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2026届中考数学考前冲刺：三角形与圆 专项训练
一、选择题
1.如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A＝60°，CD＝2，BD＝4．则△DBC的面积是(　　)
A.4 B.2 C.2 D.4
2.下列说法中，正确的是(　　)
A.平分弦的直径垂直于弦
B.圆的内接四边形的对角相等
C.三点确定一个圆
D.三角形任意两边的垂直平分线的交点是三角形的外心
3.如图，△BCD内接于☉O，∠D=70°，OA⊥BC交☉O于点A，连接AC，则∠OAC等于（　　）
A.40° B.55° C.70° D.110°
4.如图，点I为△ABC的内心，AB=8，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（　　）
A.9 B.8 C.6 D.4
5.如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC的内心，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为(　　)
A.20 B.15 C.18 D.12
6.如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则劣弧的长等于(　　)
A. B.π C. D.
7.已知三角形内的一个点到它的三边距离相等，那么这个点是(　　)
A.三角形的外心 B.三角形的重心 C.三角形的内心 D.三角形的垂心
8.在锐角三角形中，，，的外接圆为，且半径为5，边中点为，如果以为圆心的圆与相交，那么的半径可以为（ ）
A.2 B.5 C.8 D.9
9.如图，点I为△ABC的内心，AB＝8，AC＝6，BC＝4，将∠ACB平移使其顶点C与I重合，则图中阴影部分的周长为(　　)
A.9 B.8 C.6 D.4
10.要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形（　　）
A.三边高线的交点
B.三个角的平分线的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三边中线的交点
11.如图，△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，点O是内心，则∠BOC的度数是（　　）
A.50° B.100° C.115° D.120°
12.如图，⊙O为△ABC的外接圆，BD与⊙O相切于点B，连接CO并延长，交BD于点D．若∠D＝40°，则∠BAC的度数为(　　)
A.50° B.60° C.55° D.65°
13.如图，正三角形EFG内接于⊙O，其边长为2，则⊙O的内接正方形ABCD的边长为(　　)
A.2 B. C.4 D.2
14.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，延长AC到点D，使CD=BC，点P是△ABD的内心，则∠BPC等于（　　）
A.105° B.110° C.130° D.145°
15.下列说法正确的个数是（　　）
①任意一个三角形都有且只有一个外接圆；
②任意一个圆都有且只有一个外切三角形；
③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；
④三角形的内心可能在三角形内部也可能在三角形外部；
⑤三角形任意两边垂直平分线的交点是三角形的外心；
⑥若三角形的外心与内心重合，则这个三角形一定是等边三角形.
A.2 B.3 C.4 D.5
二、填空题
16.在中，，则外接圆半径R=______．
17.点O是△ABC的外心,若∠BOC=110°,则∠BAC的度数为　　　　.
18.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则tan∠ACB的值是_______．
19.如图，分别以边长为4的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以4为半径作弧，三段弧所围成的图形是一个曲边三角形，若圆O是△ABC的内切圆，则阴影部分面积为　　．
20.在△ABC中，AB=AC，∠BAC为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是　　　　.
