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2025-2026学年浙教版八年级（下）期末数学模拟试卷3
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
1 、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
下列各式中，运算正确的是（　　）
A．x3+x3＝x6 B．x2 x3＝x5
C．（x+3）2＝x2+9 D．﹣＝
函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
已知一组数据45，51，54，52，45，44，则这组数据的众数、中位数分别为（　　）
A．45，48 B．44，45 C．45，51 D．52，53
下列一元二次方程无实数根的是（　　）
A．x2+x﹣2＝0 B．x2﹣2x＝0 C．x2+x+5＝0 D．x2﹣2x+1＝0
下列说法正确的是（ ）
A．“367人中必有2人的生日是同一天”是必然事件
B．了解一批灯泡的使用寿命采用全面调查
C．一组数据6，5，3，5，4的众数是5，中位数是3
D．一组数据10，11，12，9，8的平均数是10，方差是1.5
反比例函数y=﹣的图象上有P1（x1，﹣2），P2（x2，﹣3）两点，则x1与x2的大小关系是（　　）
A．x1＞x2B．x1=x2C．x1＜x2D．不确定
如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：
①若AC=BD，则四边形EFGH为矩形；
②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；
③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；
④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．
其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
如图，正方形ABCD的边长为6，点E在BC上，CE＝2．点M是对角线BD上的一个动点，则EM+CM的最小值是（　　）
A． B． C． D．
如图，⊙O的圆心O与正方形的中心重合，已知⊙O的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．
如图，反比例函数y=（x＜0）的图象经过点A（﹣1，1），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是（　　）
A． B． C． D．
1 、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
计算：3﹣＝　 　．
已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 　 　．
一列数据：1，2，3，x，5，5的平均数是4，则这组数据的中位数是______．
若正多边形的内角和是1080°，则该正多边形的边数是　 　．
在平面直角坐标系xOy中，若函数y＝（k≠0）的图象经过点A（﹣3，2）和B（m，﹣2），则m的值为 　 　．
（2025 黑龙江）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，∠CAD＝60°，点E是边CD的中点，点F是对角线AC上一动点，作点C关于直线EF的对称点P，若PE⊥AC，则CF的长为 　 　 ．
1 、解答题（本大题共8小题，共72分）
先化简，再求值：1﹣÷，其中x=﹣1．
关于x的方程x2﹣2x+4﹣m＝0有两个不等的实数根．
（1）求m的取值范围，
（2）化简：÷ ．
某服装店的某件衣服最近销售火爆．现有A．B两家供应商到服装店推销服装，两家服装价格相同，品质相近．服装店决定通过检查材料的纯度来确定选购哪家的服装．检查人员从两家提供的材料样品中分别随机抽取15块相同的材料，通过特殊操作检验出其纯度（单位：%），并对数据进行整理、描述和分析．部分信息如下：
Ⅰ．A供应商供应材料的纯度（单位：%）如下：
A 72 73 74 75 76 78 79
频数 1 1 5 3 3 1 1
Ⅱ．B供应商供应材料的纯度（单位：%）如下：
72 75 72 75 78 77 73 75 76 77 71 78 79 72 75
Ⅲ．A．B两供应商供应材料纯度的平均数、中位数、众数和方差如下：
平均数 中位数 众数 方差
A 75 75 74 3.07
B a 75 b c
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　，
（2）你认为服装店应选择哪个供应商供应服装？为什么？
某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
如图：在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF=CE，连接EF，点M，N是线段EF上两点，且EM=FN，连接AN，CM．
（1）求证：△AFN≌△CEM；
（2）若∠CMF=107°，∠CEM=72°，求∠NAF的度数．
如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点，在格点上，每一个小正方形的边长为1．
（1）以为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．
（2）计算你所画菱形的面积．
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=ax＋b（a，b为常数，且a≠0）与反
比例函数（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（－2，1）、B（1，n）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接OA．OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当y1＜y2＜0时，自变量x的取值范围．
阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
例题：如图①，在等边中，是边上一点(不含端点)，是的外角的平分线上一点，且．求证：．
点拨：如图②，作，与的延长线相交于点，得等边，连接．易证：，可得；又，则，可得；由，进一步可得又因为，所以，即：．
问题：如图③，在正方形中，是边上一点(不含端点)，是正方形的外角的平分线上一点，且．求证：．
答案解析
1 、选择题
【考点】合并同类项,同底数幂的乘法,完全平方公式,二次根式的加减
【分析】由题意根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加；完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2；以及二次根式的减法运算法则逐项分析即可．
