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华师大版（2024）八年级下册 18.3 正方形 课时训练
一、选择题
1.如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是(　　)

A. B. C. D.
2.如图，为正方形对角线的中点，为等边三角形，若，则的长度为(　　)
A. B.2 C. D.
3.如图，点在正方形的内部，且在对角线的上方，连接、，若，则的度数为(　　)
A. B. C. D.
4.如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于(　　)

A. B. C. D.
5.如图，菱形的对角线、相交于点，那么下列条件中，能判断菱形是正方形的为(　　)
A. B. C. D.
6.在四边形中，，如果添加一个条件，即可得出四边形是正方形，那么这个条件可以是(　　)
A. B. C. D.
7.四边形中，O是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形为正方形的是(　　)
A.，，
B.，，
C.，
D.，，
8.在正方形中，E是对角线上一点，且，则的度数是(　　)
A. B. C. D.
9.如图，将正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA顺次延长至E，F，G，H，且使BE＝CF＝DG＝AH，则四边形EFGH是（　　）
A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
10.如图，在正方形纸片中，对角线、相交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，有以下结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤，其中正确结论的个数有(　　)

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
11.如图，在正方形中，是对角线，的交点．过点作，分别交，于点，．若，，则(　　)
A. B. C. D.
12.如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，过点作，交延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．在下列结论中：①；②；③；④．其中正确的结论序号是（ ）

A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④
二、填空题
13.如图，在平行四边形中，对角线，交于点，若，请你添加一个条件 ，使四边形是正方形（填一个即可）．

14.已知是正方形的对角线，在线段上截，连接，则的度数为 °．
15.如图在正方形的外侧作一个，已知，，那么等于 ．
16.如图，正方形的边长为，点是的中点，垂直平分且分别交、于点、，则 ．
17.如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，且对角线交于点，连．若，，则与的和为 度；且另一条直角边的长为 ．

三、解答题
18.如图，在矩形中，、、、分别平分、、、，交于点，交于点．求证：四边形正方形．

19.如图，在矩形中，点在边上，连接，将矩形沿折叠，点的对称点落在边上，连接．求证：四边形是正方形．

20.如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，且为的平分线，求证：平行四边形为正方形．

21.已知，正方形CEFG的边GC在正方形ABCD的边CD上，延长CD到H，使DH＝CE，K在BC边上，且BK＝CE，求证：四边形AKFH为正方形．
22.已知：四边形为正方形，为对角线上一点，连接，．过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接．

(1)求证：矩形是正方形；
(2)若正方形的边长为，，求正方形的边长．
华师大版（2024）八年级下册 18.3 正方形 课时训练（参考答案）
一、选择题
1.如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是(　　)

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当时不能判定四边形是正方形，故A不符合题意，
当时，四边形是正方形，故B符合题意，
当时不能判定四边形是正方形，故C不符合题意，
当时不能判定四边形是正方形，故D不符合题意，
故选：B．
2.如图，为正方形对角线的中点，为等边三角形，若，则的长度为(　　)
A. B.2 C. D.
【答案】A
【解析】∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵为等边三角形，为正方形对角线的中点，
∴，，
∴，
故选：A．
3.如图，点在正方形的内部，且在对角线的上方，连接、，若，则的度数为(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选C．
4.如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于(　　)

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】是正方形的对角线，
，
是菱形的对角线，
．
故选：B．
5.如图，菱形的对角线、相交于点，那么下列条件中，能判断菱形是正方形的为(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A.，，
，
，
四边形是菱形，
，故不能判断菱形是正方形；故A不符合题意；
B.四边形是菱形，
，，
故不能判断菱形是正方形；故B不符合题意；
C.四边形是菱形，
，，
，
故不能判断菱形是正方形；故C不符合题意；
D.四边形是菱形，
平行于，
，
，
，
菱形是正方形，故D符合题意．
故选：D．
6.在四边形中，，如果添加一个条件，即可得出四边形是正方形，那么这个条件可以是(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴四边形是菱形，
若添加，则该四边形是正方形．
故选：A．
7.四边形中，O是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形为正方形的是(　　)
A.，，
B.，，
C.，
D.，，
【答案】C
【解析】A． ，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，不能判定四边形是正方形，故本选项不符合题意；
B． ，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
∴四边形是矩形，不能判定四边形是正方形，故本选项不符合题意；
C．，
，四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
矩形是正方形，故本选项符合题意；
D． ，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，不能判定四边形是正方形，故本选项不符合题意．
故选：B．
8.在正方形中，E是对角线上一点，且，则的度数是(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
9.如图，将正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA顺次延长至E，F，G，H，且使BE＝CF＝DG＝AH，则四边形EFGH是（　　）
A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，
∴∠FBE＝∠GCF＝∠HDG＝∠EAH＝90°，
∵BE＝CF＝DG＝AH，
∴AB+BE＝BC+CF＝CD+DG＝DA+AH，
即AE＝BF＝CG＝DH，
在△FBE和△GCF中，
，
∴△FBE≌△GCF（SAS），
∴EF＝FG，∠BFE＝∠CGF，
∵∠GCF＝90°，
∴∠CGF+∠GFC＝90°，
∴∠BFE+∠GFC＝90°，
即∠EFG＝90°，
同理可得△GCF≌△HDG，△HDG≌△EAH，△EAH≌△FBE，
∴FG＝GH，GH＝HE，HE＝EF，
∴EF＝FG＝GH＝HE，
∴四边形EFGH是菱形，
又∠EFG＝90°，
∴四边形EFGH是正方形．
故选：D．
10.如图，在正方形纸片中，对角线、相交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，有以下结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤，其中正确结论的个数有(　　)

