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2026年河南平顶山市叶县第二教研区二模数学试题
一、单选题
1．如果，下列成立的是（　　）
A． B． C． D．
2．人民日报评论，河南许昌商超胖东来坚持关注顾客需求、尊重员工价值，把事做到极致，春节假期仅营业4天，市区各店客流量便达224万人次，真正赢得消费者信赖和市场认可．将数据“224万”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．跨学科试题·语文诸葛亮的《诫子书》中有“非学无以广才”，将这六个字写在一个正方体的六个面上，如图是该正方体的一种表面展开图，则原正方体中与“非”字所在的面相对的面上的汉字是（ ）
A．学 B．广 C．才 D．以
4．下列运算正确的是( )
A． B．
C． D．
5．如图，直线a，b相交于点A，B为直线b上一点．按下列步骤画图：①分别以点A，B为圆心，相同的长为半径画弧，两弧分别交直线a，b于点C，D，E；②以点E为圆心，的长为半径画弧交前弧于点F；③作射线．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，将沿边向右平移得到，若，的周长为，则的周长为（ ）
A．4.5 B．5 C．5.5 D．10
7．关于x的一元二次方程 根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．有两个相等的实数根
8．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点A、C的坐标分别为，将风车绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，D是线段上的一点，是边上的高，已知则能大致表示y与x之间函数关系的图象为（ ）
A．B．C． D．
二、填空题
11．使分式有意义的x的取值范围是__________．
12．不等式组的解集是_____．
13．开封举办第四十二届菊花文化节，主会场龙亭公园的4幅由菊花组成的宋代名画《听琴图》《瑞鹤图》《枇杷孔雀图》《千里江山图》尤为别致．某工作人员为了解游客对这4幅名画的喜爱程度，随机对50名游客在这个景点驻足停留的时间进行了统计，并形成如下统计图，其中有两个数据被遮盖，则关于这组数据的统计量中，与被遮盖的数据无关的是______．（填“平均数”“中位数”或“众数”）．
14．如图，与菱形的边相切于点，点，在上．若，则图中阴影部分的面积为______．
15．如图，在矩形纸片中，，点E，F分别在矩形的边上，将矩形纸片沿所在直线折叠，使点B落在点H处，点D 落在点G处，点C，H，G恰好在同一直线上．若点F为的三等分点，则的长为______．
三、解答题
16．计算、化简：
(1)计算：；
(2)化简：．
17．某校为了解九年级同学的体育考试准备情况，随机抽查该年级若干名学生进行体育模拟测试，根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图．请根据图中信息回答下面的问题：
（1）请补全条形统计图：
（2）所调查学生测试成绩的平均数为______，中位数为______，众数为_____；
（3）若该校九年级学生共有1500人，请估计该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有多少人？
18．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边BC在x轴上，点A坐标为，点M是AB的中点，反比例函数的图象经过点M，交CD于点N．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若反比例函数图象上的一个动点在正方形ABCD的内部（含边界），求面积的最小值．
19．贾鲁河发源于郑州西南山区，郑州段长137公里，流域面积2750平方公里，数学实践小组的同学在学习过锐角三角函数之后，尝试用所学的知识来测量贾鲁河的宽度．如图，小亮选取了一段两岸相互平行的河段，然后站在河的南岸A点处观察，发现在其北偏东方向的北岸岸边有一棵大树B，接着小亮沿着河边向东前进9.4米到达C处，此时这棵树恰好在其东北方向，请根据以上信息计算该河段贾鲁河的宽度，（结果保留整数．参考数据：， ，）
20．如图，相距的两个城镇A，B之间有一个圆形的湖泊，它的圆心O恰为的中点，它的半径为．现要修建一条连接两城镇的公路，经过论证，认为为最短路线（其中均与相切）．设与的一个交点为E（点E在点O左侧）．
(1)求证：点C是的中点；
(2)连接，求四边形的面积．
21．某学校准备购进甲、乙两种品牌足球，甲种品牌足球每个的价格比乙种品牌足球每个的价格多20元．购进1个甲种品牌足球和2个乙种品牌足球共需260元．
(1)甲种品牌足球和乙种品牌足球每个的价格各是多少元？
(2)该学校计划用不超过1800元的资金购进甲种品牌足球和乙种品牌足球共20个，其中甲种品牌足球的数量不低于8个，该学校购买两种品牌足球的最低费用是多少元？
22．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)当，且 时，y有最大值32，求n的值；
(2)已知和是抛物线上的两点．若对于 ，都有，求a的取值范围．
23．综合与实践：数学实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展活动探究．
