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2026届中考数学考前冲刺：切线的性质与判定 专项训练
一、选择题
1.如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的A，B两点，并使AB与车轮内圆相切于点D，已知O为车轮外圆和内圆的圆心，连接OD并延长交外圆于点C．测得CD＝10 cm，AB＝60 cm，则车轮的外圆半径是(　　)
A.10 cm B.30 cm C.50 cm D.60 cm
2.如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交⊙O于点D，则下列结论中，不一定成立的是(　　)
A.PA＝PB B.∠BPD＝∠APD C.AB⊥PD D.AB平分PD
3.如图，，为射线上点，以点为圆心，长为半径作，当射线绕点按顺时针方向旋转，旋转角为当射线与相切时，则（ ）
A. B. C.或 D.或
4.如图，PM、PN是⊙O的切线，B、C是切点，A、D是⊙O上的点，若∠P=44°，∠D=98°，则∠MBA的度数为（　　）
A.38°
B.28°
C.30°
D.40°
5. 如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（ ）．
A.10 B.12 C.13 D.15
6.如图,AB是☉O的直径,弦AD平分∠BAC,过点D的切线交AC于点E,∠EAD=25°,连结OD,则下列结论中,错误的是( )
A.AE⊥DE B.AE∥OD C.DE=OD D.∠BOD=50°
7.如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在☉O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则☉O的半径长为(　　)
A.4 B.4 C.5 D.5
9.如图，在中，，，，半径为1的在内平移（可以与该三角形的边相切），则点到上的点的距离的最大值为（ ）
A. B. C. D.
10.如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC．若∠A＝32°，则∠ACB的度数是（　　）
A.29° B.30° C.31° D.32°
11.如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别是P，C，D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
12.如图，AD，AE分别是⊙O的切线，D，E为切点，BC切⊙O于F，交AD，AE于点B，C，若AD＝8．则三角形ABC的周长是（　　）
A.8 B.10 C.16 D.不能确定
13.如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠A＝α，则(BF+CE﹣BC)的值和∠FDE的大小分别为(　　)
A.2r，90°﹣α B.0，90°﹣α C.2r，90°﹣ D.0，90°﹣
14.如图,木工用角尺的短边紧靠☉O于点A,长边与☉O相切于点B,角尺的直角顶点为C.已知AC=6 cm,CB=8 cm,则☉O的半径为( )
A. cm B. cm C. cm D. cm
15.如图，AB切⊙O于点B，连接OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连接CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为(　　)
A.25° B.35° C.40° D.45°
二、填空题
16.已知的半径为，所在平面内有一动点，过点可以引的两条切线，，切点分别为，．点与圆心的距离为，则的取值范围是______；若过点作交直线于点（点不与点重合），线段与交于点．设，，则关于的函数解析式为______．
17.如图，已知⊙O的半径为1，P是⊙O外一点，且OP＝2.若PT是⊙O的切线，T为切点，连结OT，则PT＝____.
18.如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝9，CD＝15，则四边形ABCD的周长为　　．
19.如图，在△ABC中，∠B＝90°，⊙O过点A，C，且与AB相交于点D，与BC相切于点C.若∠A＝32°，则∠ADO＝____°.
