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2026 年普通高等学校招生全国统一考试数学试题上海卷
一、填空题(本大题共 12 题,满分 54 分,1-6 题每题 4 分,7-12 题每题 5 分)
1．若集合A={2,a+1},且-1∈A,则a=_____．
【答案】-2
【解析】a+1=-1,所以a=-2
2．已知数列{an}为等比数列,且a1=2,a2=6,则a4=_____．
【答案】54
【解析】公比q=6÷2=3, a4=a1 q
3=54
1
3．已知sinα= ,则cos2α=_____．
5
23
【答案】
25
2 1
2 23
【解析】cos2α=1-2sin α=1-2× ( ) =
5 25
4．已知事件A和事件B互斥,且P(A)=0.2,P(B)=0.5,则P(A∪B)=_____．
【答案】0.7
【解析】A与B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.2+0.5=0.7
5．函数f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)=√x-a,若f(-4)=3,a=_____．
【答案】-1
【解析】f(-4)=f(4)=√4-a=2-a=3,则a=-1
6．在(x2+x)5的二项展开式中,x7项的系数为_____．
【答案】10
【解析】二项展开式中,第 r r rr+1项为Tr+1=C5(x
2)-5-rxr=C x10-2r5 x
r=C x0-r5 ,10-r=7,
则r=3,系数为 3C5=10
2
7．已知a2+4b =1,(ab)max=_____．
1
【答案】
4
1
【解析】 2a2+4b ≥2 a (2b)=4ab,即1≥4ab,ab≤ ,当且仅当a=2b时,等号成立
4
-1 0 1
8．已知X的分布为( ) ,E[X]=0.5,则b=_____．
a 0.3 b
【答案】0．6
-a+b=0.5 a=0.1
【解析】根据题意得{ {
a+0.3+b=1 b=0.6
9．已知等差数列a1=0,d为公差,Sn为前n项和,至少两项介于(0,1),则d的取值范围为_____．
1
【答案】(0, )
3
d>0
d d 1
【解析】S = n2- n,由S 至少有两项介于(0,1)可得{S2=d∈(0,1) d∈(0, )n 2 2 n
3
S3=3d∈(0,1)
10．已知k∈R,a ,b ,c 两两不平行,已知a +3b ∥b+c ,2a +kc ∥b+c ,k=_____．
【答案】6
【解析】由平面向量共线定理可得
1
a
+3b =m (b +c ) a =(m-3)b +mc m-3= n
{ { 21 1 1 { k=-6
2a
+kc =n (b +c ) a = nb + ( n- k) c 1 1
2 2 2 m= n- k
2 2
11．已知三角函数f(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,B∈R,ω>0,0≤φ<2π),若v=f(t),当v=0
或v=4时其导数为 0,初始速度为 0,且速度第一次达到 4 时用时为 0.1 秒,
求f(t)=_____．
【答案】-2cos(10πt)+2
【解析】由三角函数在最高点和最低点处导数为 0,且当v=0或 4 时其导数为 0,
所以最低点取得v=0,最高点取得v=4,
又初始速度为 0 及速度第一次达到 4 时用时为 0.1 秒,
2π
可得周期T=2×0.1=0.2,则T= ω=10π,
ω
4-0 4+0
又最低点取得v=0,最高点取得v=4,所以A= =2,B= =2,
2 2
所以f(t)=2sin(10πt+φ)+2,
π 3π
又f(0.1)=4 2sin(π+φ)+2=4 sin(π+φ)=1 φ=- +2kπ,k∈Z,由题设可得φ=
2 2
3π
所以f(t)=2sin (10πt+ ) +2=-2cos(10πt)+2.