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】B
【解析】四边形是正方形，
，
由折叠的性质可得：，
故，
故①正确．
由折叠的性质可得：，，
，
，
，
，故②错误．
，
，与同高，
，
故③错误．
，
，
，
，
，
，
，
，
故四边形是菱形，
故④正确．
，，
，
四边形是菱形，
，
，
．
故⑤正确．
故选：B．
11.如图，在正方形中，是对角线，的交点．过点作，分别交，于点，．若，，则(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵四边形是正方形，
∴，，，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴．
故选：B．
12.如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，过点作，交延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．在下列结论中：①；②；③；④．其中正确的结论序号是（ ）

A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④
【答案】B
【解析】如图所述，过点作于点，作于点，设交于点，

∵四边形是正方形，是对角线，，，
∴，，
∴四边形是矩形，且，，
∴都是等腰直角三角形，即，
∴矩形是正方形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，则，
∵，
∴，则，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，故结论①正确；
结论②，
由结论①正确可知，，且四边形是矩形，
∴矩形是正方形，
∴，即，且，
∵四边形是正方形，
∴，即，且，
∴，
在中，
，
∴，故结论②正确；
结论③，
∵四边形是正方形，是对角线，
∴，
由结论②正确可知，，
∴，
∴，故结论③正确；
结论④，
∵四边形是正方形，是对角线，点是上的点，
∴当时，点于点重合，
∴与不一定相等，故结论④错误；
综上所述，正确的有①②③，
故选：．
二、填空题
13.如图，在平行四边形中，对角线，交于点，若，请你添加一个条件 ，使四边形是正方形（填一个即可）．

【答案】（答案不唯一）
【解析】∵在平行四边形中，，
∴平行四边形为矩形，
添加条件可以利用对角线互相垂直的矩形是正方形，得出四边形是正方形；
添加或或或，利用一组邻边相等的矩形为正方形，得出四边形是正方形．
故答案为：．（答案不唯一）
14.已知是正方形的对角线，在线段上截，连接，则的度数为 °．
【答案】22.5
【解析】如图，
∵四边形是正方形，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：22.5.
15.如图在正方形的外侧作一个，已知，，那么等于 ．
【答案】
【解析】∵中，，，
，
，
又∵四边形是正方形，
，，
，且，
，
故答案为：．
16.如图，正方形的边长为，点是的中点，垂直平分且分别交、于点、，则 ．
【答案】
【解析】如图，连接，，
垂直平分，
，
正方形的边长为，
，，
是的中点，
，
设，则，
由勾股定理，得
，，
，
解得：，
故答案为：．
17.如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，且对角线交于点，连．若，，则与的和为 度；且另一条直角边的长为 ．

【答案】180；5
【解析】四边形是正方形，
，，，，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
，
，，
四边形是正方形，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：180，5．

三、解答题
18.如图，在矩形中，、、、分别平分、、、，交于点，交于点．求证：四边形正方形．

【答案】证明：∵在矩形中，、、、分别平分、、、，
∴，
∴，，
∴四边形是矩形，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即，
∴四边形是正方形．

19.如图，在矩形中，点在边上，连接，将矩形沿折叠，点的对称点落在边上，连接．求证：四边形是正方形．

【答案】证明：四边形是矩形，
，
由折叠可得，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形．
20.如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，且为的平分线，求证：平行四边形为正方形．

【答案】证明：四边形为平行四边行，
，，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
平行四边形为矩形，
为的平分线，
，
∴，
，
∴平行四边形为正方形
21.已知，正方形CEFG的边GC在正方形ABCD的边CD上，延长CD到H，使DH＝CE，K在BC边上，且BK＝CE，求证：四边形AKFH为正方形．
【答案】证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠DCB＝∠B＝∠ADC＝90°，
∠GCE＝∠E＝∠GFE＝∠CGF＝90°，
∴∠ADH＝∠HGF＝∠E＝∠B＝90°，
∵DH＝CE，BK＝CE，
∴BK＝GF＝DH＝EF，KE＝GH＝AB＝AD，
在△ABK、△KEF、△HGF、△ADH中，
，
∴△ABK≌△KEF≌△HGF≌△ADH，
∴AK＝KF＝HF＝AH，∠BAK＝HAD，
∵∠BAD＝90°，
∴∠HAK＝∠HAD+∠DAK＝∠BAK+∠DAK＝∠BAD＝90°，
∴四边形AKFH为正方形．
22.已知：四边形为正方形，为对角线上一点，连接，．过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接．

(1)求证：矩形是正方形；
(2)若正方形的边长为，，求正方形的边长．
【答案】（1）证明：如图，作于，于，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵点是对角线上的点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴矩形是正方形；

（2）解：连接，设正方形的边长为，
∵四边形和四边形都是正方形，正方形的边长为，
∴，，
，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，即，
解得：或（负值不符合题意，舍去），
∴正方形的边长为．

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