20.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点E，OD⊥BC交⊙O于点D，DE交BC于点F，P为CB延长线上的一点，延长PE交AC于点G，PE＝PF，下列4个结论：①GE＝GC；②AG＝GE；③OG∥BE；④∠A＝∠P.其中正确的结论是________(填写所有正确结论的序号)．
三、解答题
21.如图，点是斜边边上的一点，以为半径的与边相切于点．求证：平分．
22.如图，是☉O的直径，点C是☉O上的一点，点P是延长线上的一点，连接，．
（1）求证：是☉O的切线；
（2）若，求证：；
（3）若于D，，，求的长．
23.如图，与相切于点，为的直径，点在上，连接，且．
（1）连接，求证：；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
24.如图．，与相切于点、连接，与相交于点，过点作，垂足为，交于点，连接交于点．
（1）求证：是的切线．
（2）当，时，求线段的长．
25.如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.求证：直线PB与⊙O相切．
2026届中考数学考前冲刺：切线的性质与判定 专项训练（参考答案）
一、选择题
1.如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的A，B两点，并使AB与车轮内圆相切于点D，已知O为车轮外圆和内圆的圆心，连接OD并延长交外圆于点C．测得CD＝10 cm，AB＝60 cm，则车轮的外圆半径是(　　)
A.10 cm B.30 cm C.50 cm D.60 cm
【答案】C
【解析】如图，连接OA，
∵CD＝10 cm，AB＝60 cm，
∵AB与车轮内圆相切，
∴OC⊥AB，
∴AD＝AB＝30 cm，
∴设半径为r，则OD=OC﹣CD＝r﹣10，
在Rt△ADO中，根据勾股定理得r2＝(r﹣10)2+302，解得r＝50．
∴这个车轮的外圆半径长为50 cm．
故选：C．
2.如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交⊙O于点D，则下列结论中，不一定成立的是(　　)
A.PA＝PB B.∠BPD＝∠APD C.AB⊥PD D.AB平分PD
【答案】D
3.如图，，为射线上点，以点为圆心，长为半径作，当射线绕点按顺时针方向旋转，旋转角为当射线与相切时，则（ ）
A. B. C.或 D.或
【答案】C
【解析】
如图，设旋转后与相切于点，连接，设与与交于点，连接，
，即，
，
∴
∴是等边三角形，
则
又∵，
，
当点在射线上方时，
，
当点在射线下方时，同理可得
，
故选：C．
4.如图，PM、PN是⊙O的切线，B、C是切点，A、D是⊙O上的点，若∠P=44°，∠D=98°，则∠MBA的度数为（　　）
A.38°
B.28°
C.30°
D.40°
【答案】C
【解析】∵PM，PN是⊙O的切线，
∴PB=PC，
∵∠P=44°，
∴∠PBC=∠PCB=×（180°-44°）=68°，
∵∠D=98°，
∴∠ABC=180°-∠D=82°，
∴∠MBA=180°-∠PBC-∠ABC=30°，
故选：C．
5. 如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（ ）．
A.10 B.12 C.13 D.15
【答案】B
【解析】解：设中点圆心为，半径为，连接，
因为圆与相切于点，所以，
则，即，
解得，，
又，
所以．
故选：B．
6.如图,AB是☉O的直径,弦AD平分∠BAC,过点D的切线交AC于点E,∠EAD=25°,连结OD,则下列结论中,错误的是( )
A.AE⊥DE B.AE∥OD C.DE=OD D.∠BOD=50°
【答案】C
【解析】
∵弦AD平分∠BAC,∠EAD=25°,
∴∠OAD=∠ODA=25°,
∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=50°,D正确.
∵∠OAD=∠CAD,∴∠CAD=∠ODA,
∴OD∥AC,即AE∥OD,B正确.
∵DE是☉O的切线,∴OD⊥DE,
又∵AE∥OD,∴DE⊥AE,A正确.
如答图,过点O作OF⊥AC于点F,
则四边形OFED是矩形,∴OF=DE.