2
12．已知A,B,C为一椭圆 4 个顶点和 2 个焦点中任意三个,AB=3,BC=√14,AC=5,则该椭圆的离
心率为_____．
2
【答案】
3
【解析】由椭圆对称性可得三点必为上下顶点、左右顶点、两焦点各取其一,
所以AB、 2 2BC、AC=a+c、a√a2+b 或者AB、BC、AC=a-c、a√a2+b
又AB=5、BC=√14、AC=3,且在椭圆中a>b、c,
a+c=5
所以①{a=3
c 2
e= =
a 3
√a2 2+b =√14
a+c=5
②{a=√14 2b =-5(舍)
√ 2a2+b =3
a-c=3 a=√14
③{a=√14 {b=√11 (不满足
2
a2=b +c2舍)
√ 2a2+b =5 c=√14-3
a-c=√14
④{a=3 c=3-√14<0(舍)
√ 2 2a +b =5
2
所以e= ．
3
二、选择题(本大题共 4 小题,满分 18 分,第 13、14 题各 4 分,第 15、16 题各 5 分)
3
13．a为不为 1 的任意实数,则a √a=( )
3 4 5 5
A．a2 B．a3 C．a2 D．a3
【答案】B
1 4
3
【解析】a √a=a a3=a3,故选B．
14．已知事件A、事件B为独立随机事件,事件C表示为事件A、B至少有一件发生,则C =( )
A．A∩B B．A∪B C．A ∩B D．A ∪B
【答案】C
【解析】事件C为事件A、B至少发生一个,意味着事件A发生,或者事件B发生,或者二者都发生,
这对应于事件A和事件B的并集,因此事件C可表示为:C=A∪B ,那么C =A∪B．根据德摩根定律,
两个集合并集的补集等于它们各自补集的交集．即:A∪B=A ∩B ．故选C．
15．对于任意两个复数z,w,如果满足“z-w∈R”或“z-w ∈R”,那么就称z与w伴随,如果z与w伴
随,则w-i与z+i伴随的充要条件是( )
A．Rez+Rew=0 B．Rez-Rew=0
C．Imz+Imw=0 D．Imz-Imw=0
【答案】C
【解析】设z=a+bi,w=c+di ,已知z和w伴随,则b-d=0或b+d=0 ,若w-i与z+i伴随,则b+d=0 ,或者
b-d+2=0,故选C．
16．如图,在一个空间直角坐标系中,存在一个正方体ABCD-A1B1C1D1,其中,A为坐标原点,将该
正方体绕体对角线AC1为旋转轴旋转一周,点C将经过( )个卦限
A．1 B．3 C．4 D．7
【答案】A
【解析】当点C绕AC1旋转一周后,其轨迹为一个倾斜的圆,设圆心为O,因此判断其边界是否跨
过面xAy,面xAz,面yAz即可．设正方体边长为a取P(2a,0,0),
Q(0,2a,0),R(0,0,2a),连接P、Q、R,AC⊥PQ,CC1⊥PQ,易知PQ为轨迹圆的切线,
同理,PR、QR同为轨迹圆的切线．轨迹圆是三角形PQR的内切圆,在空间直角坐标系中,x轴、
y轴、z轴两两确定的三个坐标面将空间分为八个区域,统称为卦限．其中含x轴、y轴和z轴正
半轴的是第一卦限,三角形PQR内的点均在第一卦限,故答案为A．
三、解答题
17．某工厂为进行环境保护与改善,对九年间空气中某颗粒物密度与二氧化硫密度进行了监
测与记录，数据如下:
(1)为进一步研究,从这 9 年间随机抽取一年,该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是
多少？
(2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性,该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的
哪一种进行分析,并请你判断相关系数在(-1,0),(0,1),(1,2)哪个区间内？(直接写结论)
(3)2023 年前 9 年的年份(x)的平均数为 2018,y (颗粒物密度)关于x (年份)的回归方程拟采用
y=106.544e-0.461(x-2014),或y=a(x-2014)+83.743．已知 2023 年实际颗粒物浓度为 3.88,则哪个回
归方程对于 2023 年的预测值与实际值的差值绝对值更小.
7
【答案】(1) ;
9
(2)散点图,(0,1);
(3)y=106.544e-0.461(x-2014)对于 2023 年的预测值与实际值的差值绝对值更小。
【解析】
1
C 7
(1)9 年间共有 7 年颗粒物密度大于二氧化硫密度,故概率为 71 = ．
C9 9
(2)统计图表需要呈现出随着二氧化硫密度变化时,颗粒物密度的变化趋势,故需要散点图进
行呈现。随着二氧化硫密度增加,颗粒物密度呈现增加趋势,故二者正相关,相关系数为正,又
因为相关系数|r|≤1,故相关系数在(0,1)区间上.
