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专题05 函数
知识点一、变量与常量
◆常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量.
◆变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做常量.
【注意】判断一个量是常量还是变量，应先看它是否在一个变化的过程中，若在，则看它在这个变化过程中数值是否发生变化.“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，但“常量”不等于“常数”，它也可以是数值不变的字母，如在匀速运动中的速度v就是一个常量.
知识点二、函数
◆函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.
◆函数值的定义：如果当 x = a 时 y = b，那么 b 叫做当自变量的值为 a时的函数值.
【注意】理解函数定义时应把握以下几点：①有两个变量；②函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随另个一变量的数值的变化而变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数有且仅有一个值与之对应.
知识点三、函数的解析式
◆函数解析式：用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
【注意】
①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数．
知识点四、自变量取值范围的确定
◆1、使函数有意义的自变量的取值叫做自变量的取值范围．
◆2、确定函数自变量取值范围的方法：
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
知识点五、函数的图象
◆函数图象的定义：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
【注意】①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．
知识点六、函数的图象的画法
◆描点法画函数图象的一般步骤如下：
第一步：列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步：描点——在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；
第三步：连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来.
知识点七、函数的三种表示方法
◆三种表示函数的方法的优缺点以及它们之间的联系：
表示方法 优点 缺点
解析式 变量间关系简捷明了，便于分析计算 需通过计算，才能得到所需结果
列表 能直接得到某些具体的对应值 不能反映函数整体的变化情况
图象 直观表示了变量间变化过程与趋势 函数值只能是近似值
关系 解析式是基础与核心，列表是画图象的关键，图象是在解析式和列表的基础上，对函数的总体概括和形象化表达。
题型一 常量与变量
【例1】（23-24七年级上·山东淄博·期末）球的体积是，球的半径为，则，其中变量和常量分别是（ ）
A．变量是，；常量是 B．变量是，；常量是
C．变量是，：常量是3，4 D．变量是，常量是
【变式1】（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）对于圆的周长公式，下列说法正确的是（　　）
A．C，π是变量，2是常量 B．r是变量，C是常量
C．C是变量，r是常量 D．C，r是变量，2π是常量
【变式2】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）某地手机通话费为元，小明存入50元手机话费，记此后他的手机通话时间为，话费余额为元．则此问题中的常量和变量是（ ）
A．常量50；变量． B．常量，50；变量．
C．常量，50；变量． D．常量，50；变量，．
【变式3】（23-24八年级下·河北保定·期末）关于圆的周长公式，下列说法正确的是（ ）
A．C，π，R是变量，2是常量 B．C是变量，2，π，R是常量
C．C，R是变量，2，π是常量 D．R 是变量，C，2，π是变量
题型二 用表格表示变量间的关系
【例2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）下表列出了一项实验的统计数据，表示皮球从高处落下时，弹跳高度h（单位：cm）与下落高度d（单位：cm）之间的关系，若下落高度d=200，则弹跳高度h的值是（ ）
d 50 100 150
h 25 50 75
A．100 B．95 C．90 D．105
【变式1】（25-26七年级上·全国·期末）李师傅到小区附近的“爱心”加油站加油，如下所示是所用的加油机上的数据显示情况，则其中的常量是（ ）
金额（元）
数量（L）
单价（元/L）
A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）在科学课上，老师讲到温度计的使用方法及液体的沸点时，好奇的李红同学准备测量食用油的沸点，已知食用油的沸点温度高于水的沸点温度（），李红家只有刻度不超过的温度计，她的方法是在锅中倒入一些食用油，将温度计固定在锅中，用煤气灶均匀加热，并每隔记录一次锅中油温，得到的数据如下表：
时间 0 10 20 30 40
油温 10 30 50 70 90
则下列说法不正确的是（ ）
A．没有加热时，油的温度是 B．加热，油的温度是
C．时间t是自变量，油温y是因变量 D．每隔，油温上升
【变式3】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）小明为了解水温变化规律，测量并记录了一杯开水在室温下的温度变化情况，如下表：
时间t/min 0 10 20 30 40 50 60
水温/℃ 98 55 35 24 22 22 22
下列说法不正确的是（ ）
A．自变量是时间，因变量是水温
B．水温随着时间的推移逐渐减小，最后保持不变
C．依据表格中反映出的规律可知：当min时，水温是
D．时间每增加10min，水温则降低
题型三 用关系式表示变量间的关系
【例3】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）已知一个等腰三角形的周长为40，那么它的底边与腰长之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）小明将一根长为20cm的铁丝制作成一个长方形，则这个长方形的长y（cm）与宽x（cm）之间的数量关系为（　　）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25七年级下·广东佛山·期末）若购买铅笔6支，花费了12元，则购买铅笔的费用y（元）与铅笔的支数x（支）之间的关系式是（　　）
A． B． C． D．
【变式3】（22-23七年级下·广东深圳·期末）地表以下岩层的温度y（℃）随着所处深度x（km）的变化而变化，在某个地点y与x的部分对应数据如下表，则该地y与x的函数关系可以近似地表示为
所处深度x（km） 2 3 5 7 10 13
地表以下岩层的温度y（℃） 90 125 195 265 370 475
则该地y与x的关系可以近似地表示为（ ）
A． B．
C． D．
题型四 用图象表示变量间的关系
【例4】清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”在儿童从学校回到家，再到田野这段时间内，下列图象中能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度和时间之间的关系（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）苹果熟了，从树上落下来，下面的哪一幅图可以大致刻画出苹果下落过程中（即落地前）的速度变化情况（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（ ）
A． B．
C． D．
题型五 函数概念的识别
【例5】（25-26八年级上·广西崇左·期末）下列关系式中y不是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）下列式子中不是的函数的是（　　）
A． B． C． D．
【变式2】有以下关于x，y的等式：①；②；③；④，其中y是x的函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3】下列两个变量间不存在函数关系的是（ ）