又∵在Rt△AFO中,OA>OF,OD=OA,
∴DE答图
7.如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：连接，，，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
则有，
又∵直线为的切线，
∴，
则，
又∵，
∴，
在中，，
又∵，
∴．
8.如图，在☉O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则☉O的半径长为(　　)
A.4 B.4 C.5 D.5
【答案】B
9.如图，在中，，，，半径为1的在内平移（可以与该三角形的边相切），则点到上的点的距离的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
设直线交于M点（M在O点右边），则点到上的点的距离的最大值为的长度，
当与相切时，最长，
设切点分别为D、F，连接，如图，
∵，，，
∴，，
∴，
∵与相切，
∴，
∵的半径为1，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点到上的点的距离的最大值为．
故选：B．
10.如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC．若∠A＝32°，则∠ACB的度数是（　　）
A.29° B.30° C.31° D.32°
【答案】A
【解析】如图：连接OB，
∵AB切⊙O于点B，
∴∠OBA＝90°，
∵∠A＝32°，
∴∠AOB＝90°﹣34°＝58°，
∵OB＝OC，
∴∠C＝∠OBC，
∵∠AOB＝∠C+∠OBC＝2∠C，
∴∠C＝29°．
故选：A．
11.如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别是P，C，D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】B
【解析】解：∵AC，AP为⊙O的切线，
∴AC＝AP＝6，
∵BP，BD为⊙O的切线，
∴BP＝BD，
∴BD＝BP＝AB﹣AP＝10﹣6＝4．
12.如图，AD，AE分别是⊙O的切线，D，E为切点，BC切⊙O于F，交AD，AE于点B，C，若AD＝8．则三角形ABC的周长是（　　）
A.8 B.10 C.16 D.不能确定
【答案】C
【解析】∵AD，AE是圆的切线．
∴AD＝AE
同理，BD＝BF，CF＝CE．
三角形ABC的周长＝AB+BC+AC＝AB+BF+CF+AC＝AB+BD+AC+CE＝AD+AE＝2AD＝16．
故选：C．
13.如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠A＝α，则(BF+CE﹣BC)的值和∠FDE的大小分别为(　　)
A.2r，90°﹣α B.0，90°﹣α C.2r，90°﹣ D.0，90°﹣
【答案】D
【解析】如图，连接IF，IE．
∵△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，
∴BF＝BD，CD＝CE，IF⊥AB，IE⊥AC，
∴BF+CE﹣BC＝BD+CD﹣BC＝BC﹣BC＝0，∠AFI＝∠AEI＝90°，
∴∠EIF＝180°﹣α，
∴∠EDF＝∠EIF＝90°﹣α．
14.如图,木工用角尺的短边紧靠☉O于点A,长边与☉O相切于点B,角尺的直角顶点为C.已知AC=6 cm,CB=8 cm,则☉O的半径为( )
A. cm B. cm C. cm D. cm
【答案】B
【解析】
如答图,连结OA,OB,过点A作AD⊥OB于点D.
第5题
∴四边形ACBD是矩形,
∴AD=BC=8 cm,BD=AC=6 cm.
设☉O的半径为r(cm).
在Rt△AOD中,OA2=AD2+OD2,
即r2=82+(r-6)2,解得r=,
即☉O的半径为 cm.
15.如图，AB切⊙O于点B，连接OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连接CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为(　　)
A.25° B.35° C.40° D.45°
【答案】C
【解析】连接OB，
∵AB切⊙O于点B，
∴半径OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∵BD∥OA，
∴∠D＝∠OCD＝25°，
∴∠O＝2∠D＝50°，
∴∠A＝90°﹣∠O＝40°．
二、填空题
16.已知的半径为，所在平面内有一动点，过点可以引的两条切线，，切点分别为，．点与圆心的距离为，则的取值范围是______；若过点作交直线于点（点不与点重合），线段与交于点．设，，则关于的函数解析式为______．
【答案】①. ②.
【解析】解：如图，
∵过点可以引的两条切线，，
∴点在外，
∴，
∵，是的两条切线，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，的半径为，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
17.如图，已知⊙O的半径为1，P是⊙O外一点，且OP＝2.若PT是⊙O的切线，T为切点，连结OT，则PT＝____.
【答案】
【解析】
∵PT是⊙O的切线，
∴OT⊥PT.
在Rt△OPT中，∵OT＝1，OP＝2，
∴PT＝＝＝.
