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20专题训练三 平行四边形
一、例题与变式
1.构造平行四边解题
例1【一题多解】如图，AD、BC垂直相交于点O，AB∥CD，又BC＝8，AD＝6，求：AB+CD的长．
【分析】过点C作AD的平行线，交BA的延长线于点E，先证明四边形ADCE是平行四边形，得出CD＝AE，CE＝AD＝6，再证明CE⊥BC，于是根据勾股定理得到BE2＝BC2+CE2＝100，则BE＝10，进而求出AB+CD＝BE＝10．
【解答】解：如图，过点C作AD的平行线，交BA的延长线于点E．
∵AB∥CD，CE∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴CD＝AE，CE＝AD＝6．
∵AD⊥BC，CE∥AD，
∴CE⊥BC，
∴BE2＝BC2+CE2＝82+62＝100，
∴BE＝10，
∴AB+CD＝AB+AE＝BE＝10．
变式1 【课本再现】已知：如图1，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．求证：DE∥BC，且．
（1）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
方法一：如图2，过点C作AB的平行线交DE的延长线于点F．
方法二：如图3，过点E作AB的平行线交BC于点N，过点A作BC的平行线交NE的延长线于点M．
【知识应用】
（2）如图4，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD≠BC，E，F分别为AB，CD的中点，判断线段EF，AD，BC之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）方法一：根据平行线的性质得到∠DAE＝∠FCE．求得AE＝CE．根据全等三角形的性质得到AD＝CF，，根据平行四边形的性质得到DF∥BC，DF＝BC，于是得到DE∥BC，；
（方法二）根据平行线的性质得到∠MAC＝∠BCA．根据全等三角形的性质得到AM＝CN，EN＝EM，根据平行四边形 到现在得到AM＝BN，AB＝MN，于是得到结论；
（2）如图，连接AF并延长交BC的延长线于点G，根据平行线 到现在得到∠DAF＝∠G，∠D＝∠FCG．根据全等三角形的性质得到AD＝CG，AF＝FG，根据三角形中位线定理即可得到结论．
【解答】（1）方法一：证明：∵AB∥CF，
∴∠DAE＝∠FCE．
∵E是AC的中点，
∴AE＝CE．
在△ADE与△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（ASA），
∴AD＝CF，，
∵D是AB的中点，
∴BD＝AD，
∴BD＝CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴DE∥BC，；
（方法二）证明：∵AM∥BC，
∴∠MAC＝∠BCA，
在△AEM与△CEN中，
，
∴△AEM≌△CEN（ASA），
∴AM＝CN，EN＝EM，
∵AB∥MN，AM∥BC，
∴四边形ABNM是平行四边形，
∴AM＝BN，AB＝MN，
∵AM＝NC，
∴．
∵D是AB的中点，
∴，
∴四边形DBNE是平行四边形，
∴，DE∥BC；
（2）解：，
理由：如图，连接AF并延长交BC的延长线于点G，
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠G，∠D＝∠FCG．
在△ADF与△GCF中，
，
∴△ADF≌△GCF（AAS），
∴AD＝CG，AF＝FG，
又∵AE＝EB，
∴．
2.平行四边形与三角形的中位线
例2 如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH．
（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（2）若CB＝CE，∠EBC＝75°，∠DCE＝10°，求∠DAB的度数．
【分析】（1）证明BC为△FEG的中位线，得出BC∥FG，BCFG，证出BC＝FH，由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，得出AD∥FH，AD＝FH，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得出∠DAB＝∠DCB，由等腰三角形的性质得出∠BEC＝∠EBC＝75°，由三角形内角和定理求出∠BCE，得出∠DCB＝∠DCE+∠BCE＝40°，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵BF＝BE，CG＝CE，
∴BC为△FEG的中位线，
∴BC∥FG，BCFG，
又∵H是FG的中点，
∴FHFG，
∴BC＝FH．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AD∥FH，AD＝FH，
∴四边形AFHD是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠DCB，
∵CE＝CB，
∴∠BEC＝∠EBC＝75°，
∴∠BCE＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠DCB＝∠DCE+∠BCE＝10°+30°＝40°，