A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系 B．与x的关系
C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系
题型六 函数图象的识别
【例6】（25-26七年级上·山东淄博·期末）下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）下列图象中，不能表示是的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（25-26八年级上·河北保定·期末）下列图象中，不是的函数的是（ ）
A．B．C． D．
【变式3】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）下列曲线中．表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
题型七 确定函数自变量的取值范围
【例7】（25-26八年级上·山东·期末）函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【变式1】（25-26八年级上·安徽宿州·期末）下列函数中，自变量的取值范围选取错误的是（ ）
A．中，x取 B．y=中，x取
C．中，x取全体实数 D．y=中，x取
【变式2】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）下列函数中，自变量x的取值范围为的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（25-26八年级上·安徽池州·期末）函数中，自变量x的取值范围是_______．
【变式4】（23-24八年级下·山东聊城·期末）函数中，自变量的取值范围是______．
题型八 求自变量或函数值
【例8】（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）已知变量之间的关系式为，当时，的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式1】（23-24八年级下·河南漯河·期末）当时，函数的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【变式2】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）已知函数，则当函数值为8时，自变量的值为_____．
【变式3】（24-25八年级下·河北廊坊·期末）按照如图所示的运算程序计算函数的值，若输入的值是5，则输出的值是3，若输入的值是，则输出的值是__________．
【变式4】（25-26七年级上·四川雅安·期中）定义，即当时，；当时，，则___________．
题型九 函数解析式
【例9】（24-25八年级上·福建宁德·期末）4名教师和若干名学生到某景区秋游．该景区成人票每张15元，学生票每张10元．师生总票款y（元）与学生人数x（人）之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24八年级上·四川成都·期末）某油箱容量为50L的汽车，加满汽油后行驶了100时，油箱中的汽油消耗了10L，如果加满汽油后汽车行驶的路程为，油箱中剩油量为，则 y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（25-26八年级上·山西太原·期末）移动公司推出的“动感青春”套餐中流量计费规则如下（每月使用流量为）
不收费
超出的部分按元计费
超出的部分按元计费
则李明月使用流量费用y元与x的函数关系为_________．
【变式3】（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）某公司招聘销售员，采用下面的两种方案给销售员结算月工资．方案甲：底薪2000元，每销售一件产品奖励300元；方案乙：没有底薪，每销售一件产品奖励500元．应聘者只能选择其中的一种工资结算方式．
(1)设应聘者的月收入为y（元），月销售的产品件数为x（件），写出两种方案中y和x的关系式（不需要写出自变量范围）；
(2)销售员月销售量达到多少件时两种方案的工资相等？是多少元？
【变式4】如图，用长为的篱笆（虚线部分）两面靠墙围成矩形的苗圃．在其中一边开了一个宽的门．
(1)设矩形的一边为，面积为，求y关于x的函数关系式；
(2)当时，求出所围苗圃的面积是多少？
题型十 实际问题中的函数图象
【例10】（23-24八年级下·重庆江津·期末）某同学步行到超市，在超市购买一些生活用品，然后打车回家，设家到超市为直线，车的速度比步行快，该同学出发的时间为，与家的距离为，则与的函数关系用图象表示大致是（ ）
A．B． C． D．
【变式1】（24-25七年级下·重庆南岸·期末）小明放学后，以某一速度匀速走在回家路上，经过超市时，在超市买了一些物品，然后，以一个比先前稍慢的速度，匀速走在回家路上．小明在回家路上步行的路程y随时间的变化情况是（ ）
A．B．C． D．
【变式2】（25-26八年级上·浙江丽水·期末）下列三个问题中的两个变量与之间的函数关系可以用如图表示的是（　　）
①用长度一定的绳子围成一个长方形，这个长方形的面积与它的宽；
②汽车从A地匀速驶向B地，汽车离B地的路程与行驶时间；
③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中剩余的水量与放水时间．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【变式3】如图，小虎在篮球场上从点O出发，沿着O→A→B→C→O的路径匀速跑动． 下列选项能刻画小虎所在位置距出发点O的距离s与时间t的关系的大致图象是（ ）
A．B．C． D．
题型十一 描点法画函数图象
【例11】已知点在第一象限，且，，，设的面积为．
(1)求关于的函数解析式，并写出的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出的取值范围．
【变式1】（24-25八年级下·吉林·阶段检测）画出函数的图象．
… 0 1 …
… 1 …
(1)根据列表， ．
(2)根据列表，在如图所示的平面直角坐标系中描点并连接．
(3)点，，中，在函数图象上的点是 （填“”“”或“”）．
(4)若点在函数的图象上，求出的值．
【变式2】学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请补充完整．
(1)列表：
… 0 1 2 3 4 …
… 3 2 1 1 2 3 …
则表格中______．
(2)描点并画出该函数的图象．
(3)观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值．
【变式3】（24-25八年级上·江苏徐州·期末）请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法解决下列问题：
(1)在平面直角坐标系中，画出函数的图象：
①列表填空：
x … 0 1 2 3 …
y … …
②描点、连线，画出的图象．
(2)结合所画图象，写出两条不同类型的性质；
(3)写出函数与图象的平移关系．
题型一 从函数图象获取信息
【例1】（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图为世界人口变化趋势图（含预测），下面关于世界人口的叙述正确的是（ ）
A．从1800年开始年增长率持续降低 B．世界人口数量不断增长
C．从1800年开始年增长率持续升高 D．世界人口数量不断减少
【变式1】 周末，小明同学骑车去东营市图书馆借书，之后骑车回家．下面图象描述了他离家的距离（米）与骑行时间（分钟）之间的关系．根据图中提供的信息，给出下列说法：①小明共骑行了2400米；②小明在图书馆停留了2分钟；③小明从家到图书馆路上的平均速度为400米/分钟；④小明从图书馆回家路上的平均速度为200米/分钟；其中正确的说法共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】（23-24八年级下·广东广州·期末）为了锻炼身体增强体质，小何同学在某周末上午9时骑自行车离开家去绿道锻炼，15时回家，已知小何离家的距离s(km)与时间t(h)之间的关系如图所示．

根据图象解答下列问题：
(1)写出小何离家的最远距离；
(2)小何途中共休息了几次，每次休息多长时间？
(3)小何由离家最远的地方返回家时的平均速度是多少？