(1)【特例感知】如图1，将矩形沿折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处，折痕分别与，交于点E，F，连接，．猜想：四边形的形状是______；和的位置关系是_____．
(2)【数学思考】如图2，将矩形纸片沿折叠，使点B落在点E处，连接并延长，交的延长线于点F，猜想四边形的形状，并说明理由．
(3)【拓展探究】在矩形纸片中，，沿着翻折，使点B落在点E处，连接，当是等腰三角形时，直接写出的长．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C D C B B C B C
1．C
根据绝对值的意义，即可求解．
【详解】解：∵
∴．
故选：C．
2．C
【详解】解：224万．
3．C
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“学”与“以”是相对面，“无”与“广”是相对面，“非”与“才”是相对面，
故选：C．
4．D
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选∶D
5．C
【详解】解：由作图可知，
．
6．B
根据题意四边形为平行四边形，则，进而得到，再根据相似比求出周长即可．
【详解】解：由平移可知四边形为平行四边形，
，，
，
，
又的周长为，
则的周长为．
7．B
【详解】解：对于一元二次方程，可知，，，
，
∴方程有两个不相等的实数根．
8．C
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：将“立春”、“立夏”、“秋分”、“大暑”的图片分别记为A、B、C、D．根据题意，列表如下：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“立春”和“立夏”的结果有2种，
故其概率为：．
故选：C．
9．B
【详解】解：∵平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵将风车绕点O逆时针旋转，每次旋转，，
∴12次为一个周期，
∵，
∴第2025次旋转结束相当于第9次旋转结束，
∵，
∴第9次逆时针旋转了，则相当于顺时针旋转了，此时点对应点记为点，
过点分别作轴的垂线，垂足为点，则，
由旋转得，
∴，
∴
∴，
∴，
∴则第2025次旋转结束时，点B的坐标为，
故选：B．
10．C
根据等面积法可得，即，再确定的范围得到图象即可．
【详解】解：由是边上的高，是边上的高，可知，
∴，即，
∴是关于的反比例函数，
当点与点重合时的长最小，最小值为，
当点与点重合时的长最大，最大值为，
∴．
11．
本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义，则分母不为0是解题的关键．
根据掌握分式有意义，则分母不为0即可求解．
【详解】解：由题意得，，
解得：，
故答案为：．
12．
先分别求解不等式组中两个一元一次不等式的解集，再根据一元一次不等式组解集的确定方法得到最终结果．
【详解】解：解不等式，不等式两边同乘，不等号方向改变，得；
解不等式，移项得，
合并同类项得，
系数化为得；
根据同大取大，可得原不等式组的解集为．
13．中位数
【详解】解：这组数据的中位数为从小到大第、位的平均值，
又，则这组数据的中位数为；
被遮盖的两组数据共，
又，故众数有可能为，也有可能是被遮盖的两组数据，
综上，与被遮盖的数据无关的是中位数．
14．
如图：连接，再证明，推出推出点O在菱形的对角线上，再根据求解即可．
【详解】解：如图：连接，
∵四边形是菱形，
∴，，
在和中，
，
∴，
，
∴点O在菱形的对角线上，
，
∵，
，
∵是切线，
∴，
∴，
∵，
∴°，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
，
．
故答案为：．
15．2或
【详解】由题意，可知需分以下两种情况．①当时，
过点作交的延长线于点，连接，如图1所示，
则四边形为矩形，
∴ ．
由折叠的性质，可知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，解得，
∴．
②当时，过点作交的延长线于点，连接，如图2所示，
则四边形为矩形，
∴，
由折叠的性质，可知，
∴．
∵，
∴，
设，则，
∵ ，
∴，解得，
∴，
综上所述，的长为2或．
16．(1)
(2)
（1）化简平方，三角函数值，计算即可；
（2）先把括号里通分化简，再把除法转化为乘法，然后把分子、分母分解因式约分化简即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
17．1）详见解答；（2）8.56，9，10．（3）1140人．
【解析】（1）根据条形统计图和扇形统计图，先算出9分学生的人数，再补全条形统计图；
（2）利用平均数、中位数、众数的求法，直接求值即可；
（3）先计算抽样学生中成绩不低于8分的百分比，再估计全部九年级学生的成绩情况．
【详解】解：（1）抽样学生中成绩为8分的有10人，占抽样学生数的20%，
所以本次抽样人数为：10÷20%=50（人），
因为成绩9分的人数占抽样人数的24%，
所以抽样学生中成绩为9分的有：50×24%=12（人）．
补全条形统计图如下：