∴∠DAB＝40°．
变式2 在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，点E、F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE，DF、AE，EF，DE与AF交于点O．
（1）求证：AF与DE互相平分；
（2）若AB＝4，BC＝6．请直接写出DE的长为 　　 ．
【分析】（1）结合已知条件推知四边形AEFD是平行四边形，在该平行四边形的两条对角线互相平分；
（2）根据勾股定理求得AC的长度，然后由平行四边形的性质和勾股定理来求DO的长度，即可求得DE的长．
【解答】（1）证明：∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB且EFAB，
又AB＝2AD，即ADAB，
∴AD∥EF，AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AF与DE互相平分；
（2）解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝6，
由勾股定理得AC，
又由（1）知，OA＝OF，且AF＝CF，
∴，
在△AOD中，∠DAO＝90°，ADAB＝2，OA，
∴由勾股定理得，
∴DE＝2DO．
故答案为：．
3.平行四边形的性质与判定综合
例3 如图，已知平行四边形ABCD，点M，N分别在边AD和边BC上，点E，F在线段BD上，且AM＝CN，DF＝BE．求证：
（1）∠DFM＝∠BEN；
（2）四边形MENF是平行四边形．
【分析】（1）由平行四边形的性质得到得AD∥BC，AD＝BC，∠ADF＝∠CBE，然后根据AM＝CN得到DM＝BN，从而证得△DMF≌△BNE，理由全等三角形对应角相等证得结论；
（2）利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形进行判定即可．
【解答】证明：（1）由平行四边形ABCD得AD∥BC，AD＝BC，∠ADF＝∠CBE
∵AM＝CN，
∴AD﹣AM＝BC﹣CN，
即DM＝BN，
又∵DF＝BE，
∴△DMF≌△BNE，
∴∠DFM＝∠BEN；
（2）由△DMF≌△BNE得NE＝MF，
∵∠DFM＝∠BEN得∠FEN＝∠MFE，
∴MF∥NE，
∴四边形NEMF是平行四边形；
变式3 如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，DE，BF与对角线AC分别交于点M，N，连接MF，NE．
（1）求证：DE∥BF；
（2）判断四边形MENF是何特殊的四边形？并对结论给予证明．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB∥CD，AB＝CD；由中点性质可得BE＝AEABCD＝DF＝CF，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形EBFD为平行四边形，可得DE∥BF；
（2）由“ASA”可证△AME≌△CNF，可得ME＝FN，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形MENF为平行四边形，
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD．
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE＝AEABCD＝DF＝CF，
∵BE∥DF，
∴四边形EBFD为平行四边形，
∴DE∥BF；
（2）四边形MENF是平行四边形，
理由如下：∵DE∥BF，
∴∠CDM＝∠CFN．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD．
∴∠BAC＝∠DCA，∠CDM＝∠AEM，
∴∠AEM＝∠CFN，
在△AME和△CNF中，
，
∴△AME≌△CNF（ASA），
∴ME＝FN，
又∵DE∥BF，
∴四边形MENF是平行四边形．
二、巩固练习
1.如图，E是四边形ABCD的边BC延长线上的一点，且AB∥CD，则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．∠D＝∠5 B．∠3＝∠4 C．∠1＝∠2 D．∠B＝∠D
【分析】利用平行线的判定方法及平行四边形的判定可得出答案．
【解答】解：A．∵∠D＝∠5，
∴AD∥BC，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故A选项不符合题意；
B．∵∠3＝∠4，
∴AD∥BC，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故B选项不符合题意；
C．∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，
故C选项符合题意；
D．∵AB∥CD，
∴∠B+∠BCD＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠D+∠BCD＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故D选项不符合题意；
故选：C．