三、解答题
21.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，BC与过点A的切线EF平行，BC，AD相交于点G．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若DG＝BC＝16，求AB的长．
22.如图，是的外接圆，是的直径，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径．
23.工人师傅后在一个上表面是直角三角形的器具上面安装一块圆板，要求这个圆板刚好覆盖住三角形，该直角三角形的形状如图所示．
（1）请用尺规作图在图上作出该图；
（2）测量直角三角形的两直角边AC＝1.2m，BC＝1.6m，如果这个圆是一个正方形板所截，请你帮助师傅计算出所需要正方形板的最小面积是多少？
24.如何仅用圆规和无刻度的直尺过圆外一点作已知圆的切线呢？请同学们阅读下面的分析：如图1，如果与相切于点，那么，即，根据“圆周角定理的推论：的圆周角所对的弦是直径”可以得出：点既在上，也在以为直径的圆上，是两圆的公共点．
(1)请根据上面的分析在图2中完成尺规作图：用圆规和无刻度的直尺先找出线段的中点，然后画以点为圆心，以为半径的圆就可以确定切点的位置，切点分别记为、，画出直线和，即为经过圆外一点的的两条切线；
(2)在（1）的条件下，若的直径与交于点，连接、、．求证：点是的内心．
25.如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
2026届中考数学考前冲刺：三角形与圆 专项训练（参考答案）
一、选择题
1.如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A＝60°，CD＝2，BD＝4．则△DBC的面积是(　　)
A.4 B.2 C.2 D.4
【答案】B
【解析】过点B作BH⊥CD的延长线于点H．
∵点D为△ABC的内心，∠A＝60°，
∴∠DBC+∠DCB＝(∠ABC+∠ACB)＝(180°﹣∠A)＝60°，
∴∠BDH＝60°，
在Rt△BHD中，BD＝4，
∴DH＝＝2，BH＝2，
∵CD＝2，
∴△DBC的面积＝CD BH＝＝2．
2.下列说法中，正确的是(　　)
A.平分弦的直径垂直于弦
B.圆的内接四边形的对角相等
C.三点确定一个圆
D.三角形任意两边的垂直平分线的交点是三角形的外心
【答案】D
3.如图，△BCD内接于☉O，∠D=70°，OA⊥BC交☉O于点A，连接AC，则∠OAC等于（　　）
A.40° B.55° C.70° D.110°
【答案】B
【解析】
如图，连接OB，OC，
∵∠D=70°，
∴∠BOC=2∠D=140°，
∵OA⊥BC，
∴∠COA=∠BOC=70°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=×（180°-70°）=55°.
4.如图，点I为△ABC的内心，AB=8，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（　　）
A.9 B.8 C.6 D.4
【答案】B
【解析】
如图，连接AI，BI，
∵点I为△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，
∴∠CAI=∠BAI，
由平移得AC∥DI，
∴∠CAI=∠AID，
∴∠BAI=∠AID，
∴AD=DI，
同理可得BE=EI，
∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=8，
即图中阴影部分的周长为8.
5.如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC的内心，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为(　　)
A.20 B.15 C.18 D.12
【答案】B
【解析】∵O为△ABC的内心，
∴点O到AB，AC的距离相等，
∴△AOB，△AOC面积的比＝AB∶AC＝8∶6＝4∶3．
∵△ABO的面积为20，
∴△ACO的面积为15．
6.如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则劣弧的长等于(　　)
A. B.π C. D.
【答案】A
【解析】连接OB，OC，如图所示，
由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝60°，
又∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC＝2，
∴劣弧的长为．
7.已知三角形内的一个点到它的三边距离相等，那么这个点是(　　)
A.三角形的外心 B.三角形的重心 C.三角形的内心 D.三角形的垂心
【答案】C
【解析】∵三角形内的一个点到它的三边距离相等，
∴以这个点为圆心，以这个点到三角形一边的距离为半径的圆与三角形各边都相切，
∴这个点是三角形的内心．
8.在锐角三角形中，，，的外接圆为，且半径为5，边中点为，如果以为圆心的圆与相交，那么的半径可以为（ ）
A.2 B.5 C.8 D.9
【答案】B
【解析】解：如图，连接并延长交于点E，
∵，D为中点，
∴，；
∵锐角三角形中，，
∴外接圆心O上，
连接，由勾股定理得：；
设以D为圆心的圆的半径为，相交应满足：，
即，解得：；
在此范围的半径只有选项B；
9.如图，点I为△ABC的内心，AB＝8，AC＝6，BC＝4，将∠ACB平移使其顶点C与I重合，则图中阴影部分的周长为(　　)
A.9 B.8 C.6 D.4
【答案】B
【解析】如图，连接AI，BI，
∵点I为△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，
∴∠CAI＝∠BAI，
由平移得AC∥DI，
∴∠CAI＝∠AID，
∴∠BAI＝∠AID，
∴AD＝DI，
同理可得BE＝EI，
∴△DIE的周长＝DE+DI+EI＝DE+AD+BE＝AB＝8，
即图中阴影部分的周长为8.