【变式3】（23-24七年级下·山东青岛·期末）在某次大型的活动中，用无人机进行航拍，在操控无人机时根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同．设无人机的飞行高度（米）与操控无人机的时间（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：
(1)无人机在米高的上空停留的时间是______分钟；
(2)在上升或下降过程中，无人机的速度为______米/分钟；
(3)图中表示的数是______；表示的数是______；
(4)求第分钟时无人机的飞行高度是多少米？
【变式4】（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，甲、乙两人于某日下午从P地前往Q地，图中的折线和线段分别表示甲与乙所行驶的路程s和时间t的关系.根据图象回答下列问题：
(1)两地相距______千米；
(2)甲出发______小时后，乙才开始出发；
(3)甲在段路程中的平均速度是______千米/小时；乙的平均速度是______千米/小时；
(4)根据图象上的数据，乙出发后经过多少小时追上甲．
题型二 分段函数图象与计算
【例2】（25-26九年级上·河南开封·期末）如图，中，，点D为的中点，动点P从点A出发沿运动到点B．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则的长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【变式1】（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在长方形中，厘米，厘米，动点从点出发，沿路线运动，到点停止；点出发时的速度为厘米/秒，秒时点的速度变为厘米/秒，秒后点以厘米/秒速度匀速运动．如图是点P出发秒后，的面积（平方厘米）与时间（秒）之间的关系图象．有以下结论：①，；②；③点从点运动到点用时秒；④当的值为时，点运动的路程为厘米．其中正确结论的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图1，在中，，点从点出发沿着运动，记点运动的路径长为的面积为与的函数图象如图2所示，则下列说法正确的是（ ）
A．的长度为6
B．的面积为6
C．的周长为9
D．
【变式3】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图1，在等腰直角三角形中，，点为边的中点，动点从点出发，沿边方向匀速运动，运动到点时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（ ）
A． B．4 C．8 D．16
题型一 函数的三种表示方法
【例1】（24-25七年级下·山西晋中·期末）小明为了了解水温的变化规律，连续测量并记录一杯开水在室温下的温度变化情况，得到下表：
时间/min 0 5 10 15 25 35 45 55 65 70
温度/℃ 98 71 55 45 35 28 24 22 22 22
根据上表，回答问题：
(1)室温大概是________℃；
(2)你能描述在室温下开水温度随时间变化的特点吗？
(3)某种奶粉的适宜冲泡温度为42℃，小明想冲泡这种奶粉，水烧开后大约需要等多久？
【变式1】（23-24七年级下·广东佛山·期末）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度随所挂物体的质量变化关系的图象如下：
(1)上图反映哪两个变量之间的关系？
(2)根据上图，补全表格：
0 1 2 5 7
12 16
(3)弹簧长度是如何随悬挂物体质量的变化而变化的？
【变式2】某市为了规范车辆分流，在道路中央安装隔离护栏（如图所示），已知每根立柱宽为0.2米，立柱间距为3米．
(1)根据下图，将表格补充完整：
立柱根数 1 2 3 4 5 …
护栏总长度/米 0.2 3.4 ______ 9.8 ______ …
(2)设有x根立柱，护栏总长度为y米，则y与x之间的关系式是什么？
(3)若总长477米的街道需要安装隔离护栏，请问需要安装立柱多少根？
【变式3】（24-25七年级下·山西晋中·期末）综合与探究
如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”的寓意．
该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的，向此简易“公道杯”中匀速注入清水，一段时间后停止，再等水完全排尽，再次注入……．在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，部分数值如下：
时间（t/s） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …
水位高度（h/cm） 0 3 6 3 0 …
根据以上信息，解决下列问题：
(1)完善表中的数据，并根据水位和时间的关系在上图中描出反映水位高度随时间的变化而变化的部分大致图象；
(2)结合表格或图象，当______时，杯中水位第一次最高，是______；
(3)在自动向外排水开始前，杯中水位上升的速度为______；当时，水位高度是______；
(4)请你探究写出第二次水位最高时t的值为______；请你简要描述水位高度随时间的变化情况；
(5)开始注水时，小明有事离开，那么他五分钟后回来观察水位应该是______．他接着观察到水位是上升还是下降？
题型二 函数图象与动点运动问题
【例2】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在长方形中，．点在上运动，设，图中阴影部分的面积为．
(1)在这个变化过程中，自变量是_____________，因变量是_________________；
(2)写出阴影部分的面积与之间的关系式；
(3)点在什么位置时，阴影部分的面积为20？
【变式1】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）已知动点P以的速度沿如图1所示的边框以的路径运动，记的面积为，s与运动时间的关系如图2所示，若．请回答下列问题：
(1) ， ， ．
(2)当的面积为15时，求出t的值．
(3)若是等腰三角形时，请直接写出t的值．
【变式2】（24-25七年级下·黑龙江鸡西·期末）如图，在以A为原点的平面直角坐标系中，有一个长方形，，，且．E是边上的一点，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，最终到达点C．设点P运动的时间为t秒．
(1)填空：________，________；
(2)求出点P在运动过程中三角形的面积S（用含t的式子表示）；
(3)是否存在一点P，使三角形的面积等于20？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3】（24-25八年级上·四川成都·期末）已知：如图，在中，，，，的角平分线交边于点D．点P从点C出发，沿着运动，设．过点P作角平分线的垂线，交射线，射线于点M，点Q．
(1)当时，
①求证：；
②设，求y与x之间的函数表达式．
(2)当是等腰三角形时，求线段的长．
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专题05 函数
知识点一、变量与常量
◆常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量.
◆变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做常量.
【注意】判断一个量是常量还是变量，应先看它是否在一个变化的过程中，若在，则看它在这个变化过程中数值是否发生变化.“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，但“常量”不等于“常数”，它也可以是数值不变的字母，如在匀速运动中的速度v就是一个常量.
知识点二、函数
◆函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.
◆函数值的定义：如果当 x = a 时 y = b，那么 b 叫做当自变量的值为 a时的函数值.
【注意】理解函数定义时应把握以下几点：①有两个变量；②函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随另个一变量的数值的变化而变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数有且仅有一个值与之对应.