2．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的角平分线分别交BD，BC于点O，E，连接C，若EC＝6，CD＝8，则OC的长为（　　）
A．4 B．4 C．2 D．8
【分析】连接DE，OC，证明△BAO和△DAO全等得∠AOB＝∠AOD，OB＝OD，进而得AO⊥BD，则AE是BD的垂直平分线，由此得BE＝DE，在Rt△CDE中，由勾股定理得DE＝10，则BC＝16，在Rt△BCD中，由勾股定理得BD，然后根据直角三角形斜边中线性质即可得出OC的长．
【解答】解：连接DE，OC，如图所示：
∵AO是∠BAD的平分线，
∴∠BAO＝∠DAO，
在△BAO和△DAO中，
，
∴△BAO≌△DAO（SAS），
∴∠AOB＝∠AOD，OB＝OD，
∵∠AOB+∠AOD＝180°，
∴∠AOB＝∠AOD＝90°，
即AO⊥BD，
又∵OB＝OD，
∴AE是BD的垂直平分线，
∴BE＝DE，
∵∠C＝90°，
∴△CDE和△BCD都是直角三角形，
在Rt△CDE中，EC＝6，CD＝8，
由勾股定理得：DE10，
∴BE＝DE＝10，
∴BC＝BE+CE＝16，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD，
∵OB＝OD，
∴点O是BD的中点，
∴OC是Rt△BCD斜边BD上的中线，
∴OCBD．
故选：A．
3．平行四边形一边的长是10cm，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（　　）
A．4cm，6cm B．6cm，8cm C．8cm，12cm D．20cm，30cm
【分析】平行四边形的这条边和两条对角线的一半构成三角形，应该满足第三边大于两边之差小于两边之和才能构成三角形．
【解答】解：A.2+3＜10，不能构成三角形，故此选项错误；
B.4+3＜10，不能构成三角形，故此选项错误；
C.4+6＝10，不能构成三角形，故此选项错误；
D.10+10＞15，能构成三角形，故此选项正确；
故选：D．
4．如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是线段AB、CD、AC、BD的中点，则四边形EGFH的周长（　　）
A．只与AB、CD的长有关
B．只与AD、BC的长有关
C．只与AC、BD的长有关
D．与四边形ABCD各边的长都有关．
【分析】根据三角形的中位线定理解答即可．
【解答】解：∵点E、F、G、H分别是线段AB、CD、AC、BD的中点，
∴四边形EGFH的周长＝FG+GE+EH+FH，
故选：B．
5．如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A′处，∠1＝∠2＝48°，则∠A′的度数为　108°　 ．
【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出∠ADB＝∠BDG＝∠DBG，由三角形的外角性质求出∠BDG＝∠DBG∠1＝24°，再由三角形内角和定理求出∠A，即可得到结果．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBG，
由折叠可得∠ADB＝∠BDG，
∴∠DBG＝∠BDG，
又∵∠1＝∠BDG+∠DBG＝48°，
∴∠ADB＝∠BDG＝24°，
又∵∠2＝48°，
∴△ABD中，∠A＝108°，
∴∠A'＝∠A＝108°，
故答案为：108°
6．如图，在 ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F处，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为32，则FC的长为　12　 ．
【分析】由折叠的性质可得：EF＝AE，BF＝BA；由已知可得：（DE+DF+EF）+（FC+BF+BC），即可得AD+AB+BC+CD的值；根据平行四边形的对边相等，可得AB+BC的值，通过△FCB的周长为32，即可求得FC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵EF＝AE，BF＝BA，
∴（DE+DF+EF）+（FC+BF+BC）＝DE+DF+AE+FC+BF+BC＝AD+AB+BC+CD＝2（AB+BC）＝8+32＝40，
∴AB+BC＝20，
∵BC+FC+BF＝BC+AB+FC＝32，
∴FC＝12．
故答案为：12．
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别是AB，AC的中点，延长BC至点D，使，连接DM，DN，MN，若AC＝8cm，BC＝6cm，则DN＝　5cm ．
【分析】连接CM，根据三角形中位线定理得到，MN∥BC，证明四边形DCMN是平行四边形，得到DN＝CM，根据直角三角形的性质得到，等量代换即可．
【解答】解：连接CM，如图，
由勾股定理可得：．
∵M、N分别是AB、AC的中点，
∴，MN∥BC，
又，
∴，
∴MN＝CD，
又MN∥BC，
∴四边形DCMN是平行四边形，
∴DN＝CM，
∵∠ACB＝90°，M是AB的中点，
∴，
∴DN＝5cm．
故答案为：5cm．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，DE⊥BC，交AB于点O，BE∥AD，连接AE．以下结论：①四边形ACDE是平行四边形；②OE＝OD；③S四边形ACBE＝3S△ACD．其中正确的结论是 　①②③　 ．（写出所有正确结论的序号）
