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2026年四川省宜宾市初中学业水平考试模拟（三）
数学试卷（三）
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 下列实数中的无理数是（ ）
A. B. 3.14 C. D.
2. 如图，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是（ ）
A. B. C. D.
3. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. 某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列运算中，计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数（）的图象在第一、三、四象限内，点和都在函数上．若，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，中，，，，以为半径画弧，交延长线于点，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，根据题意列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（ ）
A. 空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大
B. 当时，甲醛检测仪会报警
C. 当时，的阻值为
D. 当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于
10. 如图，绕点逆时针旋转得到，且经过点C，已知，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，在边长为2的正方形中，按如下步骤作图：
①分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于两侧，过两交点作直线，分别交，于点，；②连接，以为圆心，适当长为半径作弧，分别与，交于两点；再分别以这两点为圆心，适当长为半径作弧，两弧交于内一点，过与该交点作射线，交于点；③过点作于点．根据以上作图，线段的长为（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13. 使代数式有意义的取值范围是___________．
14. 若，则______．
15. 如图，以正五边形的边为直径作，连接交于点，的延长线交于点，则的度数为__________．
16. 如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则与的数量关系为________．
17. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．四边形，，，，都是正方形，顶点，，，，都在轴上，顶点，，，，，都在直线上，连接，，，，，分别交，，，，，于点，．设，的面积分别为，，则____________．
18. 如图，在菱形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且，点P为线段BD上的一个动点，则的最小值是______．
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19. （1）计算：
（2）解不等式：
20. 青少年不仅要学习好，还要关注时事热点，关心国家的现状和未来．某校为了解九年级学生对时事热点的掌握程度，特举办了一场“中国事，我知道”的调研．随机抽取60名九年级学生，将其分为3组，每组20人，把学生掌握情况分为5类：其中“完全不理解”记为0分，“了解”记为1分，“理解”记为2分，“掌握”记为3分，“应用”记为4分，现把3个小组的得分进行统计分析，过程如下：
【数据整理】
【数据分析】
平均数 众数 中位数
第1组 4 3
第2组 1
第3组 2
（1）请补全第1小组得分条形统计图．
（2）第2小组得分扇形统计图中，“得分为4分”这一项所对应的圆心角的度数为____．
（3）根据上述图表填空：__________，__________，__________．
（4）若该校九年级有1200名学生参加此次调研，请估算九年级学生掌握情况是“应用”的人数．
（5）结合上述数据，请你分析对于时事热点哪组掌握程度最弱，并说明原因．
21. 如图：平行四边形，对角线、相交于点，将沿着折叠，使点落在平面上的处，与相交于，连接并延长，与相交于．
（1）求证：；
（2）连接，判断四边形的形状，并说明理由．
22. 如图，在中，平分，交延长线于点E，，以为半径的交于点A，已知，．
（1）求证：是的切线．
（2）求的半径．
（3）连接，求的长．
23. 某种落地灯如图1所示，立杆AB垂直于地面，其高为120cm，BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为30cm，CD为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度，支杆BC与悬杆CD之间的夹角∠BCD为70°．
（1）如图2，当A、B、C三点共线且CD＝50cm时，求灯泡悬挂点D距离地面的高度；
（2）在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转50°，同时调节CD的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为160cm，求CD的长．（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）利用图像，直接写出不等式的解集为________；
（3）在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值．
25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、C两点，其中，，与y轴交于点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，连结，过点D作于点E，延长与直线交于点F，求的最大值及此时点D的坐标；
(3)若将原抛物线绕原点O旋转得到新的抛物线，P是新抛物线上的一个动点，H是直线上的一个动点，在平面直角坐标系上，是否存在一点K，使得四边形为正方形？请直接写出满足条件的所有K的坐标．