解：A．x3+x3＝2x3，故选项A不符合题意；
B、x2 x3＝x5计算正确，故选项B符合题意；
C、（x+3）2＝x2+6x+9，故选项C不符合题意；
D、二次根式与不是同类二次根式故不能合并，故选项D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查同底数幂的乘法法则和完全平方公式与合并同类项的法则以及二次根式的减法运算法则，解题的关键是熟记各种运算法则．
【考点】一次函数图象与系数的关系，根的判别式
【分析】根据一次函数图象经过的象限找出k、b的正负，再结合根的判别式即可得出△＞0，由此即可得出结论．
解：观察函数图象可知：函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，
∴k＜0，b＜0．
在方程中，
△=，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及根的判别式，根据一次函数图象经过的象限找出k、b的正负是解题的关键．
【考点】中位数；众数
【分析】先把原数据按由小到大排列，然后根据众数、中位数的定义求解．
解：数据从小到大排列为：44，45，45，51，52，54，
所以这组数据的众数为45，中位数为（45+51）=48．
故选：A．
【点评】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了中位数．
【考点】根的判别式．
【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根，（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根，（3）Δ＜0 方程没有实数根判断即可．
解：A．Δ＝12﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，则该方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意，
B、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，则该方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意，
C、Δ＝12﹣4×1×5＝﹣19＜0，则该方程无实数根，故本选项符合题意，
D、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，则该方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意，
故选：C．
【点评】此题考查了根的判别式与方程解的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，当b2﹣4ac＜0时，方程无实数根．
【考点】必然事件，抽样调查，众数，中位数，方差
【分析】根据必然事件、抽样调查、众数、中位数以及方差的概念进行判断即可．
解：A．“367人中必有2人的生日是同一天”是必然事件，故本选项正确；
B．了解一批灯泡的使用寿命采用抽样调查，故本选项错误；
C．一组数据6，5，3，5，4的众数是5，中位数是5，故本选项错误；
D．一组数据10，11，12，9，8的平均数是10，方差是2，故本选项错误；
故选：A
【点评】本题主要考查了必然事件、抽样调查、众数、中位数以及方差；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】直接利用反比例函数的增减性进而分析得出答案．
解：∵反比例函数y=﹣的图象上有P1（x1，﹣2），P2（x2，﹣3）两点，
∴每个分支上y随x的增大而增大，
∵﹣2＞﹣3，
∴x1＞x2，
故选：A．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握反比例函数的增减性是解题关键．　
【考点】中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定
【分析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，
解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，
当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，
故④选项正确，
故选：A．
【点评】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．
【考点】轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理的应用
【分析】要求ME+MC的最小值，ME、MC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化ME，MC的值，从而找出其最小值求解．
解：如图，连接AE交BD于M点，
∵A．C关于BD对称，
∴AE就是ME+MC的最小值，
∵正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE＝BC﹣CE＝6﹣2＝4，
∵AB＝，
∴AE＝＝2，
∴ME+MC的最小值是2．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是轴对称﹣﹣路径最短问题、勾股定理的应用、正方形的性质，明确当点A．M、E在一条直线上时，ME+MA有最小值是解题的关键．
【考点】正方形的性质．
【分析】如图，由三角形三边关系分析可得当O、A．B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值，最小值为OB﹣AB，以此即可求解．
解：如图，点B为⊙O上一点，点D为正方形上一点，连接BD，OC，OA，AB，
由三角形三边关系可得，OB﹣OD＜BD，
OB是圆的半径，为定值，当点D在A时，取得最大值，
∴当O、A．B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值，最小值为OB﹣AB，
由题意可得，AC＝4，OB＝4，
∵点O为正方形的中心，
∴OA⊥OC，OA＝OC，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴OA＝＝＝，
∴圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为OB﹣AB＝4﹣．
故选：D．
【点评】本题主要考查正方形的性质、利用三角形三边关系求最值问题，利用三角形三边关系分析得出当O、A．B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值是解题关键．
【考点】反比例函数综合题．.