【分析】证明△BDE≌△DCA（ASA），得DE＝AC，再根据平行四边形的判定和性质进行证明即可．
【解答】解：∵D为BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥BC，∠C＝90°，
∴∠BDE＝∠C＝90°，
∵BE∥AD，
∴∠EBD＝∠ADC，
∴△BDE≌△DCA（ASA），
∴DE＝AC，
∵∠BDE＝∠C＝90°，
∴DE∥AC，
∴四边形ACDE是平行四边形，故①正确；
∵△BDE≌△DCA，
∴BE＝AD，
∵BE∥AD，
∴四边形ADBE是平行四边形，
∴OE＝OD，故②正确；
∵四边形ACBE的面积＝四边形BDAE的面积+△ACD的面积
＝BD DEDC AC
＝BD DEBD DE
BD DE
＝3DC AC
＝3S△ACD，
∴S四边形ACBE＝3S△ACD，故③正确，
综上所述：正确的结论是①②③，
故答案为：①②③．
9．综合与探究
课本再现：
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
定理证明：
（1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（图1）并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点；
求证：DE∥BC，且；
知识应用
（2）①如图2，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
②如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝10，∠ADB＝90°，∠CBD＝30°，点P是对角线BD的中点，点M是AB的中点，点N是DC的中点，请你直接写出△PMN的周长为　　 ，面积为　为：　 ．
【分析】（1）延长DE至F，使EF＝DE，连接CF，如图，先证明△ADE≌△CEF（SAS），再根据全等三角形的性质证明四边形BCFD是平行四边形，得到DF＝BC，DF∥BC，进一步即可得到结论；
（2）①连接BD，根据三角形的中位线定理结合平行四边形的判定定理证明即可；
②先根据三角形的中位线定理证明PM＝PN＝5，∠DPM＝180°﹣∠ADB＝90°，∠DPN＝∠CBD＝30°，进而可得∠MPN＝120°，可得∠PNM＝∠PMN＝30°，作PG⊥MN于点G，如图，再求出PG，MN即可解决问题．
【解答】（1）已知：D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点；
求证：DE∥BC，且；
证明：延长DE至F，使EF＝DE，连接CF，如图1，
∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∵∠AED＝∠CEF，
∴△ADE≌△CEF（SAS），
∴AD＝CF，∠A＝∠ECF，
∴AD∥CF，
∵D是AB的中点，即AD＝BD，
∴BD＝CF，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DF＝BC，DF∥BC，
∵，
∴DE∥BC，且；
（2）①证明：连接BD，如图2，
∵F，G分别是CB，CD边的中点，
∴，
∵E，H分别是AB，AD边的中点，
∴，
∴FG＝EH，FG∥EH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
②解：∵点P是对角线BD的中点，点M是AB的中点，点N是DC的中点，
∴，
∵AD＝BC＝10，∠ADB＝90°，∠CBD＝30°，
∴PM＝PN＝5，∠DPM＝180°﹣∠ADB＝90°，∠DPN＝∠CBD＝30°，
∴∠MPN＝120°，
∴∠PNM＝∠PMN＝30°，
作PG⊥MN于点G，如图3，
则MG＝NG，，
∴，
∴，
∴△PMN的周长为，面积为，
故答案为：；．
10．如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）连接BD交AC于点O，若BD＝14，AE+CF＝EF，求EG的长．
【分析】（1）证△AGE≌△CHF（SAS），得GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，则∠GEF＝∠HFE，得GE∥HF，即可得出结论；
（2）先由平行四边形的性质得出OB＝OD＝7，再证出AE＝OE，可得EG是△ABO的中位线，然后利用中位线定理可得EG的长度．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG＝CH，
在△AGE和△CHF中，
，
∴△AGE≌△CHF（SAS），
∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，
∴∠GEF＝∠HFE，
∴GE∥HF，
又∵GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）解：连接BD交AC于点O，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BD＝14，
∴OB＝OD＝7，
∵AE＝CF，OA＝OC，
∴OE＝OF，
∵AE+CF＝EF，AE＝CF，
∴2AE＝EF＝2OE，
∴AE＝OE，
又∵点G是AB的中点，
