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2025~2026学年数学八年级下册期末综合培优卷北师大版（2026新版）解析版
一、单选题
1．已知，下列式子中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】不等式的性质
【分析】利用不等式性质逐一判断即可得到错误选项．
【详解】解：根据不等式的基本性质推导：
∵ ，
∴ 不等式两边同时加减同一个数，不等号方向不变，可得，，因此A错误，B正确；
不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，可得，因此C正确；
不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变，可得，因此D正确．
2．函数的自变量x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.95
【知识点】分式有意义的条件、求自变量的取值范围、求一元一次不等式的解集
【详解】解：∵是分式，分式有意义的条件是分母不为0，
∴，
解得．
3．把分式（，）中的分子、分母的a、b同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的9倍
C．缩小为原来的 D．不改变
【答案】D
【难度】0.95
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【详解】解：将、同时扩大为原来的3倍后，得到新分式，
所以新分式的值与原分式相等，即分式的值不改变．
4．下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】判断是否是因式分解
【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形就是因式分解，据此逐项判断即可．
【详解】解：、选项中是整式乘法运算，结果是和的形式，不是因式分解，故不符合题意；
、选项中左边是单项式，不是多项式，不是因式分解，故不符合题意；
、选项等式右边不是积的形式，是差的形式，不是因式分解，故不符合题意；
、选项中，将多项式化为两个整式的积，是因式分解，符合题意．
5．如果 ，那么的值为（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】平方差公式分解因式
【分析】利用平方差公式解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
6．如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，交射线于点A，交射线于点，再分别以为圆心，长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、作线段(尺规作图)
【分析】由作图可知，然后根据等边对等角以及三角形外角的性质即可解答．
【详解】解：由作图可知，
∴，
∵，是的外角，
∴，
∴．
7．如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（ ）
A．18 B． C．9 D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】三线合一、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是解题关键．连接，根据等腰直角三角形的性质以及得出，将四边形的面积转化为三角形的面积再进行求解．
【详解】解：连接，如图：
∵，，点D是中点，
∴
∴，
∴
又∵
∴
故选：C
8．中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别
【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可．
【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，符合题意；
故选D．
9．如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，过点D作交的延长线于点F，证明，得到，由勾股定理可得，，，则，整理后即可得到答案．
【详解】解：过点D作交的延长线于点F，
∵的垂线交于点E，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴
∴，
由勾股定理可得，，
，
∴，
∴
∴
即，解得，
∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是，
故选：C
10．已知直线，，的图象如图所示，若无论x取何值，y总取、、中的最小值，则y的最大值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.15
【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】根据无论x取何值，y总取、、中的最小值，y最大值即求三个函数的公共部分的最大值．
【详解】解：如图

由于y总取、、中的最小值，所以的图象如图所示，分别求出、、交点的坐标，，，
当时，；
当时，；
当时，．
所以y最大值为．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数与一次不等式的综合应用，画出函数的图象根据数形结合解题，数形结合是解题的关键．
二、填空题
11．如图，，若，，则的度数为______．
【答案】/100度
【难度】0.85
【知识点】全等三角形的性质、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可．
【详解】解：由，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
12．关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是______．

【答案】/
【难度】0.85
【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：由数轴可知，两个不等式的解集分别为，，
∴不等式组的解集为，
故答案为：．
13．我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程（单位：步）关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点的纵坐标是________．

