题3】
．理由如下
证明：，
∴，
连接，
∵O为的中点，
∴
，
，
，
∴是等腰直角三角形，且,
∴,
即,
∴或(不符合题意，舍去)，
∵，
，
∴．

26.【答案】【小题1】
，
2

【小题2】
解：由P在直线上，设，
∵，
∴的中点为，
∵点P是线段关于点A的“倍增点”，
∴在线段上，
∵点M，N在直线上，
∴在直线上，
∴，
解得，
∴，
∵点M的横坐标为n，点M在直线上，
∴，
∵点N在直线上，，
∴或，
当，时，
∵在线段上，
∴，
解得：；
当，时，
∵在线段上，
∴，
解得：；
∴n的取值范围是或．

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