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2025——2026学年度第二学期质量检测
九年级 数学试卷
（满分：120分 时间：120分钟）
说明：所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效。
一、单项选择题（本大题满分27分，共有9道小题，每小题3分）
1、（3分）下列各数中，最小的数是（　　）
A．﹣1 B．5 C． D．
2、（3分）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A．航天神舟 B．中国火箭 C．中国行星探测 D．中国探月
3、（3分）黄金是自然界中延展性最好的金属，最薄的金箔厚度为0.000000092，数据用科学记数法表示为（　　）
A．9.2×10﹣9 B．9.2×10﹣8 C．9.2×10﹣7 D．9.2×10﹣6
4、（3分）先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图，这是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的俯视图是（　 　）
A． B．
C. D．
5、（3分）实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6、（3分）如图，在中，弦、相交于点．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7、（3分）如图，在平面直角坐标系中，位于第四象限，点的坐标是，把向左平移5个单位长度得到，再将绕点按顺时针方向旋转90°，得到，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
第6题 第7题
8、（3分）崂山太清宫的老子铜像是一座著名的文化地标，兼具艺术观赏与历史传承功能。数学兴趣小组学完相似三角形应用后，决定亲自利用所学知识测量老子铜像的高度，如图是他们借助附近一棵大树（大树上的标志牌写着树高）测得的一些数据，可以计算出老子铜像的高度CD约是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
9、（3分）一次函数和二次函数（，，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
二、填空题（本大题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
10、（3分）计算： 　 　 ．
11、（3分）甲、乙两名射击运动员10次射击成绩折线图如图所示，若要选派成绩更稳定的运动员参加比赛，应选 。
12、（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+3＝0有实数根，则实数k的取值范围为 　 ．
13、（3分）如图，边长为2的正方ABCD，分别以B，C为圆心，边长为半径作两个四分之一圆，两圆在正方形内部交于点E，则阴影部分的面积为 。
14、（3分）如图，菱形ABCD的对角线交于原点O，点D的坐标为，将菱形绕原点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时点D的坐标为 。
15、（3分）如图，正方形ABCD边长为6，E是CD中点，连接AC，交BE于点F，作C关于BE的对称点M，连接DM，BM，EM。下列结论，其中正确结论的序号是__________。
①; ② ③; ④，
三、解答题（本大题满分75分）
16、尺规作图（本题满分4分）
已知：已知：如图，△ABC．
求作：点P，使P在△ABC的中线CD上，且到AB、BC两边的距离相等．
17、计算：（本题满分8分，共2小题）
（1）(4分）解不等式组：；
（2）(4分）化简：．
18、（6分）某市共开发了5条“五一”旅游专线，分别编号为1～5号线．小雨一家计划利用两天时间参观其中两条线路：第一天从5条线路中随机选择一条，第二天从余下的4条线路中再随机选择一条，且每条线路被选中的机会均等．
（1）第一天，1号路线没有被选中的概率是　 　；
（2）利用列表或画树状图的方法求两天中4号路线被选中的概率．
19、（6分）为保护学生视力，国家教育部对教室课桌摆放有明确规定：第一排课桌前沿到黑板的水平距离不得少于2米，课桌到侧墙的距离BF不得少于0.15米。如图，某教室俯视为矩形ABCD，其中长CD=8米，宽米，第一排课桌到黑板的水平距离为2米。墙面上的窗户到点A的距离AE=1米。某日清晨，阳光经窗户射入教室，光线EP与黑板AB所在直线相交于点P，测得。受阳光反射眩光影响，第一排同学无法看清黑板，现要将第一排课桌需整体向后平移，使其避开光线反射区域，同时满足教育部规定的最小距离要求。求第一排课桌至少需要向后平移多少米？
（参考数据：）
20、（6分）近年来，由于智能聊天机器人的横空出世，大型语言模型成为人工智能领域的热门话题．有关人员开展了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分用x表示，分为4个等级：不满意x＜70，比较满意70≤x＜80，满意80≤x＜90，非常满意x≥90）．下面给出了部分信息：
抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中满意的数据：84，86，86，87，88，89；
抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