(3)采用方程y=106.544e-0.461(x-2014)时,
2023 年预测值为106.544e-0.461(2023-2014)≈1.681,
预测值与实际值差值绝对值为 2.199;
101.02+87.02+57.47+21.85+11.76+8.86+5.03+4.63+3.86
∵x =2018,y = ≈33.499,
9
故33.499=a(2018-2014)+83.743,可得a≈-12.561．
故采用方程y=a(x-2014)+83.743时,
2023 年预测值为y=-12.561(2023-2014)+83.743≈-29.306,
预测值与实际值差值绝对值为 33.186;
2.199<33.186,故方程y=106.544e-0.461(x-2014)对于 2023 年的预测值与实际值的差值绝对值更小
18。如图,四棱锥P-ABCD,底面ABCD为矩形,PH⊥底面,AH=1,HD=4,AB=2．
(1)证明:HC⊥PB;
10√5
(2)若四棱锥体积VP-ABCD= ,求二面角C-PB-H的大小 3
【答案】(1)证明见解析;
2√2 1
(2)arctan2√2/arcsin /arccos
3 3
【解析】(1)由PH⊥底面 HB为PB在平面ABCD上的投影,
由勾股定理,计算得HC=2√5,BH=√5,BC=5;
满足 2 2BH2+HC =BC BH⊥HC HC⊥PB(三垂线定理);
1 10 10√5
(2)VP-ABCD= PH×S3 ABCD
= PH= PH=√5;
3 3
作HQ⊥PB于点Q,连接QC;
由HC⊥平面PHB QH为QC在平面PHB上的投影;
HQ⊥PB CQ⊥PB(三垂线定理);∠CQH为所求二面角的平面角;
√10
由PH=√5,BH=√5,PH⊥BH QH= ;
2
1
19．已知a∈R,函数f(x)=x2+ax+3,g(x)=4x+
x2
1
(1)已知f(1)=4,求f(x)+ >g(x)的解集;
x2
(2)a≠0,l1是f(x)在点(0,3)处的切线,l2是过点(0,3)且垂直于l1的直线,g(x)与l1、l2在第一象限内
均无公共点,求a的取值范围。
【答案】(1)(-∞,0)∪(0,1)∪(3,+∞);
1
(2)(-∞,- )∪(0,2)
2
【解析】
(1)由f(1)=1+a+3=4+a=4,可得:a=0,因此f(x)=x2+3
1 1 1
所以f(x)+ =x2+3+ >4x+ ,即x2-4x+3>0且x≠0,(x-1)(x-3)>0,
x2 x2 x2
所以x<1或x>3且x≠0,故所求不等式的解集为:(-∞,0)∪(0,1)∪(3,+∞)
'( '
1
(2)f x)=2x+a,f (0)=a,故直线l1的方程为:y=ax+3,直线l2的方程为:y=- x+3, a
1 1 1
由题意可知:g(x)=4x+ =ax+3无正实数解,且g(x)=4x+ =- x+3无正实数解
x2 x2 a
1 3 1 1 3
参变分离可得:a=4+ - ,- =4+ - ,
x3 x a x3 x
1 1 3
即直线y=a及y=- 与曲线y=4+ - 在(0,+∞)内均无交点;
a x3 x
1 3 ' 3 3 3x
2-3 3(x+1)(x-1)
设函数h(x)=4+ - ,h (x)= - = = =0,x=1,
x3 x x2 x4 x4 x4
故函数h(x)在(0,1)范围内严格减,在(1,+∞)范围内严格减,
x→0时,h(x)→+∞,极小值h(1)=2,x→+∞时,h(x)→+∞,绘制出h(x)的函数图像,
1 1 1
可得:a<2,且- <2,解得:a<- 或0a 2 2
20．定义Γ:x2-y2=1,F1、F2为Γ的左右焦点.
(1)求点(2,0)到Γ渐近线的距离;
(2)P为Γ上一点,P F 1 P F 2=1,求△PF1F2的面积;
2 2 x<0 x>0(3)设Ω:x -y =1,其中{ 或{ ,过点F 的直线l交Ω于P、Q两点(分别位于一、四象限),过点
y≤-1 y≥-1 2
F2直线m交Ω于M、N两点(分别位于三、四象限),是否存在正数λ ,对于任意的l ,都存在唯一的
m,使|MN|=λ|PQ|成立,若存在,求出所有的λ,若不存在,请说明理由.