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征由A点坐标为（﹣1，1）得到k=﹣1，即反比例函数解析式为y=﹣，且OB=AB=1，则可判断△OAB为等腰直角三角形，所以∠AOB=45°，再利用PQ⊥OA可得到∠OPQ=45°，然后轴对称的性质得PB=PB′，BB′⊥PQ，所以∠BPQ=∠B′PQ=45°，于是得到B′P⊥y轴，则B点的坐标可表示为（﹣，t），于是利用PB=PB′得t﹣1=|﹣|=，然后解方程可得到满足条件的t的值．
解：如图，
∵A点坐标为（﹣1，1），
∴k=﹣1×1=﹣1，
∴反比例函数解析式为y=﹣，
∵OB=AB=1，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∵PQ⊥OA，
∴∠OPQ=45°，
∵点B和点B′关于直线l对称，
∴PB=PB′，BB′⊥PQ，
∴∠BPQ=∠B′PQ=45°，即∠B′PB=90°，
∴B′P⊥y轴，
∴B点的坐标为（﹣，t），
∵PB=PB′，
∴t﹣1=|﹣|=，
整理得t2﹣t﹣1=0，解得t1=，t2=（舍去），
∴t的值为．
故选A．
【点评】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质和轴对称的性质；会用求根公式法解一元二次方程．
1 、填空题
【考点】二次根式的加减法
【分析】直接合并同类二次根式即可求解．
解：原式＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题的关键是掌握同类二次根式的合并．
【考点】根的判别式．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣a）＞0，然后解不等式即可．
解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣a）＞0，
解得a＞﹣1．
故答案为：a＞﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，当Δ＜0时，方程无实数根．
【考点】算数平均数，中位数
【分析】先根据平均数的公式求出的值，再根据中位数的定义即可得．
解：由题意得：，
解得，
将这组数据按从小到大进行排序为，则第3个数和第4个数的平均数即为中位数，
所以这组数据的中位数是，
故答案为：4．
【点评】本题考查了平均数和中位数，熟记平均数的公式和中位数的概念是解题关键．
【考点】多边形的内角与外角
【分析】n边形的内角和是（n﹣2） 180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
解：根据n边形的内角和公式，得
（n﹣2） 180=1080，
解得n=8．
∴这个多边形的边数是8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】将点A（﹣3，2）代入反比例函数y＝可求出k的值，进而确定反比例函数关系式，再把点B（m，﹣2）代入计算即可．
解：∵函数y＝（k≠0）的图象经过点A（﹣3，2），
∴k＝﹣3×2＝﹣6，
∴反比例函数的关系式为y＝﹣，
又∵B（m，﹣2）在反比例函数的关系式为y＝﹣的图象上，
∴m＝＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法．
【考点】矩形的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质．
【分析】根据题意画出示意图，连接PC，交直线EF于点G，延长PE交AC于点H，当点P在AC上方时，由勾股定理求出进而得到由点C关于直线EF的对称点P，得到，∠EGC＝∠EGP＝90°，求出∠CEH＝∠CAD＝60°，进而得到∠PEC＝120°，再求出∠CPE＝∠PCE（180°﹣∠PEC）＝30°，证明△CEF是等腰三角形，在Rt△CEH中，解直角三角形求出CH，进而求解，当点P在AC下方时，先求出\∠CEP＝60°，CH，结合对称的性质易证△CEP是等边三角形，易求EH＝PHPE解直角三角形求出HF，由CF＝CH﹣HF即可求解．
解：如图所示，连接PC，交直线EF于点G，延长PE交AC于点H，当点P在AC上方时，
∵在矩形ABCD中，AD＝6，∠CAD＝60°，∠ACD＝30°，
∴AC＝2AD＝12，，∵
点E是边CD的中点，
∴，
∵点C关于直线EF的对称点P，
∴，∠EGC＝∠EGP＝90°，
∵PH⊥AC，
∴∠EHC＝∠EHF＝90°，∠ACD＝30°，∠ACD+∠CEH＝∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠CEH＝∠CAD＝60°，
∴∠PEC＝120°，∵PE＝CE，
∴，
∵∠PEG＝∠FEH，∠EGP＝∠EHF＝90°，
∴∠CPE＝∠EFC＝30°，
∴△CEF是等腰三角形，，
在Rt△CEH中，，
∠HCE＝30°，CH＝CE cos∠HCE＝3，
∴CF＝2CH＝9，
如图，当点P在AC下方时，
∵PE⊥AC，
∴∠CHE＝90°，
∵∠ACD＝30°，
∴∠CEP＝60°，CH＝CE cos∠ACD＝3，
由对称的性质得PE＝CE，
∴△CEP是等边三角形，
∴∠P＝60°，CE＝PC＝PE＝3，
∴∠HEF＝30°，，，
∴CF＝CH﹣HF＝3，
综上，CF的长为3或9．
故答案为：3或9．
【点评】本题考查了对称的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
1 、解答题
【考点】分式的化简求值．
【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
解：1﹣÷
=1﹣
=1﹣
=
=，
当x=﹣1时，原式=．
【点评】本题考查分式的化简求值,解答本题的关键是明确分式化简求值的方法。　
【考点】根的判别式，绝对值，分式的乘除法．