（2）所调查学生测试成绩的平均数为：
；
把该组数据按从小到大的顺序排列后，第24、25个数都是9，
所以该组数据的中位数为：9；
该组数据中，10分出现的次数最多，
所以众数为：10．
故答案为：8.56，9，10．
（3）由扇形图知，抽样学生中成绩不少于8分的占：
20%+24%+32%=76%，
所以该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有：
1500×76%=1140（人）．
答：该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有1140人．
18．(1)y=
(2)2
【详解】（1）∵点A坐标为（2，4），
∴OB=2，AB=4，
∵M是AB的中点，
∴点M的坐标是（2，2），
把点M（2，2）代入y=得k=2×2=4，
∴反比例函数解析式为y=；
（2）∵四边形ABCD是正方形，点A的坐标是（2，4），
∴点C的坐标是（6，0），
当x=6时，y=；
∴点N的坐标是（6，），
∵反比例函数y=图象上的动点P（m，n）在正方形ABCD的内部（含边界），
∴n随m的增大而减少，且2≤m≤6，
∴当m=6时，n有最小值，
∴△POC面积的最小值为=2．
19．该河段贾鲁河的宽度约为28米
【详解】解：过点作于点，如图所示．
由题意，可知米．
设米．
在中，
∵，
∴米．
在中，
∵，
∴．
∵，
∴，
解得．
答：该河段贾鲁河的宽度约为28米．
20．(1)证明：如图，连接，
∵是的切线，
∴．
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∴点是的中点；
(2)
【详解】（1）略
（2）解：如图，连接．
∵，
∴．
又∵，
∴垂直平分．
又∵，
∴．
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
过点作于点，
则，
．
21．(1)甲种品牌的足球每个的价格为100元，则乙种品牌的足球每个的价格为80元；
(2)该学校购买两种品牌足球的最低费用是1760元．
本题考查一次函数的性质、一元一次方程等知识，正确的分析，全面的掌握这些知识之间的联系是解决问题的关键．
（1）设甲种品牌的足球每个的价格为元，则乙种品牌的足球每个的价格为元，根据购进1个甲种品牌足球和2个乙种品牌足球共需260元，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设这所学校购买个乙种品牌的足球，则购买个甲种品牌的足球，总费用为元，根据总费用单价数量结合总费用不超过1800元，即可得出一次函数关系式，根据一次函数的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲种品牌的足球每个的价格为元，则乙种品牌的足球每个的价格为元，
根据题意得：，
解得，
，
答：甲种品牌的足球每个的价格为100元，则乙种品牌的足球每个的价格为80元；
（2）解：设这所学校购买个甲种品牌的足球，则购买个乙种品牌的足球，总费用为元，
根据题意得：，
，
随的增大而增大，
，，
时，最小为：，
答：该学校购买两种品牌足球的最低费用是1760元．
22．(1)
(2)或
（1）将代入即可求出抛物线的对称轴，结合时，y有最大值32，可得当时，取得最大值32，建立方程求解即可；
（2）根据和分两种情况讨论，再根据范围取舍即可．
【详解】（1）解：当时，，
此时抛物线的对称轴为直线．
对于，当时，，
当时，，
∴当时，取得最大值32，
∴，
解得 （舍去），，
∴；
（2）解：抛物线的对称轴为直线 ，
两种情况讨论：
①当时，抛物线开口向上， ．
当时，对于 ，都有，
∴ ，解得，
当时，
∵对于 ，都有，
∴，
∴，
当时，
∵对于 ，都有，
∴，
∴，
∴当时，a的取值范围为；
②当时，抛物线开口向下， ．
由对称可知，直线关于直线对称的直线为，
∵，
∴，
∴，
∴．
综上可知，的取值范围是或．
23．(1)菱形；
(2)四边形是平行四边形，理由如下：
如下图，设 交于点，
由折叠的性质，可知 ，
四边形是矩形，
∴ ，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
(3)的长为或
（1）由折叠性质和全等的性质，可得，得四边形是菱形；由折叠，对顶角，三角形内角和可得，可得；
（2）先证，由矩形的性质，即可得答案；
（3）由折叠和（2）结论可得是等腰直角三角形，分两种情况讨论，和，证明即可．
【详解】（1）解：如下图，
由折叠可知：，
四边形是矩形，
，
，
，
四边形是菱形；
由折叠可知：，
，
又
，
；
（2）四边形是平行四边形．理由略；
（3）由折叠的性质可知：，，，
由（2）可知，，
，
，
是直角三角形，，
若是等腰三角形，则，是等腰直角三角形，
分两种情况讨论，①如下图，当时，过点作的平行线交 的延长线于点，
可得：四边形是矩形，，
又，，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
设，则 ，
，
由折叠的性质，可知，
，
解得，
；
②如下图，当时，过点作的平行线交的延长线于点，
同（1）可得，
设 ，则 ，
同（1）可得是等腰直角三角形，
，
由折叠的性质，可知，
，
解得，
∴，
综上所述，的长为或．

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