∴EG是△ABO的中位线，
∴EGOB．
11．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F为直线BD上的两个动点（点E、F始终在 ABCD的外面），且DEOD，BFOB，连接AE、CE、CF、AF．
（1）求证：四边形AFCE为平行四边形．
（2）若AC＝6，EF＝10，AF＝4，则平行四边形AFCE的周长为 　8+4　 ．
【分析】（1）由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD．再证OE＝OF，即可得出结论；
（2）由勾股定理的逆定理证明△AOF是直角三角形，∠OAF＝90°，再由勾股定理得CF＝2，然后由平行四边形的对边相等即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD．
∵DEOD，BFOB，
∴DE＝BF，
∴OD+DE＝OB+BF，
即OE＝OF，
∴四边形AFCE为平行四边形；
（2）解：如图所示：
由（1）得：OA＝OCAC＝3，OE＝OFEF＝5，
∵AF＝4，
∴OA2+AF2＝OF2，
∴△AOF是直角三角形，∠OAF＝90°，
∴CF2，
∵四边形AFCE是平行四边形，
∴CE＝AF＝4，AE＝CF＝2，
∴平行四边形AFCE的周长＝2（AF+CF）＝8+4，
故答案为：8+4．
12．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝6cm，BC＝10cm，点P从A点出发沿AD方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PO并延长交BC于点Q，设运动时间为t（0＜t＜5）．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？
（2）设四边形OQCD的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使点O在线段AP的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先证明△APO≌△CQO，AP＝CQ＝t，根据AP＝BQ列方程可得结论；
（2）作高线AH和OG，根据三角形的中位线定理和面积法分别求AH和CG的长，根据y＝S△OCD+S△OCQ，代入可得结论；
（3）如图2，在Rt△AEO中，根据勾股定理得：AE2+OE2＝AO2，列方程可得t的值．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠PAO＝∠QCO，
∵∠AOP＝∠COQ，
∴△APO≌△CQO（ASA），
∴AP＝CQ＝2tcm，
∵BC＝10cm，
∴BQ＝（10﹣2t）cm，
∵AP∥BQ，
当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
即2t＝10﹣2t，
t，
∴当t为秒时，四边形ABQP是平行四边形；
（2）如图1，过A作AH⊥BC于H，过O作OG⊥BC于G，
在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝10cm，
∴AC8（cm），
∴COAC＝4cm，
S△ABC，
∴6×8＝10AH，
AHcm，
∵AH∥OG，OA＝OC，
∴GH＝CG，
∴OGAHcm，
∴y＝S△OCD+S△OCQ，
∴y4×62tt+12；
（3）存在，理由如下：
如图2，
∵OE是AP的垂直平分线，
∴AEAP2t＝t，∠AEO＝90°，
由（2）知：AO＝4，OE，
由勾股定理得：AE2+OE2＝AO2，
t2+（）2＝42，
∴t或（舍），
∴当t秒时，使点O在线段AP的垂直平分线上．中小学教育资源及组卷应用平台
20专题训练三 平行四边形
一、例题与变式
1.构造平行四边解题
例1【一题多解】如图，AD、BC垂直相交于点O，AB∥CD，又BC＝8，AD＝6，求：AB+CD的长．
变式1 【课本再现】已知：如图1，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．求证：DE∥BC，且．
（1）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
方法一：如图2，过点C作AB的平行线交DE的延长线于点F．
方法二：如图3，过点E作AB的平行线交BC于点N，过点A作BC的平行线交NE的延长线于点M．
【知识应用】
（2）如图4，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD≠BC，E，F分别为AB，CD的中点，判断线段EF，AD，BC之间的数量关系，并说明理由．
2.平行四边形与三角形的中位线
例2 如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH．
（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（2）若CB＝CE，∠EBC＝75°，∠DCE＝10°，求∠DAB的度数．
变式2 在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，点E、F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE，DF、AE，EF，DE与AF交于点O．