2026年四川省宜宾市初中学业水平考试模拟（三）
数学试卷（三）
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 下列实数中的无理数是（ ）
A. B. 3.14 C. D.
【答案】C
2. 如图，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
3. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
4. 某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
5. 下列运算中，计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
6. 已知函数（）的图象在第一、三、四象限内，点和都在函数上．若，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
7. 如图，中，，，，以为半径画弧，交延长线于点，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
8. 我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，根据题意列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
9. 已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（ ）
A. 空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大
B. 当时，甲醛检测仪会报警
C. 当时，的阻值为
D. 当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于
【答案】B
10. 如图，绕点逆时针旋转得到，且经过点C，已知，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
11. 如图，在边长为2的正方形中，按如下步骤作图：
①分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于两侧，过两交点作直线，分别交，于点，；②连接，以为圆心，适当长为半径作弧，分别与，交于两点；再分别以这两点为圆心，适当长为半径作弧，两弧交于内一点，过与该交点作射线，交于点；③过点作于点．根据以上作图，线段的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
12. 如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13. 使代数式有意义的取值范围是___________．
【答案】
14. 若，则______．
【答案】2
15. 如图，以正五边形的边为直径作，连接交于点，的延长线交于点，则的度数为__________．
【答案】
16. 如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则与的数量关系为________．
【答案】
17. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．四边形，，，，都是正方形，顶点，，，，都在轴上，顶点，，，，，都在直线上，连接，，，，，分别交，，，，，于点，．设，的面积分别为，，则____________．
【答案】
18. 如图，在菱形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且，点P为线段BD上的一个动点，则的最小值是______．
【答案】
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19. （1）计算：
【小问1详解】
解：原式
；
（2）解不等式：
【答案】（2）
【解析】
【小问2详解】
解：，
解不等式①得：；
解不等式②得：．
原不等式组解集为．
20. 青少年不仅要学习好，还要关注时事热点，关心国家的现状和未来．某校为了解九年级学生对时事热点的掌握程度，特举办了一场“中国事，我知道”的调研．随机抽取60名九年级学生，将其分为3组，每组20人，把学生掌握情况分为5类：其中“完全不理解”记为0分，“了解”记为1分，“理解”记为2分，“掌握”记为3分，“应用”记为4分，现把3个小组的得分进行统计分析，过程如下：
【数据整理】
【数据分析】
平均数 众数 中位数
第1组 4 3
第2组 1
第3组 2
（1）请补全第1小组得分条形统计图．
（2）第2小组得分扇形统计图中，“得分为4分”这一项所对应的圆心角的度数为____．
（3）根据上述图表填空：__________，__________，__________．
（4）若该校九年级有1200名学生参加此次调研，请估算九年级学生掌握情况是“应用”的人数．
（5）结合上述数据，请你分析对于时事热点哪组掌握程度最弱，并说明原因．
【小问1详解】
解：∵随机调查的总人数为 20 人，“ 0 ”分的人数为 1 人，“1 ”分的人数为 2 人，“ 2”分的人数为 3 人，“ 4”分的人数为 8 人，
∴“ 3 ”分的人数为：（人），
补全第1小组得分条形统计图如图所示：
【小问2详解】
解：∵第 2 小组得分扇形统计图中“得分为4 分”所占的百分数为，
∴“得分为4分”这一项所对应的圆心角的度数为；
【小问3详解】
解：∵根据扇形统计图可知“得分为 0 分”的人数最多，
∴第2组的众数为0分，
，
∵根据第1 小组得分条形统计图可知，“ 0 ”分的人数为 1 人，“1 ”分的人数为 2 人，“ 2”分的人数为 3 人，“ 3”分的人数为6人，“ 4”分的人数为 8 人，
∴第1组的平均数为，
，
∵第 3 组的折线图可知中位数第 10 和第 11 个分数：2 ， 2，
∴第 3 组的中位数是，
．
【小问4详解】
解：∵ 第 1 组得分为 “4 分”的人数为 8 人，第 2 组得分为“4 分”的人数为 人，第 3 组得分为“4 分”的人数为 2 人，
