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广东省深圳市南山为明学校2025-2026学年第二学期九年级中考第三次学情自测数学试卷
一、单选题
1．的倒数等于（ ）
A． B． C． D．5
2．生活中，我们常用的五号电池整体可以近似看作一个圆柱体叠上一个圆柱体．如图，这是五号电池的示意图，则该电池的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在每个小方格均为小正方形的网格中，点都在格点上，则的正切值是（ ）

A． B． C． D．
6．皮影戏是中国民间古老的传统艺术，如图，在灯光的照射下，幕布上呈现出“人物”的影子．若将光源看作位似中心，以光源为原点建立直角坐标系，皮影道具（原图）上的一点对应到幕布（像）上的对应点为，则道具上的另一点对应到幕布上的点为（ ）
A． B． C． D．
7．匾额是巴渝文化的重要标识，它既传递吉祥祈福的美好愿景，又承载忠孝节义、崇文重教的传统价值观，是巴渝民俗文化的活化石”．如图，一块匾额长，宽，现在准备在它的四周加一个外框（外框宽度相同，外框与匾额衔接处忽略不计），制成后总面积为．设外框的宽度为，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知：菱形中，，，与交于点，点为上一点，以为对称轴，折叠，使点的对应点恰好落在边上，则的长为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
9．分解因式：______．
10．方程的两个根为、，若，则的值为______．
11．小诚和爸爸搭乘长途汽车回老家过年，在小程序上购票时，系统自动将两人分配到同一排（如图是长途汽车座位示意图），则小诚和爸爸分配的座位恰好是邻座（过道两侧也视为邻座）的概率是______．
12．如图，在平面直角坐标系中，，将沿轴向上平移3个单位至，连接，若反比例函数的图象恰好过点与的中点，则______．

13．如图，为等腰三角形，，，以为斜边作Rt△ADB，，，连接，交于点E，则______．
三、解答题
14．计算：
15．先化简，再从中取一个数代入求值．
16．某校生物老师组织学生开展“土壤的酸碱度对植物生长的影响”实验探究．学生分别向六个培养盆装入不同酸碱度（值）的土壤，在其他条件均相同的情况下，在每个培养盆中种植8株蒜苗．一段时间后测量蒜苗的高度（单位：），并对所得的相关数据进行整理、描述、分析．下面给出了部分信息：
a．不同酸碱度（值）的土壤中蒜苗高度的平均数和中位数的条形统计图（不完整）如下：
b．酸碱度（值）为6和6.3的土壤中蒜苗高度的数据如表：
土壤的酸碱度（值） 蒜苗高度 平均数 中位数
6 13.6 12.8 14 12.8 12.9 12.7 13.3 13.5 13.2 n
6.3 12.8 11.9 11.7 12.5 11.3 13.3 12.3 12.6 m 12.4
c．不同酸碱度（值）的土壤中蒜苗高度的方差如表：
值 5 6 6.3 6.8 8 10
方差 0.381 0.195 0.3625 0.364 0.425 0.4332
根据以上信息，回答下列问题：
(1)请直接写出m，n的值，并补全条形统计图．
(2)根据以上实验数据，该校计划在酸碱度（值）为6的试验田中种植120株蒜苗（其他条件与培养盆的条件相同），经过相同时间后测量蒜苗的高度，请估计这块试验田中高度不低于的蒜苗有多少株．
(3)请你从以上实验数据的平均数、中位数、方差这三个统计量中选择两个分析土壤的酸碱度（值）对蒜苗生长高度的影响．
17．人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近来年得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？
(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
18．如图，为的直径，为圆上两点，．
(1)尺规作图：作于（保留作图痕迹，不用写作图步骤）；
(2)求证：是的切线；
(3)若，的值．
19．（1）如图1，在正方形中，E、F分别为、边上的点且，延长至G使得，延长交于点H，求证：；


（2）如图2，在矩形中，，，将绕点B顺时针旋转至，且点E落在上，求的值；
（3）如图3，在四边形中，，，，，连接，，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值．
20．抛物线与轴交于原点和点，点为抛物线的顶点，点，为抛物线上不重合的两个点．
(1)求的值；
(2)试判断是否存在实数使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由；
(3)记点，两点之间的部分（包括，两点）为图象，点在图象上，设图象的最高点与最低点的纵坐标之差为．
①求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
②图象上的最低点关于抛物线对称轴的对称点记为点，再以最低点与点的连线为边向其上方作正方形，点到正方形边的最小距离记为．当点在该正方形内部，点在该正方形外部，且时，直接写出的值．
参考答案
1．A
【详解】解：∵ ，
∴的倒数是．
2．B
【详解】A: 内部的小圆是虚线，不符合“能看到”的特征，错误；
B: 由一个大圆和一个中心的实线小圆组成，完全符合俯视图的特征，正确；
C: 只有一个大圆，没有体现顶部的凸起部分，错误；
D: 这是电池的主视图（正视图），不是俯视图，错误．
3．C
【详解】解：A ∵与不是同类项，不能合并，
∴ A错误，不符合题意；
B ∵，
∴ B错误，不符合题意；
C ∵，计算正确，
∴ C正确，符合题意；
D ∵，
∴ D错误，不符合题意．
4．A
【详解】解：如下图所示，
，
，
，
，
，，
，
．
故选：A．
5．A
【详解】根据勾股定理计算得
，
，
，
，
，
，
故选A．
6．D
【详解】解：∵皮影道具（原图）上的一点对应到幕布（像）上的对应点为，
∴位似比为，
∴道具上的另一点对应到幕布上的点为．
7．C
【详解】解：∵ 匾额原长为 ，宽为 ，且在四周加宽度为的外框，
∴制成后的总长度为，总宽度为 ，
∵制成后的总面积为，
∴根据矩形面积公式可列方程：．
8．A
【详解】是菱形，
，
，
，
由拆叠可知，
，，
，
，
，
，
故选A．
9．
【详解】解：．
故答案为．
10．
【详解】解：对于一元二次方程，二次项系数，一次项系数，常数项，
根据根与系数的关系可得：，
∵，
∴，
解得：，
又根据根与系数的关系可得，
将代入得．
11．
【详解】解：画出树状图如下：
一共有种可能的情况，小诚和爸爸分配的座位恰好是邻座的情况有种，
∴小诚和爸爸分配的座位恰好是邻座（过道两侧也视为邻座）的概率是：，
故答案为：
12．
【详解】解：如图，延长交x轴于点E，