10.要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形（　　）
A.三边高线的交点
B.三个角的平分线的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三边中线的交点
【答案】B
【解析】∵三角形中面积最大的圆为三角形的内切圆，
∴在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形三个角的平分线的交点，
故选：B．
11.如图，△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，点O是内心，则∠BOC的度数是（　　）
A.50° B.100° C.115° D.120°
【答案】C
【解析】∵点O是△ABC的内心，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∵∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，
∴∠OBC＝∠ABO∠ABC＝25°，∠OCB＝∠ACO∠ACB＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣25°﹣40°＝115°，
故选：C．
12.如图，⊙O为△ABC的外接圆，BD与⊙O相切于点B，连接CO并延长，交BD于点D．若∠D＝40°，则∠BAC的度数为(　　)
A.50° B.60° C.55° D.65°
【答案】D
【解析】连接OB，如图，
∵BD与⊙O相切于点B，
∴OB⊥BD，
∴∠OBD＝90°，
∴∠BOD＝90°﹣∠D＝90°﹣40°＝50°，
∵∠BOC＝180°﹣∠DOB＝180°﹣50°＝130°，
∴∠BAC＝∠BOC＝×130°＝65°．
13.如图，正三角形EFG内接于⊙O，其边长为2，则⊙O的内接正方形ABCD的边长为(　　)
A.2 B. C.4 D.2
【答案】A
【解析】连接AC，OE，OF，作OM⊥EF于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴AC是直径，AC＝AB，
∴OE＝OF＝AB．
∵△EFG是等边三角形，点O是正三角形EFG的外接圆圆心，
∴OE＝OF＝×2×＝2，
∴AB＝2，
∴AB＝2．
即⊙O的内接正方形ABCD的边长为2．
14.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，延长AC到点D，使CD=BC，点P是△ABD的内心，则∠BPC等于（　　）
A.105° B.110° C.130° D.145°
【答案】D
【解析】
如图，连接AP并延长交BC于点E，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=×（180°-∠A）=×（180°-40°）=70°，
∵CD=BC，
∴∠D=∠CBD，
∵∠ACB=∠D+∠CBD，
∴∠CBD=∠ACB=35°，
∴∠ABD=35°+70°=105°，
∵点P是△ABD的内心，
∴AP平分∠BAC，BP平分∠ABD，
∴AE垂直平分BC，∠PBD=∠ABD=52.5°，
∴∠PBC=52.5°-35°=17.5°，
∵PE垂直平分BC，
∴PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=17.5°，
∴∠BPC=180°-17.5°-17.5°=145°.
15.下列说法正确的个数是（　　）
①任意一个三角形都有且只有一个外接圆；
②任意一个圆都有且只有一个外切三角形；
③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；
④三角形的内心可能在三角形内部也可能在三角形外部；
⑤三角形任意两边垂直平分线的交点是三角形的外心；
⑥若三角形的外心与内心重合，则这个三角形一定是等边三角形.
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】
①任意一个三角形都有且只有一个外接圆，故正确；
②任意一个圆都有无数个外切三角形，故错误；
③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故正确；
④三角形的内心一定在三角形内部，故错误；
⑤三角形任意两边垂直平分线的交点是三角形的外心，故正确；
⑥若三角形的外心与内心重合，则这个三角形一定是等边三角形，故正确.
二、填空题
16.在中，，则外接圆半径R=______．
【答案】2
【解析】在中，
直角三角形的外心为斜边的中点，
外接圆半径为斜边长的一半
外接圆半径
故答案为：2
17.点O是△ABC的外心,若∠BOC=110°,则∠BAC的度数为　　　　.
【答案】
55°或125°
【解析】
分两种情况讨论:
①如答图1,外心O在△ABC的内部,
∴∠BAC=∠BOC=55°;
答图
②如答图2,外心O在△ABC的外部,
∴∠BDC=∠BOC=55°.
又∵∠BAC+∠BDC=180°,
∴∠BAC=180°-∠BDC=125°.
综上所述,∠BAC的度数为55°或125°.