18.如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝9，CD＝15，则四边形ABCD的周长为　　．
【答案】48
【解析】∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，
∴AD+BC＝AB+CD＝24，
∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝24+24＝48.
19.如图，在△ABC中，∠B＝90°，⊙O过点A，C，且与AB相交于点D，与BC相切于点C.若∠A＝32°，则∠ADO＝____°.
【答案】
64
【解析】 如答图，连结OC.
答图
∵∠A＝32°，∴∠DOC＝2∠A＝64°.
∵BC与⊙O相切于点C，∴OC⊥BC.
又∵∠B＝90°，∴∠B＋∠OCB＝180°，
∴AB∥OC，∴∠ADO＝∠DOC＝64°.
20.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点E，OD⊥BC交⊙O于点D，DE交BC于点F，P为CB延长线上的一点，延长PE交AC于点G，PE＝PF，下列4个结论：①GE＝GC；②AG＝GE；③OG∥BE；④∠A＝∠P.其中正确的结论是________(填写所有正确结论的序号)．
【答案】①②③
【解析】如图，连接OE，CE，
∵OE＝OD，PE＝PF，
∴∠OED＝∠ODE，∠PEF＝∠PFE，
∵OD⊥BC，
∴∠ODE＋∠OFD＝90°，
∵∠OFD＝∠PFE，
∴∠OED＋∠PEF＝90°，
∴OE⊥PE，
∵点E在⊙O上，
∴GE为⊙O的切线，
∵点C在⊙O上，OC⊥GC，
∴GC为⊙O的切线，
∴GC＝GE，故①正确；
∴∠GCE＝∠GEC，
∵BC是直径，
∴∠BEC＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∵∠GCE＋∠A＝90°，∠GEC＋∠AEG＝90°，
∴∠A＝∠AEG，
∴AG＝GE，故②正确；
∵OC＝OB，AG＝CG，∴OG是△ABC的中位线，
∴OG∥AB，故③正确；
在Rt△ABC中，∠A＋∠ABC＝90°，
在Rt△POE中，∠P＋∠POE＝90°，
∵OE＝OB，
∴∠OBE＝∠OEB，
但∠POE不一定等于∠ABC，
∴∠A不一定等于∠P，故④错误．
三、解答题
21.如图，点是斜边边上的一点，以为半径的与边相切于点．求证：平分．
【答案】证明：连接，
∵与边相切于点，
∴，即，
∵为直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴平分．
22.如图，是☉O的直径，点C是☉O上的一点，点P是延长线上的一点，连接，．
（1）求证：是☉O的切线；
（2）若，求证：；
（3）若于D，，，求的长．
【答案】解：（1）如图所示，连接，
∵是☉O的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是☉O的切线.
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
（3）设，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
即，整理得，
解得，（舍去），
故．
23.如图，与相切于点，为的直径，点在上，连接，且．
（1）连接，求证：；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵与相切，
∴，
∴，
在和中
∴
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，
∴
∵，
∴为等边三角形，
∴，
由（1）可知：，
∴，
∴，
∴，
∴．
24.如图．，与相切于点、连接，与相交于点，过点作，垂足为，交于点，连接交于点．
（1）求证：是的切线．
（2）当，时，求线段的长．
【答案】（1）方法一：
证明：过点作于点，
，
，
与相切于点，
，
，
，，
，
，
为的半径，
为的半径，
，
是的切线；
方法二：
证明：过点作于点，
与相切于点，
，
，
是的平分线，
，
为的半径，
为的半径，
，
是的切线；
（2），为半径，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，，
，，
，
，
设，则，
，
解得，
．
25.如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.求证：直线PB与⊙O相切．
【答案】证明：如答图，连结OC，过点O作OD⊥PB于点D.
答图
∵⊙O与PA相切于点C，∴OC⊥PA.
又∵点O在∠APB的平分线上，
∴OD＝OC，∴直线PB与⊙O相切．

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