抽取的对A，B两款AI聊天机器人的评分统计表如下：
类型 平均数 中位数 众数 非常满意所占百分比
A 88 b 96 45%
B 88 87.5 c 40%
根据以上信息回答下列问题：
（1）上述图表中a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ．
（2）在此次测验中，有300人对A款AI聊天机器人进行评分，有240人对B款AI聊天机器人进行评分．估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有多少人．
21、（7分）如图，一次函数的图象交轴于点，交反比例函数的图象于点，一次
函数的图象交轴于点，交轴于点，线段的中点为点 。
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当△的面积为时，求的值。
22、（8分）已知：如图 的对角线，交于点，为的中点，连接并延长交的平行线于点，连接。
（1）求证：△≌△；
（2）当 满足什么条件时，四边形是菱形？并证明你的结论。
23、（10分）根据以下素材解决问题
人形机器人销售盈利方案
素 材 1 随着智能科技快速发展，某科技公司研发出甲、乙两种型号人形商用服务机器人。 调研显示：制造台甲型机器人、台乙型机器人，总花费万元；制造台甲型机器人、台乙型机器人，总花费万元。
素 材 2 两种型号机器人的总销售量（台）与甲型机器人每台销售单价（万元/台）之间的关系如下表所示 甲型机器人每台销售单价（万元/台） 两种型号机器人的总销售量（台）
根据以上信息解决下列问题
（1）求甲、乙两款机器人制造成本；
（2）求总销量与之间的关系；
（3）若总销量不低于250台，乙型机器人每台利润为5万元，甲款机器人销量是乙款机器人的销量的3倍，请尝试表示出总利润关于的函数关系式，并求出最大利润及此时甲型机器人的销售单价。
24、（10分）问题提出：以△ABC内部任意一点O为中心，可以画出与△ABC成中心对称的△。
数学兴趣小组提出了一个问题：当点O处于不同位置时，两个三角形重叠部分的面积如何变化？
问题分析：当点O处于不同位置时，从“形”的角度发现两个三角形的重叠部分只可能有两种情况：如图（1）所示的平行四边形，如图（2）所示的有三组对边分别平行的六边形（称为“平行六边形”）；从“数”的角度不难发现两个三角形重叠部分的面积在不断变化。
我们不妨从简单情形开始研究：△ABC的面积为1。
探究一：如图（3），当点A关于点O的对称点A’落在边上时，两个三角形重叠部分为，它的面积如何表示呢？
我们可以运用特殊化的策略：
①若，的面积为 ；
②若，的面积可表示为 。
探究二：如图（4），当两个三角形重叠部分为平行六边形，若BE:EF:FC=1:m:n，平行六边形的面积可表示为 。
拓展应用：
在图（4）的情形下，直接写出平行六边形面积的最大值，并指出此时点的位置。
25、（10分）如图1，在△中，=90°，AB=8cm，BC=6cm，在△中，∠E=90°，DF=3cm，DE=EF，点A与点D重合。如图2，点P从C出发，以2cm/s的速度沿C→B→A运动；同时△沿AC方向匀速运动，速度为1cm/s，当点P停止运动时，△也停止运动。连接AE，AP，FP。设运动时间为t（s）（0＜t≤7）。
图1 图2
备用图 备用图
（1）t为何值时，FP∥AB？
（2）设由A、E、F、P四点围成的多边形面积为S，用t表示S，并求出S的最大值；
（3）在整个运动过程中，PF和△任意一边垂直时，直接写出t的值。
九年级 数学答案
一、单项选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9
C B B D D A A A D
二、填空题
10、 -6- 11、 乙 12、
13、 14、 15、 ①②③④
三、解答题
16、略
17、（1）；（2）
18、（1）；（2）
19、0.14
20、（1）a＝　 15 ，b＝　 88.5 ，c＝　 98 ．
（2）66人
21、（1）；
（2）.
22、（1）∵BE∥AC
∴∠BEF=∠OCE
∵F是BO的中点
∴BF=OF
∴∠BFE=∠OFC
∴ BEF≌ OCF
（2）当∠ABC=90°时，四边形OAEB是菱形。
∵ BEF≌ OCF
∴BE=OC
∵ ABCD对角线AC、BD交于O
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD
∴BE=OA
∵BE∥AC
∴四边形OAEB是平行四边形
∵ ABCD，∠ABC=90°
∴ ABCD是矩形
∴AC=BD
∴OA=OB
∴ OAEB是菱形
23、（1）设甲型机器人每台制造成本为 a 万元，乙型机器人每台制造成本为 b 万元，
解得：
答：甲型机器人制造成本为 8 万元 / 台，乙型机器人制造成本为 7 万元 / 台。
（2）设 y=kx+b,
代入 x=10,y=340和 x=13,y=280：
解得：
∴y=-20x+540
经验证当x=16时,y=220；当 x=19时,y=160
∴总销量与单价的关系为y=-20x+540。
（3）由y≥250得-20x+540≥250
解得x≤14.5
∵对称轴是直线x=
a=-15<0，抛物线开口向下
∴在对称轴左侧，W随X的增大而增大，
∴当x=14.5时，W最大=1531.25
答：略。
24、① ；
② 。
探究二： 。
拓展应用：，此时O点是 ABC的重心。
25、（1）；
（2）当0＜t≤3时，，；
当3＜t≤7时，.
当t=3时，；
（3）

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