（1）求证：AF与DE互相平分；
（2）若AB＝4，BC＝6．请直接写出DE的长为 　 　 ．
3.平行四边形的性质与判定综合
例3 如图，已知平行四边形ABCD，点M，N分别在边AD和边BC上，点E，F在线段BD上，且AM＝CN，DF＝BE．求证：
（1）∠DFM＝∠BEN；
（2）四边形MENF是平行四边形．
变式3 如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，DE，BF与对角线AC分别交于点M，N，连接MF，NE．
（1）求证：DE∥BF；
（2）判断四边形MENF是何特殊的四边形？并对结论给予证明．
二、巩固练习
1．如图，E是四边形ABCD的边BC延长线上的一点，且AB∥CD，则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．∠D＝∠5 B．∠3＝∠4 C．∠1＝∠2 D．∠B＝∠D
2．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的角平分线分别交BD，BC于点O，E，连接C，若EC＝6，CD＝8，则OC的长为（　　）
A．4 B．4 C．2 D．8
3．平行四边形一边的长是10cm，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（　　）
A．4cm，6cm B．6cm，8cm C．8cm，12cm D．20cm，30cm
4．如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是线段AB、CD、AC、BD的中点，则四边形EGFH的周长（　　）
A．只与AB、CD的长有关
B．只与AD、BC的长有关
C．只与AC、BD的长有关
D．与四边形ABCD各边的长都有关．
5．如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A′处，∠1＝∠2＝48°，则∠A′的度数为　 　 ．
6．如图，在 ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F处，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为32，则FC的长为　 　 ．
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别是AB，AC的中点，延长BC至点D，使，连接DM，DN，MN，若AC＝8cm，BC＝6cm，则DN＝　 　 ．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，DE⊥BC，交AB于点O，BE∥AD，连接AE．以下结论：①四边形ACDE是平行四边形；②OE＝OD；③S四边形ACBE＝3S△ACD．其中正确的结论是 　 　 ．（写出所有正确结论的序号）
9．综合与探究
课本再现：
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
定理证明：
（1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（图1）并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点；
求证：DE∥BC，且；
知识应用
（2）①如图2，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
②如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝10，∠ADB＝90°，∠CBD＝30°，点P是对角线BD的中点，点M是AB的中点，点N是DC的中点，请你直接写出△PMN的周长为　 　 ，面积为　 　 ．
10．如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）连接BD交AC于点O，若BD＝14，AE+CF＝EF，求EG的长．
11．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F为直线BD上的两个动点（点E、F始终在 ABCD的外面），且DEOD，BFOB，连接AE、CE、CF、AF．
（1）求证：四边形AFCE为平行四边形．
（2）若AC＝6，EF＝10，AF＝4，则平行四边形AFCE的周长为 　 　 ．
12．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝6cm，BC＝10cm，点P从A点出发沿AD方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PO并延长交BC于点Q，设运动时间为t（0＜t＜5）．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？
（2）设四边形OQCD的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使点O在线段AP的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

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