知识点三、函数的解析式
◆函数解析式：用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
【注意】
①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数．
知识点四、自变量取值范围的确定
◆1、使函数有意义的自变量的取值叫做自变量的取值范围．
◆2、确定函数自变量取值范围的方法：
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
知识点五、函数的图象
◆函数图象的定义：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
【注意】①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．
知识点六、函数的图象的画法
◆描点法画函数图象的一般步骤如下：
第一步：列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步：描点——在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；
第三步：连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来.
知识点七、函数的三种表示方法
◆三种表示函数的方法的优缺点以及它们之间的联系：
表示方法 优点 缺点
解析式 变量间关系简捷明了，便于分析计算 需通过计算，才能得到所需结果
列表 能直接得到某些具体的对应值 不能反映函数整体的变化情况
图象 直观表示了变量间变化过程与趋势 函数值只能是近似值
关系 解析式是基础与核心，列表是画图象的关键，图象是在解析式和列表的基础上，对函数的总体概括和形象化表达。
题型一 常量与变量
【例1】（23-24七年级上·山东淄博·期末）球的体积是，球的半径为，则，其中变量和常量分别是（ ）
A．变量是，；常量是 B．变量是，；常量是
C．变量是，：常量是3，4 D．变量是，常量是
【答案】A
【分析】根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，根据常量和变量的概念解答即可．
【详解】解：中变量是，；常量是；
故选A．
【变式1】（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）对于圆的周长公式，下列说法正确的是（　　）
A．C，π是变量，2是常量 B．r是变量，C是常量
C．C是变量，r是常量 D．C，r是变量，2π是常量
【答案】D
【分析】常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的量．
【详解】解：圆的周长公式表明圆的周长与半径成正比，比值为是一个常数，变量为周长和半径．
故选：D．
【点睛】本题考查了常量、变量，熟记相关概念是解题关键．
【变式2】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）某地手机通话费为元，小明存入50元手机话费，记此后他的手机通话时间为，话费余额为元．则此问题中的常量和变量是（ ）
A．常量50；变量． B．常量，50；变量．
C．常量，50；变量． D．常量，50；变量，．
【答案】D
【分析】本题考查了常量和变量，理解定义是解题的关键；
根据常量和变量的定义，常量是固定不变的量，变量是会发生变化的量．本题中，通话费率和初始话费为常量，通话时间和余额为变量即可解答．
【详解】解：手机通话费为元/分钟，小明存入的50元话费，这两个数值在问题中固定不变，所以，，50是常量．
通话时间和话费余额会随着通话的进行而变化．具体来说，是自变量，是因变量，满足关系式．
所以，和均为变量．
故选：D．
【变式3】（23-24八年级下·河北保定·期末）关于圆的周长公式，下列说法正确的是（ ）
A．C，π，R是变量，2是常量 B．C是变量，2，π，R是常量
C．C，R是变量，2，π是常量 D．R 是变量，C，2，π是变量
【答案】C
【分析】本题主要考查了常量，变量的定义，解题的关键是熟练掌握常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的量．
根据常量、变量的定义逐项进行判断即可．
【详解】关于圆的周长公式，
C，R是变量，2，是常量．
故选：C．
题型二 用表格表示变量间的关系
【例2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）下表列出了一项实验的统计数据，表示皮球从高处落下时，弹跳高度h（单位：cm）与下落高度d（单位：cm）之间的关系，若下落高度d=200，则弹跳高度h的值是（ ）
d 50 100 150
h 25 50 75
A．100 B．95 C．90 D．105
【答案】A
【分析】本题是对函数表格的考查．观察表格发现下落高度d都是弹跳高度h的2倍，据此求解即可．
【详解】解：观察表格发现下落高度d都是弹跳高度h的2倍，
则下落高度d=200，则弹跳高度h的值是．
故选：A．
【变式1】（25-26七年级上·全国·期末）李师傅到小区附近的“爱心”加油站加油，如下所示是所用的加油机上的数据显示情况，则其中的常量是（ ）
金额（元）
数量（L）
单价（元/L）
A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
【答案】C
【分析】本题考查常量与变量的概念．常量是固定不变的量，变量是变化的量．在加油过程中，单价是固定值，而金额和数量随加油量变化，据此进行分析，即可作答．
【详解】解：依题意，单价7.54元/升是固定不变的，而金额和数量会随加油量变化而变化，
∴常量是单价，
故选：C．
【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）在科学课上，老师讲到温度计的使用方法及液体的沸点时，好奇的李红同学准备测量食用油的沸点，已知食用油的沸点温度高于水的沸点温度（），李红家只有刻度不超过的温度计，她的方法是在锅中倒入一些食用油，将温度计固定在锅中，用煤气灶均匀加热，并每隔记录一次锅中油温，得到的数据如下表：
时间 0 10 20 30 40
油温 10 30 50 70 90
则下列说法不正确的是（ ）
A．没有加热时，油的温度是 B．加热，油的温度是
C．时间t是自变量，油温y是因变量 D．每隔，油温上升
【答案】D
【分析】本题考查函数的表示方法，能够通过表格确定自变量与因变量的变化关系是解题的关键．
由表格可得，时间t每增加，油温y增加，据此逐一判断即可．
【详解】解： A：当时，即没有加热时，油的温度是，不符合题意；
B：由表格可得，时间t每增加，油温y增加，
∴加热，温度升高了，
∵初始，
∴，不符合题意；
C：由题意可得，时间t是自变量，油温y是因变量，不符合题意；
D：每油温上升，而非，符合题意．
故选D．
【变式3】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）小明为了解水温变化规律，测量并记录了一杯开水在室温下的温度变化情况，如下表：
时间t/min 0 10 20 30 40 50 60
水温/℃ 98 55 35 24 22 22 22
下列说法不正确的是（ ）
A．自变量是时间，因变量是水温
B．水温随着时间的推移逐渐减小，最后保持不变
C．依据表格中反映出的规律可知：当min时，水温是
D．时间每增加10min，水温则降低
【答案】D
【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系，理解表格是解题的关键．
根据表格的内容，逐一分析判断，即可解答．
【详解】解：选项A：自变量是时间，因变量是水温．自变量是主动变化的量（时间），因变量是随自变量变化的量（水温），描述正确．