【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4（4﹣m）＞0，然后解不等式即可．
（2）根据m的取值范围化简即可．
解：（1）根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（4﹣m）＞0，
解得m＞3，
（2）∵m＞3，
∴m﹣3＞0，
∴÷
＝
＝﹣2．
【点评】此题主要考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系以及绝对值和分式乘除法的化简，根据题意得到关于m的不等式是解题的关键．
【考点】方差，一元一次方程的应用，频数（率）分布表，中位数，众数．
【分析】（1）根据平均数，众数和方差的计算公式分别进行解答即可，
（2）根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案．
解：（1）B供应商供应材料纯度的平均数为a＝×（72+75+72+75+78+77+73+75+76+77+71+78+79+72+75）＝75，
75出现的次数最多，故众数b＝75，
方差c＝×[3×（72﹣75）2+4×（75﹣75）2+2×（78﹣75）2+2×（77﹣75）2+（73﹣75）2+（76﹣75）2+（71﹣75）2+（79﹣75）2]＝6，
故答案为：75，75，6，
（2）选A供应商供应服装，理由如下：
∵A．B平均值一样，B的方差比A的大，A更稳定，
∴选A供应商供应服装．
【点评】本题考查了方差、平均数、中位数、众数，熟悉相关统计量的计算公式和意义是解题的关键．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据1月及3月的日产量，即可列出方程求解．
（2）利用4月份平均日产量=3月份平均日产量×（1＋增长率）即可得出答案．
解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，依据题意可得：
20000（1＋x）2＝24200，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝ 2.1（不合题意舍去），
∴x＝10%，
答：口罩日产量的月平均增长率为10%；
（2）依据题意可得：
24200（1＋10%）＝24200×1.1＝26620（个），
答：按照这个增长率，预计4月份平均日产量为26620个．
【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1＋年平均增长率）年数＝增长后的量．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【分析】（1）利用平行线的性质，根据SAS即可证明；
（2）利用全等三角形的性质可知∠NAF=∠ECM，求出∠ECM即可；
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠AFN=∠CEM，
∵FN=EM，AF=CE，
∴△AFN≌△CEM（SAS）．
（2）解：∵△AFN≌△CEM，
∴∠NAF=∠ECM，
∵∠CMF=∠CEM+∠ECM，
∴107°=72°+∠ECM，
∴∠ECM=35°，
∴∠NAF=35°．
【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【考点】菱形的性质,作图—复杂作图
【分析】（1）根据菱形的定义并结合格点的特征进行作图；
（2）利用菱形面积公式求解．
解：（1）根据题意，菱形ABCD即为所求
（2）图1中AC=2，BD=6
∴图1中菱形面积．
图2中，AC=，BD=
∴图2中菱形面积．
图3中，
∴图3菱形面积．
【点评】本题考查菱形的性质，掌握菱形的概念准确作图是关键．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】(1)将A坐标代入反比例函数解析式中求出m的值,即可确定出反比例函数解析式;将B坐标代入反比例解析式中求出n的值,确定出B坐标,将A与B坐标代入一次函数解析式中求出a与b的值,即可确定出一次函数解析式
(2)设直线AB与y轴交于点C,求得点C坐标,S△AOB=S△AOc+S△coB,计算即可
(3)由图象直接可得自变量x的取值范围
解：（1）由题意，点A（－2，1）在反比例函数图象上，
∴，m=－2．
∴反比例函数解析式为．
又点B（1，n）也在反比例函数图象上，
∴n=．
∵点A，B在一次函数图象上，
∴解得
∴一次函数解析式为y1=x＋1．
（2）设线段AB交y轴于C，
∴OC=1．
分别过点A，B作AE，BF垂直于y轴．
∴S△AOB=S△AOC＋S△BOC==×1×2＋×1×1=．
（3）当y1＜y2＜0时，－2＜x＜0或x＞1．
【点评】本题属于反比例函数与一次函数的交点问题,涉及的知识有:待定系数法求函数解析式,三角形面积的求法,坐标与图形性质,利用了数形结合的思想。熟练掌握待定系数法是解本题的关键。
【考点】四边形综合题
【分析】延长至，使，连接，则，得出是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出，证出，得出，三点共线，由证明得出，得出，由等腰三角形的性质得出，证出，得出，即可得出结论．
解：延长至，使，连接，如图所示：
则，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵是正方形的外角的平分线上一点，
∴，
∴，
∴，三点共线，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点评】此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键．
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