9
【答案】(1)√2;(2)√2;(3)λ≥
7
【解析】
(1)因为点(2,0)到两条渐近线的距离相同,不妨取Γ渐近线方程:x-y=0,
|2-0|
点(2,0)到x-y=0的距离d= =√2
√2
(2)设P(x,y),则x2-y2=1①,由于F1(-√2,0),F2(√2,0),
所以P F 1=(-√2-x,-y),P F 2=(√2-x,-y),因为P F 1 P F 2=1,所以x
2+y2=3②,
x2=2 1
由①②得{ ,所以△PF F 的面积S= |F F ||y|=√2
y2=1 1 2 2 1 2
x=ty+√2
(3)设l:x=ty+√2,t∈[0,1),联立{ 得(t2-1)y2+2√2y+1=0,
x2-y2=1
2
则|PQ|=√
2(t +1)
1+t2|xP-xQ|= ,t∈[0,1),得|PQ|的范围是:[2,+∞) 1-t2
2(n2+1) 4
设m:x=ny+√2,n∈(1,2√2],同理,得|MN|= =2+ ,n∈(1,22 2 √2], n -1 n -1
18
得|MN|的范围是[ ,+∞) ,且|MN|关于n是严格减函数,
7
即每一个|MN|的值都是唯一的。
对于任意的l,因为λ>0,所以λ|PQ|的范围是[2λ,+∞),
18 18 9
要存在唯一的m,使|MN|=λ|PQ|成立,只需[2λ,+∞) [ ,+∞)即可,即 ≤2λ,得λ≥
7 7 7
21．(i,j,k)是 1,2,3 的一个排列,对函数f (x),f (x),f (x),对于任意x∈I,都有f (x)≤f (x)且f (x)+f (x)
1 2 3 1 i 1 2
≤f (x)+f (x) ,则称(i,j,k)是关于f (x),f (x),f (x)的一个I排列,关于f (x),f (x),f (x)的I排列总数记
i j 1 2 3 1 2 3
为nI．
(1)对I=[3,+∞),f (x)=x,f (x)=0,f (x)=x2+1,判断(3,1,2)是否为I排列？
1 2 3
(2)对I=(0,+∞)f (x)=x-1,f (x)=x+m,f (x)=x2满足条件的nl=6,求m的取值范围？ 1 2 3
(3)对x∈[0,+∞),且对任意x∈[0,+∞),01
1
f (x)= (F(x+a)+F(x-a)),f (x)=1-e-x ,证明:若F(x)严格减,则存在a>0 ,使nl≥4 ;若F(x)严格增,则2 2 3
存在a∈(0,1)ni≠2;
【答案】(1)是;
1
(2)m∈ [-1,- ] ;
4
(3)详见解析
1 2 3
【解析】(1)因为f (x)≤f (x) x≤x2+1 (x- ) + ≥0,
1 3 2 4
f (x)+f (x)≤f (x)+f (x) 0≤x2+1
1 2 3 1
所以(i,j,k)=(3,1,2)时满足条件,即(3,1,2)是I排列！
(2)1,2,3 的全排列共有 6 个,则当nI=6时,
f (x)≤f (x)
1 2 x-1≤x+m则一方面有{ { m≥-1;
f (x)≤f (x) x-1≤x2
1 3
f (x)+f (x)≤f (x)+f (x)
另一方面,有{ 1 2 2 3
f (x)+f (x)≤f (x)+f (x)
1 2 1 3
x-1≤x2
{ m≤x2-x,
x+m≤x2
因为(x2
1 1 1
-x)min=- (x= 时取到)所以m≤- ; 4 2 4
1
综上所述:m∈ [-1,- ]
4
(3)一方面,若F(x)严格减,则因为f (x)=1-e-x严格增,且x∈[0,+∞)时,f (x)∈(0,1)
3 3
构造h(x)=f (x)-F(x)=1-e-x-F(x),x∈I=[a,+∞),a>0时,h(x)为严格增函数,
3
则h(x)≥h(a),则必存在足够大的a>0,
使h(a)>0(因为x→+∞,f (x)→1,F(x)<1),即存在a>0,使f (x)≥f (x);
3 3 1
1
另外f (x)-f (x)=1-e-x- (F(x+a)+F(x-a)),因为F(x-a)∈(0,1),所以
3 2 2
1 1 1
f (x)-f (x)=1-e-x- (F(x+a)+F(x-a))>1-e-x- (F(x+a)+1)= (1-2e-x-F(x+a))
3 2 2 2 2
1 1 1
再 构 造 g(x)= (1-2e-x-F(x+a)), 当 x→+∞,g(x)→ (1-F(x+a)), 而 F(x+a)∈(0,1) , 所 以 (1-F
2 2 2
(x+a))>0,则同样存在足够大的a,使x∈[a,+∞),g(x)>0,即f (x)≤f (x);
2 3
则存在a>0,(i,j,k)取(1,2,3),(1,3,2),(3,1,2),(3,2,1)可成立,则nl≥4.

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