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11.3.1.两数和乘以这两数的差
华东师大版 八年级数学上册
数学课前小故事
课前一分钟
一、目标导学
学习目标：
1.能推导平方差公式，理解公式的结构特征，熟练运用公式进行整式乘法运算。
2.通过观察、猜想、证明、归纳等过程，培养学生的抽象思维和逻辑推理能力，体会数形结合、从特殊到一般的数学思想。
3.培养学生的数学抽象、数学建模、数学运算能力等核心素养。激发学生探索数学规律的兴趣，增强学习数学的自信心，感受数学与生活的联系。
5m
100 m
情境导入入
5m
100 5m
100+5m
1002____(100+5)(100 5)
？
情境导入
从前有一个地主，他把一块边长为 100 m 的正方形的土地租给张老汉种植.有一天，他对张老汉说:“我把这块地的一边减少5m，另一边增加5m，
原来
后来
继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？”张老汉一听没有吃亏,就答应了.你觉得张老汉有没有吃亏呢？
二、自主研学
① (x + 1)( x - 1)；
② (m + 2)( m - 2)；
③ (2m + 1)(2m - 1)；
④ (5y + z)(5y - z).
比一比：看谁算得又快又准.
仔细观察这些式
子有什么特点？
平方差公式
1
自主研学
② (m + 2)( m - 2) = m2 - 4
③ (2m + 1)( 2m - 1) = 4m2 - 1
④ (5y + z)(5y - z) = 25y2 - z2
① (x + 1)( x - 1) = x2 - 1
想一想：这些式子结构有什么特点？你发现了什么规律？
= x2 - 12
= m2 - 22
= (5y)2 - z2
用自己的语言叙述你的发现.
左侧=两数和与这两数差的积，
自主研学
右侧=这两数的平方的差.
= (2m)2 - 12
精讲导学
猜 想
(a+b)
= a2 b2 .
如何用字母表达具有这个结构特点的式子呢？
两数和与这两数差的乘法公式
(a b)
你能用代数推理证明这个等式成立吗？
精讲导学
用多项式乘多项式法则：(a+b)(a b).
推导验证
(a+b)(a b)
=a2 ab+ab b2
=a2 b2.
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
符号语言：(a + b)(a b) = a2 b2.
文字语言：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.
公式变形：
(a – b) (a + b) = a2 b2，
(b + a)( b + a ) = a2 b2.
两数和与这两数差的乘法公式
这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为平方差公式.
精讲导学
三、合作互学
3.等式右侧=
2.公式左侧可能变形，紧紧抓住注意“一同一反”；
注：1.这里的a、b可以是单项式， 也可以是多项式；
(a + b)(a - b) = a2 - b2
相同项 a
相反项 b
注意事项
两数和与这两数差的乘法公式
几何解释
从几何角度证明(a+b)(a b)=a2 - b2
①
(a+b)(a b)
a2
b2
=
-
=
-
等积法
a-b
a-b
a
a-b
a+b
b
a
a
a
平方差公式
a
a
b
b
b
②
(a+b)(a b) a b 结果
( x+y)(x+y) y x y2 x2
(x y)(y+x) x y x2 y2
( x y)( x+y) x y x2 y2
(x y)( x y) y x y2 x2
你能用平方差公式填空吗？
右侧 =
方法总结
公式运用
1.使用平方差公式(a+b)(a b)=a2 b2时，关键在于找 准a与b，公式左边积的两个因式中_______项看作a， _______________项看作b.
2.右侧=
方法总结
3.注意符号，结果化到最简。
相同
互为相反数的
四、展示评学
例1 计算：
（1）(a+3)(a 3)；
（2）(2a+3b)·(2a 3b)；
（3）(1+2c)·(1 2c)；
（4）( 2x y)·(2x y).
=a2 32
=a2 9
=(2a)2 (3b)2
=4a2 9b2
=12 (2c)2
=1 4c2
=( y)2 (2x)2
=y2 4x2
找清哪项是相同的，即公式中的a；哪项互为相反数，即b.