∵将沿轴向上平移3个单位至，
∴，
∴四边形是平行四边形，点C的坐标为，
∵，
∴四边形是菱形，
∴轴，，
即轴，
设点A的坐标为，则点，，
∵点D为的中点，
∴点D的坐标为，
∵反比例函数的图象恰好过点与的中点，
∴，
解得：，
∴（负值舍去），
∴点A的坐标为，
把点代入得：．
故答案为：
13．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
如图，过作于，过作于，过作于，
∴，，，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：
14．
【详解】解：原式
．
15．，当时，原式．
【详解】解：
，
由题意：、、，
故a取1，当时，
原式．
16．(1)；；见解析；
(2)这块试验田中高度不低于的蒜苗有60株；
(3)见解析；
【详解】（1）解：由题意得，；
将值为6的8个数据从小到大排列为：12.7，12.8，12.8，12.9，13.3，13.5，13.6，14，
∴中位数 ，
补全条形统计图如下：
（2）解：根据以上实验数据，该校计划在酸碱度（值）为6的试验田中种植120株蒜苗（其他条件与培养盆的条件相同），经过相同时间后测量蒜苗的高度，则：
根据实验数据可得，当酸碱度（值）为6时，蒜苗高度不低于的占比为，
∴（株）
答：这块试验田中高度不低于的蒜苗有60株；
（3）解：①从平均数角度分析：土壤的酸碱度（值）为6时，蒜苗生长高度的平均数最高，说明该酸碱度下蒜苗的整体生长水平最优；当值偏离6（无论升高或降低），平均数均呈下降趋势；
②从中位数角度分析：土壤的酸碱度（值）为6时，蒜苗生长高度的中位数最高，与平均数趋势一致，进一步验证该酸碱度下蒜苗的中等生长高度也最优；
③从方差角度分析：土壤的酸碱度（值）为6时方差最小，说明该酸碱度下蒜苗个体间的高度差异最小，生长状态最稳定；土壤的酸碱度（值）为10时方差最大，说明该酸碱度下蒜苗个体生长差异最大，生长状态最不稳定．
17．(1)A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元
(2)购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元
【详解】（1）解：设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为元．根据题意得：
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，
此时；
答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元
（2）解：设购买A型机器人m台，则购买B型机器人台．
∵，
解得：，
设共花费w元，则
，
∵
∴w随m的减小而减小
∴当时，w最小，最小值为11200，
此时，
答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【详解】（1）解：如图所示：以为圆心，任意长为半径画弧交或的延长线于，在分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交的延长线于，
则即为所求，
；
（2）证明：连接，
，
则，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（3）解：，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，，
，
解得，（不合题意舍去），
，
，
，
，即，
，
，
．
19．（1）详见解析；（2）；（3）或
【详解】（1）证明：∵正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．

（2）解：连接，如图所示：

∵在矩形中，，，
∴在中，，
∵绕点B逆时针旋转至，
∴，，，
∴，
∴，
过点B作，垂足为H，
则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：①当时，作交于点H，

则，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
将绕点B顺时针旋转至，连接,
则，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴；
②当时，作交于点H，以为底作等腰，使，连接，如图所示：

则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上分析可知，的值为或．
20．(1)
(2)不存在，理由见解析
(3)①；②或
【详解】（1）解：∵ 抛物线过点，
∴ ，
∴ ．
（2）解：由(1)得抛物线解析式为，
∴ ，，
∴ ，
令，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 方程无实数根，
∴ 不存在实数使得．
（3）① 解：∵ ，
∴ 顶点，对称轴为直线，
∵ 点在图象上，
∴ ，
∴ ，
∵ 抛物线开口向下，
∴ 图象的最高点为，，
当时，，最低点在点处，
，
∴ ，
当时，，最低点在点处，
，
∴ ，
∴ ．
② 解：当时，最低点为，对称点，
以为边向上作正方形，此时在正方形上方，
点到正方形各边距离中，到上边的距离最小，
，
令，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当时，最低点为，对称点，
以为边向上作正方形，此时在正方形上方，
点到正方形各边距离中，到上边的距离最小，
，
令，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
综上，或．

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