18.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则tan∠ACB的值是_______．
【答案】2
【解析】如图，设B点上方2个单位长度的格点为D，连接AD，BD，
∵每个小正方形的边长都是1，点A，B，D均在网格线交点上，
∴AB＝4，BD＝2，
∴tan∠ACB＝=2．
19.如图，分别以边长为4的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以4为半径作弧，三段弧所围成的图形是一个曲边三角形，若圆O是△ABC的内切圆，则阴影部分面积为　　．
【答案】
【解析】连接OB，过点O作OH⊥BC于H，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝4，∠ABC＝60°，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OH为⊙O的半径，∠OBH＝30°，BH＝CH＝＝2，
在Rt△OBH中，OH=BH·tan∠OBH＝2×，
∵S弓形AB＝S扇形ACB﹣S△ABC，
∴S弓形＝3S弓形AB＝3×(S扇形ACB﹣S△BAC)＝＝,
S⊙O=，
∴S阴影=S弓形+S△ABC-S⊙O=8π-12×．
20.在△ABC中，AB=AC，∠BAC为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是　　　　.
【答案】
135°
【解析】
方法一　如图，连接IC，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠BAC+∠ACD=90°，
又∵I为△ACD内切圆的圆心，
∴AI，CI分别是∠BAC，∠ACD的平分线.
∴∠IAC+∠ICA
=(∠BAC+∠ACD)
=×90°
=45°，
∴∠AIC=135°.
在△AIB和△AIC中，
∴△AIB≌△AIC(SAS)，
∴∠AIB=∠AIC=135°.
方法二　假设△ABC为等边三角形，
∵CD为AB边上的高，
∴∠BDC=90°，∴∠BCD=30°，
∴∠ACD=30°，∵I为△ACD内切圆的圆心，
∴AI，CI分别为∠BAC，∠ACD的平分线，
∴∠ACI=15°，∠CAI=30°，
∴∠AIC=135°.
下同方法一.
三、解答题
21.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，BC与过点A的切线EF平行，BC，AD相交于点G．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若DG＝BC＝16，求AB的长．
【答案】解：（1）∵EF是⊙O的切线，
∴DA⊥EF，
∵BC∥EF，
∴DA⊥BC，
∵DA是直径，
∴=，
∴AB＝AC．
（2）连接DB，
∵BG⊥AD，
∴∠BGD＝∠BGA＝90°，
∵∠ABG+∠DBG＝90°，∠DBG+∠BDG＝90°，
∴∠ABG＝∠BDG，
∴△ABG∽△BDG，
∴＝，
即BG2＝AG·DG，
∵BC＝16，BG＝GC，
∴BG＝8，
∴82＝16×AG，
解得AG＝4，
在Rt△ABG中，BG＝8，AG＝4，
∴AB＝4．
故答案为：4．
22.如图，是的外接圆，是的直径，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）证明：连接，
∵是的外接圆，是的直径，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵的平分线交于点D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：设交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
设的半径为，则：，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为．
23.工人师傅后在一个上表面是直角三角形的器具上面安装一块圆板，要求这个圆板刚好覆盖住三角形，该直角三角形的形状如图所示．
（1）请用尺规作图在图上作出该图；
（2）测量直角三角形的两直角边AC＝1.2m，BC＝1.6m，如果这个圆是一个正方形板所截，请你帮助师傅计算出所需要正方形板的最小面积是多少？
【答案】解：（1）即为所作．
（2）∵AC＝1.2m，BC＝1.6m，∠ACB＝90°，
∴AB==＝2，
∴所需要正方形板的最小面积是22＝4（m2）．
24.如何仅用圆规和无刻度的直尺过圆外一点作已知圆的切线呢？请同学们阅读下面的分析：如图1，如果与相切于点，那么，即，根据“圆周角定理的推论：的圆周角所对的弦是直径”可以得出：点既在上，也在以为直径的圆上，是两圆的公共点．
(1)请根据上面的分析在图2中完成尺规作图：用圆规和无刻度的直尺先找出线段的中点，然后画以点为圆心，以为半径的圆就可以确定切点的位置，切点分别记为、，画出直线和，即为经过圆外一点的的两条切线；
(2)在（1）的条件下，若的直径与交于点，连接、、．求证：点是的内心．
【答案】（1）解：如图，直线，即为所求；
（2）证明：设交于点．
，是的切线，
，，，
，
，，
，
，
，
点是的内心．
25.如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）解：∵，是的切线，即，
∴，
∴，
∴，即是等腰直角三角形，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，即是等腰直角三角形，
∴，
由（1）得，
∴，
如图所示，连接，设，则，
∴在中，，
∴，
解得，，
∴，
∴的半径．

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