1.计算：
（1）(2x+ )(2x- )；
（2）(-x+2)(-x-2)；
= 4x2-
=(-x)2-22
=x2-4
1.左侧找准“一同一反”。
2.右侧 = 相同2 - 相反2（结果化到最简）
方法总结
针对训练
1.计算：
（3）(-2x+y)(2x+y)；
（4）(y-x)(-x-y).
=(y)2-(2x)2
=y2-4x2
=(-x)2-(y)2
=x2-y2
1.左侧找准“一同一反”。
2.右侧 = 相同2 - 相反2（结果化到最简）
方法总结
针对训练
五、精讲导学
100 m
5m
100 5m
100+5m
1002____(100+5)(100 5)
？
从前有一个狡猾的地主，他把一块边长为 100 m 的正方形的土地租给张老汉种植.有一天，他对张老汉说：“我把这块地的一边减少5m，另一边增加5m，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？”张老汉一听没有吃亏， 就答应了.你觉得张老汉有没有吃亏呢？
原来
后来
回顾情境导入
回顾情景导入
(a + b) ( a b )
=10000-25
=9975
(100+5)(100 5)
有什么简便算法？
10000
=a2 b2
所以张老汉吃亏了。
例2 计算：1998×2002.
解 ：原式
=(2000 2)×(2000+2)
=20002 22
=400 0000 4
=399 9996.
( a - b ) ( a + b )
变式训练
方法总结
构造成两数和乘以这两数差的形式，可使计算简便.
若没有两数和乘以这两数差的形式，该怎么办呢？
2.计算：
（1）999×1001
=(1000-1)×(1000+1)
=100 0000-1
=99 9999
变形成( a + b ) ( a b )=a2 b2形式，可使计算简便.
方法总结
针对训练
例3 如图，街心花园有一块边长为a m的正方形草坪(a>2)，经统一规划后，南北向增加2m，东西向减少2m.改造后得到一块长方形草坪．求这块长方形草坪的面积.
a
2
a
2
解 (a+2)(a 2)=(a2 4)m2.
答：这块长方形草坪的面积为(a2 4)m2.
a-2
六、检测固学
检测固学
1.下列多项式中，可以用平方差公式计算的是( )
A.(2a 3b)( 2a+3b) B.( 3a+4b)( 4b 3a)
C.(a b)(b a) D.(a b c)( a+b+c)
B
方法总结：紧紧抓住 “一同一反”这一公式特征。
2. 下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
(1) (x + 3)(x - 3) = x2 - 3；
(2) ( - 3a - 2)(3a - 2) = 9a2 - 4.
不对
改正：x2 - 9
不对
（2）改正方法：
原式 = ( - 2 - 3a)( - 2 + 3a)
= ( - 2)2 - (3a)2
= 4 - 9a2.
3.计算：
（1）(a+3b)(a 3b)；
（2）51×49；
=a2 (3b)2
=a2 9b2
=(50+1)×(50 1)
=502 12
=2499
检测固学
4.计算：
(x－1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1)(x8 + 1).
(x－1)(x + 1)=？
原式= (x2－1)(x2 + 1)(x4 + 1)(x8 + 1)
= (x4－1)(x4 + 1)(x8 + 1)
= (x8－1)(x8 + 1)
= x16－1
解：
练一练
拓展提升
5.计算：
(a b+c)(a+b+c).
=[(a+c)+b][(a+c) b]
=(a+c)2 b2
=(a+c)(a+c) b2
=a2+2ac+c2 b2
整 体思 想
这里蕴含另一个乘法公式，我们下节课继续探索.......
拓展提升
6.已知x2-y2=8，x+y=4，求x-y的值 .
解：由题意得
(x+y)(x-y)=x2-y2=8
又因为x+y=4
所以x-y=2
拓展提升
本节课你有什么收获？
小组讨论
平方差公式
内容
注意
两个数和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差。
1.左侧紧紧抓住 “一同一反”这一公式特征。
2.右侧 = 相同项2 - 相反项2
课堂小结
3.注意符号，结果化到最简
(a + b)(a - b) = a2 - b2
谢谢观看
Thank you

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