选项B：水温随时间逐渐减小，最后保持不变．观察数据，0~40分钟水温从98℃降至22℃，之后稳定在22℃，描述正确．
选项C：当min时，水温为22℃．因40分钟后水温已稳定在22℃，推断70分钟时仍为22℃，描述正确．
选项D：时间每增加10min，水温降低42℃．计算各时段降温幅度：
0~10min：98→55℃，降43℃；
10~20min：55→35℃，降20℃；
20~30min：35→24℃，降11℃；
30~40min：24→22℃，降2℃．
降温幅度并非每10min固定42℃，描述错误．
故选D．
题型三 用关系式表示变量间的关系
【例3】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）已知一个等腰三角形的周长为40，那么它的底边与腰长之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查列关系式，等腰三角形的两腰相等，两腰与底边长度之和为周长，由此列式即可．
【详解】解：由题意知，
所以它的底边与腰长之间的关系式为：，
故选D．
【变式1】（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）小明将一根长为20cm的铁丝制作成一个长方形，则这个长方形的长y（cm）与宽x（cm）之间的数量关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查两个变量之间的关系，读懂题意，熟记长方形周长公式是解决问题的关键．根据长方形的周长公式建立方程，整理即可得到长与宽的数量关系．
【详解】解：由题意，铁丝长度为长方形的周长，即，
将方程整理为关于的表达式，得，
故选：D．
【变式2】（24-25七年级下·广东佛山·期末）若购买铅笔6支，花费了12元，则购买铅笔的费用y（元）与铅笔的支数x（支）之间的关系式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查正比例函数的应用，根据已知条件确定单价，进而写出关系式，理解题意是解此题的关键．
【详解】解：已知购买6支铅笔花费12元，则每支铅笔的价格为：（元），
故费用与支数的关系式为：，
故选：D．
【变式3】（22-23七年级下·广东深圳·期末）地表以下岩层的温度y（℃）随着所处深度x（km）的变化而变化，在某个地点y与x的部分对应数据如下表，则该地y与x的函数关系可以近似地表示为
所处深度x（km） 2 3 5 7 10 13
地表以下岩层的温度y（℃） 90 125 195 265 370 475
则该地y与x的关系可以近似地表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查用函数关系式表示变量之间的关系，根据表格中数据的变化规律求解即可．
【详解】解：由表格中数据可知，从2千米开始，每增加1千米，气温升高，
∴y与x的关系可以近似的表示为．
故选：A．
题型四 用图象表示变量间的关系
【例4】清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”在儿童从学校回到家，再到田野这段时间内，下列图象中能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查函数图象表示实际问题，根据题中描述，结合选项即可得到答案，读懂题意是解决问题的关键．
【详解】解：根据题意，儿童从学校放学回到家的过程中，离家的距离越来越小；儿童从家再到田野的过程中，离家的距离逐渐增大，则能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是
故选：C．
【变式1】如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度和时间之间的关系（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了函数图像的识别，根据水池下部横截面较小，固定流量注水时水位上升较快；当水面超过台阶后，上部横截面变大，水位上升速度随之减慢即可求解；
【详解】解：从图可知，水池下部横截面较小，固定流量注水时水位上升较快；当水面超过台阶后，上部横截面变大，水位上升速度随之减慢；
因此水位随时间先快后慢地上升，对应选项 C 图所示的先陡后缓的折线关系；
故选：C ．
【变式2】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）苹果熟了，从树上落下来，下面的哪一幅图可以大致刻画出苹果下落过程中（即落地前）的速度变化情况（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了用函数图象表示变量之间的关系，根据随的增大而增大即可判断求解，看懂函数图象是解题的关键．
【详解】解：苹果熟了，从树上落下来，随的增大而增大，
∴符合条件的只有选项，
故选：．
【变式3】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了用图象表示变量间的关系，解题的关键是理解题意，数形结合．根据开始进入时y逐渐变大，完全进入后保持不变，开始出来时y逐渐变小，进行判断即可．
【详解】解：根据题意可知火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为：当火车开始进入时y逐渐变大，当火车完全进入隧道，由于隧道长大于火车长，此时y最大，并且保持不变，当火车开始出来时y逐渐变小．另外是匀速运动，y随x的均匀变化而均匀变化，故图象呈直线型，排除选项C．
故选：B．
题型五 函数概念的识别
【例5】（25-26八年级上·广西崇左·期末）下列关系式中y不是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的定义，判断每个选项中对于x的每一个确定值，y是否有唯一确定的值与之对应，若存在一个x对应多个y，则y不是x的函数，本题考查了函数的定义．
【详解】解：∵函数的定义为：在一个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应
对于选项A，当x取正数时，例如，由可得或，即一个x值对应两个不同的y值
∴y不是x的函数
对于选项B、C、D，任意给定一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，符合函数定义
综上，答案选A，
故选：A．
【变式1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）下列式子中不是的函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了函数的定义，在一个变化过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就确定唯一的一个值，那么我们称是的函数，由函数的定义逐项判断即可得出答案，熟练掌握函数的定义是解此题的关键．
【详解】解：A、对于，给定一个的值，计算能得到唯一确定的值，所以是的函数，不符合题意；
B、对于，任意给定一个的值，的结果唯一确定，有唯一值对应，所以是的函数，不符合题意；
C、对于，在（即的范围内，给定一个的值，能得出唯一确定的值，所以是的函数，不符合题意；
D、对于，当取一个非正数的值时（因为右边，比如，则，，即一个值对应两个值，不满足函数定义中“有唯一确定值对应”的要求，所以不是的函数，符合题意．
故选：D．
【变式2】有以下关于x，y的等式：①；②；③；④，其中y是x的函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查函数的定义，判断每个等式是否满足函数的定义，即对于每一个x值，只能有一个y值与之对应．