【答案】
【难度】0.65
【知识点】分式方程的行程问题、从函数的图象获取信息
【分析】设图象交点的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的．根据速度关系列出方程，解方程并检验即可得到答案．
【详解】解：设图象交点的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的．
∴，
解得，
经检验是方程的根且符合题意，
∴两图象交点的纵坐标是．
故答案为：
【点睛】此题考查了从函数图象获取信息、列分式方程解决实际问题，数形结合和准确计算是解题的关键．
14．高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数．例如：；．则下列结论：①；②；③若，则的取值范围是；④当时，的值为0、1、2．其中正确的结论有________（写出所有正确结论的序号）．
【答案】①
【难度】0.4
【知识点】新定义下的实数运算、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了一元一次不等式组和有理数的混合运算、新定义，解题的关键是明确表示不超过的最大整数．
根据表示不超过的最大整数来进行求解．
【详解】解：①，故此项正确；
②错误，例如：，，；
③若，则，所以，故此项错误；
④当时，，，
分类讨论：
当时，，，
，或，或；
当时，，，
，或，或；
∴或，故此项错误．
综上所述，错误的有②③④．
故答案为：①．
15．如图，，射线交线段于点于点于点平分交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点．若将点沿翻折，点刚好落在点处，此时，连接，则的面积为_______．
【答案】
【难度】0.4
【知识点】折叠问题、用勾股定理解三角形、根据等角对等边证明边相等、全等三角形综合问题
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、翻折性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，利用等角对等边证明是解答的关键．先利用同角的余角相等得到，再证明得到，，然后证明，得到，进而利用等角对等边得到，设，，结合翻折性质得到，，，然后利用勾股定理求得，最后由求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵平分交的延长线于点，
∴，又，，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
∵，
∴设，，则，
∵将点沿翻折，点刚好落在点处，
∴，则,，
在中，，，，
由勾股定理得，则，
解得，
∴
，
即的面积为．
故答案为：．
三、解答题
16．解不等式组：
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求不等式组的解集
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为．
17．用简便方法计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.85
【知识点】因式分解在有理数简算中的应用
【分析】本题考查利用完全平方公式因式分解进行简便计算，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．
（1）利用完全平方公式进行因式分解后即可求解；
（2）利用完全平方公式进行因式分解后即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
18．对下列式子进行因式分解．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.94
【知识点】提公因式法分解因式
【分析】本题考查因式分解，掌握提公因式法分解因式是解题的关键：
（1）提取公因式分解因式即可；
（2）先将式子变形，再提取公因式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
19．先化简，再从，，，中选取一个适合的数代入求值．
【答案】，时，原式，时，原式.
【难度】0.85
【知识点】分式化简求值、分式有意义的条件
【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的加减运算，再计算分式的除法运算，再结合分式有意义的条件代入计算即可.
【详解】解：
且
∴当时，原式；
当时，原式.
20．如图，四边形是平行四边形，以为直径的圆交于点．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若点是的中点，连接．求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)作图见详解
(2)证明过程见详解
【难度】0.85
【知识点】圆的基本概念辨析、作垂线(尺规作图)、利用平行四边形性质和判定证明
【分析】本题主要考查圆的基本性质，尺规作垂线，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识是关键．
（1）运用尺规作直径的垂直平分线即可；
（2）根据平行四边形的性质结合题意得到，，即，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证．
【详解】（1）解：如图所示，
∵是直径，
∴运用尺规作直径的垂直平分线交于点，
∴点即为所求点的位置；
（2）证明：如图所示，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点分别是的中点，
∴，，即，
∴四边形是平行四边形．
21．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴相交于点，与直线相交于点．
(1)填空：
①线段的长度为 ；
②方程组的解为 ；
(2)结合图形直接写出的解集；
(3)求的面积．
【答案】(1)①；②
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】用勾股定理解三角形、求直线围成的图形面积、根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】（1）①解方程得到，，得，根据勾股定理得，代入数据计算即可；
②根据一次函数与二元一次方程组的关系即可得到结论；
（2）根据图形可知，两函数图象的交点，再结合图形可得结论；
（3）利用三角形面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：①在中，
当时，；当时，，
∴，，
∴，
∴，
∴线段的长度为，
故答案为：；
②∵直线与直线交于点，
∴方程组的解为，
故答案为：；
（2）∵直线与直线交于点，直线与轴交于点，
当时，直线的图象在直线的下方且在轴的上方，
∴的解集为；
（3）∵，，，
∴，
∴，
∴的面积为．
【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，勾股定理，一次函数与二元一次方程组的关系，利用图象解不等式，三角形的面积等知识点，掌握一次函数的图象与性质，利用图象解不等式及求三角形的面积是解题的关键．
22．如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在正方形网格的格点上，其中点的坐标为．
(1)写出点，的坐标；
(2)将三角形先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到三角形，分别写出三角形的三个顶点的坐标；
(3)求三角形的面积．
【答案】(1)，
(2)，，
(3)
【难度】0.65
【知识点】已知图形的平移，求点的坐标、利用网格求三角形面积、写出直角坐标系中点的坐标
【分析】本题考查作图-平移变换，利用割补法求三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
（1）由图可直接得出答案；
（2）根据平移的性质可直接得出答案；
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【详解】（1）解：根据图形可得、；
（2）解：、、三点经过平移后，
坐标变为，，，
平移后的三角形在图中表示如下：
（3）解：三角形的面积为：．
23．在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．

(1)如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点；
(2)如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
【难度】0.65
【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据旋转的性质说明线段或角相等、与三角形中位线有关的证明
【分析】（1）由旋转的性质得，，利用三角形外角的性质求出，可得，等量代换得到即可；
（2）延长到H使，连接，，可得是的中位线，然后求出，设，，求出，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一证明即可．
【详解】（1）证明：由旋转的性质得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即D是的中点；
（2）；
证明：如图2，延长到H使，连接，，
∵，
∴是的中位线，
∴，，
由旋转的性质得：，，
∴，
∵，
∴，是等腰三角形，
∴，，
设，，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，即．