∴ 三组得 4 分的总人数为 14人，
∵三组总人数为60人，
∴该校九年级有1200名学生参加此次调研，掌握情况是“应用”的人数有（人）．
【小问5详解】
解：第2组掌握程度最弱，
原因：三组平均数分别为，第2组平均数最低，且0分占比最高，中位数最小，整体得分最低，因此掌握程度最弱．
21. 如图：平行四边形，对角线、相交于点，将沿着折叠，使点落在平面上的处，与相交于，连接并延长，与相交于．
（1）求证：；
（2）连接，判断四边形的形状，并说明理由．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
由折叠的性质得：，，
∴，，
又∵（对顶角相等），
∴．
【小问2详解】
解：四边形是菱形，理由如下：
由（1）中全等可得：，
∵四边形是平行四边形，对角线交于，
∴，，
∴，，
在和中：
，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形．
22. 如图，在中，平分，交延长线于点E，，以为半径的交于点A，已知，．
（1）求证：是的切线．
（2）求的半径．
（3）连接，求的长．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：过点O作于点F，如图，
∵平分，，，
∴的半径，
设的半径为r，则．
∵，，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
解得：．
∴的半径为3．
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
23. 某种落地灯如图1所示，立杆AB垂直于地面，其高为120cm，BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为30cm，CD为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度，支杆BC与悬杆CD之间的夹角∠BCD为70°．
（1）如图2，当A、B、C三点共线且CD＝50cm时，求灯泡悬挂点D距离地面的高度；
（2）在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转50°，同时调节CD的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为160cm，求CD的长．（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
【小问1详解】
解：过D作于E，如图所示：
∵在中，，，
，
∴cm，
∴（cm）
答：灯泡悬挂点D距离地面的高度133cm．
【小问2详解】
过D作于E，过C作于F，过B作于G，如图所示：
由题，，，
在中，，
解得：cm，
∴（cm），
∴（cm），
∵在中，，
∴（cm），
答：CD的长约为42cm．
24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）利用图像，直接写出不等式的解集为________；
（3）在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值．
【小问1详解】
解：∵反比例函数的图象经过，
∴，
解得，
∴反比例函数的解析式为；
在中，当时，，
∴，
∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，
∴，
解得，
∴一次函数解析式为；
【小问2详解】
解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数的 图象上方时自变量的取值范围为，
∴不等式的解集为；
【小问3详解】
解；如图所示，作点B关于x轴的对称点D，连接，则，
由轴对称的性质可得；
∵，，
∴，
∴的周长，
∴当有最小值时，的周长有最小值，
∵，
∴当有最小值时，的周长有最小值，
∵，
∴当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为，
∵，，
∴，
∴的周长的最小值为；
设直线解析式为，则，
∴，
∴直线解析式为，
在中，当时，，
∴；
综上所述，当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为．
25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、C两点，其中，，与y轴交于点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，连结，过点D作于点E，延长与直线交于点F，求的最大值及此时点D的坐标；
(3)若将原抛物线绕原点O旋转得到新的抛物线，P是新抛物线上的一个动点，H是直线上的一个动点，在平面直角坐标系上，是否存在一点K，使得四边形为正方形？请直接写出满足条件的所有K的坐标．
解:（1）根据题意得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）过点D作直线于M，交直线于G，
∴轴，
∴，
∵抛物线与x轴交于A、C两点，其中，与y轴交于点B．
令，则，解得，，
令，则，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
由点B、C的坐标得，直线的解析式为，
设直线DM交x轴于N，，则，，
∴，，
∴，
∴的最大值为，此时点D的坐标为；
（3）如图，
根据旋转得抛物线过点，，，
∴，
设，
∵四边形正方形，
∴，，
∴，
过点H作轴于M，过点P作轴于N，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，．
∴，
∴P点的坐标为或，，
①当P点的坐标为时，
∵，，，四边形为正方形，
∴点K的坐标为；
②当P点的坐标为时，
∵，，，四边形为正方形，
∴点K的坐标为；
综上，存在，点K的坐标为或．

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