【详解】解：∵ ① 可化为，对于每一个x值，y有唯一确定值，
∴ ①y是x的函数；
∵ ②，例如当时，或，一个x对应两个y，
∴ ②y不是x的函数；
∵ ③，例如当时，或，一个x对应两个y，
∴ ③y不是x的函数；
∵ ④可化为（），对于每一个非零x值，y有唯一确定值，
∴ ④y是x的函数；
∴ ①和④是函数，共2个，
故选：B．
【变式3】下列两个变量间不存在函数关系的是（ ）
A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系 B．与x的关系
C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系
【答案】D
【分析】本题考查函数的定义，理解函数定义是解答的关键．
根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量，对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、长方形的面积一定，它的长和宽成反比例，是函数关系，故本选项不符合题意；
B、随x的变化而变化，是函数关系，故本选项不符合题意；
C、匀速运动的火车，时间与路程成正比例，是函数关系，故本选项不符合题意；
D、某人的身高和体重不是函数关系，故本选项符合题意；
故选：D．
题型六 函数图象的识别
【例6】（25-26七年级上·山东淄博·期末）下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了函数的定义，根据对于任意一个x的值，都有唯一的一个y值对应，结合图形判定即可求解．
【详解】解：A、如图所示，
当时，函数值不唯一，故y不是x的函数，不符合题意；
B、如图所示，
当时，函数值不唯一，故y不是x的函数，不符合题意；
C、如图所示，
当时，函数值不唯一，故y不是x的函数，不符合题意；
D、任取一个x的值，都有唯一的一个y值对应，符合题意；
故选：D ．
【变式1】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）下列图象中，不能表示是的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了函数的定义，当确定一个数值时，可以有唯一一个值与对应，则表示是的函数，解决本题的关键是根据函数的定义进行判断．
【详解】解：A选项，当确定一个数值时，可以有个值与对应，不能表示是的函数，故A选项符合题意；
B选项：当确定一个数值时，可以有唯一一个值与对应，能表示是的函数，故B选项不符合题意；
C选项：当确定一个数值时，可以有唯一一个值与对应，能表示是的函数，故C选项不符合题意；
D选项：当确定一个数值时，可以有唯一一个值与对应，能表示是的函数，故D选项不符合题意．
故选A．
【变式2】（25-26八年级上·河北保定·期末）下列图象中，不是的函数的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了函数的定义，在函数的定义中，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应是解题的关键．
根据函数的定义逐个判断即可．
【详解】解：选项A、B、D，对于每一个x，都有唯一的y值与其对应，故选项A、B、D中y是x的函数，选项C，对于一个x有两个y与之对应，故y不是x的函数．
故选：C．
【变式3】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）下列曲线中．表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键．
根据函数的定义“如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，则称y是x的函数，其中x是自变量”逐项判断即可．
【详解】解：根据函数的定义，选项C中的图象表示y是x的函数．
故选：
题型七 确定函数自变量的取值范围
【例7】（25-26八年级上·山东·期末）函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】C
【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件进行解答即可．
【详解】解：∵ 有意义，
∴，
∴，
∵ 是分式，
∴，
∴，
综上可知，
故选C．
【变式1】（25-26八年级上·安徽宿州·期末）下列函数中，自变量的取值范围选取错误的是（ ）
A．中，x取 B．y=中，x取
C．中，x取全体实数 D．y=中，x取
【答案】D
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围：自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数必须非负，判断每个选项的自变量取值范围是否正确．
【详解】解：A、，被开方数，所以，正确；
B、，分母，所以，正确；
C、，可取全体实数，正确；
D、，被开方数且分母，所以，即，但选项说，错误；
故选：D．
【变式2】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）下列函数中，自变量x的取值范围为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件．
根据函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，分别计算各选项的自变量取值范围即可求解．
【详解】解： A．∵， ∴， ∴，故符合题意．
B．∵，∴，∴，故不符合题意．
C．∵，∴，∴，故不符合题意．
D．∵，∴，∴，故不符合题意．
故选A．
【变式3】（25-26八年级上·安徽池州·期末）函数中，自变量x的取值范围是_______．
【答案】
【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，求不等式的解集．根据二次根式的定义，被开方数必须大于或等于零，从而得到不等式，即可求解．
【详解】解：依题意，
解得：
故答案为：．
【变式4】（23-24八年级下·山东聊城·期末）函数中，自变量的取值范围是______．
【答案】且
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：二次根式的被开方数必须是非负数，因此，
解得：，
分式的分母不能为，因此，
解得：，
综上，自变量的取值范围是．
题型八 求自变量或函数值
【例8】（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）已知变量之间的关系式为，当时，的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了已知自变量的值求函数值，将代入求解即可．
【详解】解：将代入关系式得，，
所以y的值为3，
故选：B．
【变式1】（23-24八年级下·河南漯河·期末）当时，函数的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式，将已知数值代入原式并进行正确的运算是解题的关键．将代入中计算即可．
【详解】解：当时，
．
故选：D．
【变式2】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）已知函数，则当函数值为8时，自变量的值为_____．
【答案】5或
【分析】本题考查了求自变量的值，将代入分段函数的两个分支，分别求解的值，并验证是否满足对应的定义域条件，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：当时，函数为，代入可得，
解得：；
当时，函数为，代入可得，
解得：（不符合题意，舍去）或；