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
24．我们把多项式 和 叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式．
例如：求多项式 的最小值，由 可知，当时，多项式 有最小值，最小值是-8．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：________．
(2)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值．
(3)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值．
【答案】(1)
(2)当，时，原式有最小值，最小值为5
(3)当时，原式有最小值，最小值为23．
【难度】0.4
【知识点】完全平方公式分解因式、综合运用公式法分解因式
【分析】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质．本题的解答关键在于熟练的掌握因式分解的方法．
（1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解因式即可；
（2）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质解答；
（3）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质解答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
∵，，
∴，
∴当，时，有最小值，最小值为5．
即，时，原式有最小值，最小值为5．
（3）解：
，
∵，
∴，
∴当时，有最小值，即当时，原式有最小值，最小值为23．
25．在等腰中，，点D在的延长线上，
(1)如图1，线段上有一点G，连接并延长至点E，使得，连接和，若，，，求的长；
(2)如图2，线段上有一点G，连接并延长至点E，连接和，点F在的延长线上，连接，若，，，求证：；
(3)如图3，点P是线段上一动点，已知，，连接，当取最小值时，直接写出与的面积之比．
【答案】(1)
(2)见详解
(3)
【难度】0.4
【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形、全等三角形综合问题
【分析】（1）由题意易得，则可证，然后可得，，进而根据勾股定理可进行求解；
（2）在上截取，由题意易得，，然后可知，则有，进而可根据得到，则可证，最后问题可求证；
（3）作，分别过点P、C作，垂足分别为Q、M，要使的值最小，则需满足的值最小，根据点到直线，垂线段最短，可知：当点H、P、Q三点共线时，的值即为最小，最小值为的长；然后根据含30度直角三角形的性质可知，，进而问题可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：如图，在上截取，
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
作，分别过点P、C作，垂足分别为Q、M，如图所示：
∴，
∴，
要使的值最小，则需满足的值最小，根据点到直线，垂线段最短，可知：当点H、P、Q三点共线时，的值即为最小，最小值为的长；
∵，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、勾股定理及含30度直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、勾股定理及含30度直角三角形的性质是解题的关键．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2025~2026学年数学八年级下册期末综合培优卷北师大版（2026新版）原卷版
一、单选题
1．（25-26八年级下·四川成都·期中改编）已知，下列式子中错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．（原创）函数的自变量x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（原创精品）把分式（，）中的分子、分母的a、b同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的9倍 C．缩小为原来的 D．不改变
4．（原创）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中改编）如果 ，那么的值为（ ）
A． B． C．4 D．2
6．（原创精品）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，交射线于点A，交射线于点，再分别以为圆心，长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（原创精品）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（ ）
A．18 B． C．9 D．
第6题图 第7题图 第9题图 第10题图
8．（原创）中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·浙江·中考真题改编）如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
10．（原创精品）已知直线，，的图象如图所示，若无论x取何值，y总取、、中的最小值，则y的最大值为（　　） A． B． C． D．
二、填空题
11．（2024·四川成都·中考真题改编）如图，，若，，则的度数为______．
12．（2024·广东·中考真题改编）关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是______．
13．（原创精品）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程（单位：步）关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点的纵坐标是________．
14．（原创精品）高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数．例如：；．则下列结论：①；②；③若，则的取值范围是；④当时，的值为0、1、2．其中正确的结论有________（写出所有正确结论的序号）．
15．（原创）如图，，射线交线段于点于点于点平分交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点．若将点沿翻折，点刚好落在点处，此时，连接，则的面积为_______．
第11题图 第12题图 第13题图 第15题图
三、解答题
16．（原创）解不等式组：
17．（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测改编）用简便方法计算：
(1)； (2)．
18．（原创）对下列式子进行因式分解．
(1)； (2)．
19．（原创精品）先化简，再从，，，中选取一个适合的数代入求值．
20．（2025·河南·中考真题改编）如图，四边形是平行四边形，以为直径的圆交于点．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若点是的中点，连接．求证：四边形是平行四边形．
21．（原创精品）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴相交于点，与直线相交于点．
(1)填空：
①线段的长度为 ；
②方程组的解为 ；
(2)结合图形直接写出的解集；
(3)求的面积．
22．（原创精品）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在正方形网格的格点上，其中点的坐标为．
(1)写出点，的坐标；
(2)将三角形先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到三角形，分别写出三角形的三个顶点的坐标；
(3)求三角形的面积．
23．（原创精品）在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．

(1)如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点；
(2)如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明．
24．（原创精品）我们把多项式 和 叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式．
例如：求多项式 的最小值，由 可知，当时，多项式 有最小值，最小值是-8．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：________．
(2)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值．
(3)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值．
25．（原创精品）在等腰中，，点D在的延长线上，
(1)如图1，线段上有一点G，连接并延长至点E，使得，连接和，若，，，求的长；
(2)如图2，线段上有一点G，连接并延长至点E，连接和，点F在的延长线上，连接，若，，，求证：；
(3)如图3，点P是线段上一动点，已知，，连接，当取最小值时，直接写出与的面积之比．
试卷第1页，共3页
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