综上所述，自变量的值为5或，
故答案为：5或．
【变式3】（24-25八年级下·河北廊坊·期末）按照如图所示的运算程序计算函数的值，若输入的值是5，则输出的值是3，若输入的值是，则输出的值是__________．
【答案】
【分析】此题主要考查了函数值，正确得出的值是解题关键．直接利用已知代入得出的值，进而求出输入时，得出的值．
【详解】解：当输入的值是，输出的值是3，
，
解得：，
故输入的值是时，．
故答案为：
【变式4】（25-26七年级上·四川雅安·期中）定义，即当时，；当时，，则___________．
【答案】
【分析】本题考查了函数性质和（其中）的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
本题利用函数性质和（其中），将原式中的负自变量转换为正自变量，并配对求和，然后即可求解；
【详解】解：由，可得，且当时，，
原式，
利用，得：原式，
分组求和：原式，
由，对 到，有，共对：
∴，
∵，
∴原式；
故答案为：；
题型九 函数解析式
【例9】（24-25八年级上·福建宁德·期末）4名教师和若干名学生到某景区秋游．该景区成人票每张15元，学生票每张10元．师生总票款y（元）与学生人数x（人）之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据“4名教师”及“成人票每张15元，学生票每张10元”列式，即可求解．
本题考查了实际问题中列函数关系式，解题的关键是：理解题意列出正确的函数关系式．
【详解】解：根据题意列式：，
故选：D．
【变式1】（23-24八年级上·四川成都·期末）某油箱容量为50L的汽车，加满汽油后行驶了100时，油箱中的汽油消耗了10L，如果加满汽油后汽车行驶的路程为，油箱中剩油量为，则 y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查根据实际问题列函数解析式．找到正确的等量关系是解题关键．计算出每的耗油量即可求解．
【详解】解：由题意得：
每的耗油量为：，
故汽车加满油后最多可行驶：
故可得：
故选：D．
【变式2】（25-26八年级上·山西太原·期末）移动公司推出的“动感青春”套餐中流量计费规则如下（每月使用流量为）
不收费
超出的部分按元计费
超出的部分按元计费
则李明月使用流量费用y元与x的函数关系为_________．
【答案】
【分析】本题主要考查函数，根据计费规则即可求得答案．
【详解】根据题意得：当时，
即
【变式3】（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）某公司招聘销售员，采用下面的两种方案给销售员结算月工资．方案甲：底薪2000元，每销售一件产品奖励300元；方案乙：没有底薪，每销售一件产品奖励500元．应聘者只能选择其中的一种工资结算方式．
(1)设应聘者的月收入为y（元），月销售的产品件数为x（件），写出两种方案中y和x的关系式（不需要写出自变量范围）；
(2)销售员月销售量达到多少件时两种方案的工资相等？是多少元？
【答案】(1)甲方案：；乙方案：
(2)销售员月销售量达到10件时两种方案的工资相等，5000元
【分析】本题考查一元一次方程的应用、列函数关系式，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
（1）根据两个方案的计算方法求解判断即可；
（2）根据“两种方案的工资相等”，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：甲方案：；
乙方案：；
（2）解：∵两种方案的工资相等，
∴，
解得：，
此时，
即销售员月销售量达到10件时两种方案的工资相等，5000元．
【变式4】如图，用长为的篱笆（虚线部分）两面靠墙围成矩形的苗圃．在其中一边开了一个宽的门．
(1)设矩形的一边为，面积为，求y关于x的函数关系式；
(2)当时，求出所围苗圃的面积是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列出解析式即可；
（2）代数求值即可．
【详解】（1）解：设矩形的一边为，则另一边长为
y关于x的函数关系式为；
（2）解：将代入得，
，
∴所围苗圃的面积是．
题型十 实际问题中的函数图象
【例10】（23-24八年级下·重庆江津·期末）某同学步行到超市，在超市购买一些生活用品，然后打车回家，设家到超市为直线，车的速度比步行快，该同学出发的时间为，与家的距离为，则与的函数关系用图象表示大致是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查根据情境描述选择函数图象，理解题意，找准距离变化情况是解决问题的关键．
由题中描述，该同学出发后与家的距离随着时间的变化，分三个阶段：①从家到超市，步行，距离缓慢增大；②在超市购物，距离不变；③从超市到家，打车，距离迅速减小，结合选项中所给图象逐一验证即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，该同学出发后与家的距离随着时间的变化，分三个阶段：①从家到超市，步行，距离缓慢增大；②在超市购物，距离不变；③从超市到家，打车，距离迅速减小，
与的函数关系用图象表示大致是
故选：C．
【变式1】（24-25七年级下·重庆南岸·期末）小明放学后，以某一速度匀速走在回家路上，经过超市时，在超市买了一些物品，然后，以一个比先前稍慢的速度，匀速走在回家路上．小明在回家路上步行的路程y随时间的变化情况是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了函数图象与实际问题的结合，熟练掌握根据实际运动过程分析路程 - 时间图象走势是解题的关键．根据小明步行过程的不同阶段（匀速行走、停留购物、减速匀速行走 ），分析路程随时间变化的特点，对应函数图象的走势．
【详解】解：∵ 小明先以某一速度匀速行走，此阶段路程随时间匀速增加；接着在超市停留，时间增加但路程不变；然后以更慢速度匀速行走，路程随时间仍增加，但增加幅度变小
∴ 符合该变化过程的图象是选项
故选： ．
【变式2】（25-26八年级上·浙江丽水·期末）下列三个问题中的两个变量与之间的函数关系可以用如图表示的是（　　）
①用长度一定的绳子围成一个长方形，这个长方形的面积与它的宽；
②汽车从A地匀速驶向B地，汽车离B地的路程与行驶时间；
③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中剩余的水量与放水时间．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】B
【分析】①根据长方形的面积公式判断即可得到答案；
②根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小判断即可；
③根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小判断即可．
【详解】解：用长度一定的绳子围成一个长方形，长方形的面积y与一边长x，长方形的长宽之间存在关系，可以用x表示另一边长，根据面积公式得到的不是一次函数，故①不符合题意；
汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x，y随x增大逐渐减小，并且减小的变化量相等，是一次函数，故②符合题意；
将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x，y随x增大逐渐减小，并且减小的变化量相等，是一次函数，故③符合题意．
【变式3】如图，小虎在篮球场上从点O出发，沿着O→A→B→C→O的路径匀速跑动． 下列选项能刻画小虎所在位置距出发点O的距离s与时间t的关系的大致图象是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】根据函数图象理解题意即可解答．
【详解】解：由题意分析可知，在O→A是直线且匀速奔跑，s是由小变大；在A→B→C是在圆弧上，s是不变的；在C→O是直线且匀速奔跑，s是由大变小；且A→B→C较长，所以符合题意的是B．
题型十一 描点法画函数图象
【例11】已知点在第一象限，且，，，设的面积为．
(1)求关于的函数解析式，并写出的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出的取值范围．
【答案】(1)关于的函数解析式为，的取值范围为
(2)的取值范围为
【分析】（1）根据割补法即可表示三角形的面积；
（2）根据（1）中所得函数即可画出图象．
【详解】（1）点、在第一象限，且，．
，，
所以．
，，设的面积为
答：关于的函数解析式为，的取值范围为．
（2）．．
．
如图：即为函数的图象．
答：的取值范围为．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是准确求出函数解析式．
【变式1】（24-25八年级下·吉林·阶段检测）画出函数的图象．
… 0 1 …
… 1 …
(1)根据列表， ．
(2)根据列表，在如图所示的平面直角坐标系中描点并连接．
(3)点，，中，在函数图象上的点是 （填“”“”或“”）．
(4)若点在函数的图象上，求出的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)C
(4)5
【分析】本题考查画一次函数图像，列表，描点，判断点是否在函数上：
（1）将值代入求解即可得到答案；
（2）根据表描点，连线即可得到答案；
（3）将点代入求解，比较判断即可得到答案；
（4）将点代入求解即可得到答案．
【详解】（1）解：当时，，
∴
故答案为：
（2）解：描点并连接，画出图象如下：
（3）解：当时，，
当时，，
当时，，
∴点C在函数图象上，点A、B不在函数图象上，
故答案为：C
（4）解：∵点在函数的图象上，
∴，
解得：．
【变式2】学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请补充完整．
(1)列表：
… 0 1 2 3 4 …
… 3 2 1 1 2 3 …
则表格中______．
(2)描点并画出该函数的图象．
(3)观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)函数存在最小值，最小值为
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）将代入计算即可得解；
（2）根据表格描点连线即可；
（3）根据函数图象即可得解．
【详解】（1）解：在中，当时，，即；
（2）解：描点并画出该函数的图象如图所示：
；
（3）解：由图象可得，函数存在最小值，最小值为．
【变式3】（24-25八年级上·江苏徐州·期末）请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法解决下列问题：
(1)在平面直角坐标系中，画出函数的图象：
①列表填空：
x … 0 1 2 3 …
y … …
②描点、连线，画出的图象．
(2)结合所画图象，写出两条不同类型的性质；
(3)写出函数与图象的平移关系．
【答案】(1)①3，2，1，0，1，2，3；②见解析
(2)见解析
(3)把向左平移2个单位长度得到的图象．
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，描点法画函数图象，一次函数图象的平移等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键．
（1）①将表格中的值分别代入求出值，即可填写表格；②描点，连线即可作出函数图象；
（2）根据图象可从函数的增减性，对称性，最值问题进行分析即可；
（3）出函数，的图象，由图象即可判断平移方式．
【详解】（1）解：①列表如下：
x … 0 1 2 3 …
y … 3 2 1 0 1 2 3 …
②的图象如图所示：
（2）解：①增减性：时，y随x的增大面减小；时，y随x的增大而增大
②对称性：图像关于y轴对称（答案不唯一）；
（3）解：作出函数，的图象，由图象可得把向左平移2个单位长度得到的图象（写法不唯一）．
题型一 从函数图象获取信息
【例1】（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图为世界人口变化趋势图（含预测），下面关于世界人口的叙述正确的是（ ）
A．从1800年开始年增长率持续降低 B．世界人口数量不断增长
C．从1800年开始年增长率持续升高 D．世界人口数量不断减少
【答案】B
【分析】从图象中获取信息进行判断即可.
【详解】解：由图象可知，从1800年开始年增长率有升有降，世界人口数量不断增长，
故只有选项B正确.
【变式1】 周末，小明同学骑车去东营市图书馆借书，之后骑车回家．下面图象描述了他离家的距离（米）与骑行时间（分钟）之间的关系．根据图中提供的信息，给出下列说法：①小明共骑行了2400米；②小明在图书馆停留了2分钟；③小明从家到图书馆路上的平均速度为400米/分钟；④小明从图书馆回家路上的平均速度为200米/分钟；其中正确的说法共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，利用数形结合的思想解决问题．根据图象即可求解．
【详解】解：①∵小明同学骑车去东营市图书馆借书，之后骑车回家，
由图可知，小明家离图书馆2400米，
∴小明共骑行了4800米，
故①是错误的，不符合题意；
②由图可知，小明在图书馆停留了（分钟），
故②是正确的，符合题意；
③小明从家到图书馆路上的平均速度为（米/分钟），
故③是正确的，符合题意；
④小明从图书馆回家路上的平均速度为（米/分钟），
故④是错误的，不符合题意；
综上所述，正确的说法是②③，共有2个，选B．
【变式2】（23-24八年级下·广东广州·期末）为了锻炼身体增强体质，小何同学在某周末上午9时骑自行车离开家去绿道锻炼，15时回家，已知小何离家的距离s(km)与时间t(h)之间的关系如图所示．

根据图象解答下列问题：
(1)写出小何离家的最远距离；
(2)小何途中共休息了几次，每次休息多长时间？
(3)小何由离家最远的地方返回家时的平均速度是多少？
【答案】(1)
(2)2次，0.5小时和1小时
(3)
【分析】（1）首先根据图象找到离家最远的距离，由此即可确定他到达离家最远的距离；
（2）根据图象可以直接看出纵坐标表示离家的距离，从横坐标中找到时间点，即可得出答案；
（3）根据返回时所走路程和使用时间即可求出返回时的平均速度．
【详解】（1）解：利用图象的纵坐标得出小何骑自行车离家的最远距离是；
（2）根据图象得出有两段时间纵坐标不变，得出途中小何共休息了2次；利用横坐标得出休息时间为：0.5小时和1小时；
（3）∵返回时所走路程为，使用时间为2小时，
∴返回时的平均速度为：．
【点睛】此题主要考查了看函数图象，解决本题的关键是读懂图意，然后根据图象信息找到所需要的数量关系，利用数量关系即可解决问题．
【变式3】（23-24七年级下·山东青岛·期末）在某次大型的活动中，用无人机进行航拍，在操控无人机时根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同．设无人机的飞行高度（米）与操控无人机的时间（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：
(1)无人机在米高的上空停留的时间是______分钟；
(2)在上升或下降过程中，无人机的速度为______米/分钟；
(3)图中表示的数是______；表示的数是______；
(4)求第分钟时无人机的飞行高度是多少米？
【答案】(1)
(2)
(3)；
(4)
【分析】（）根据图像找到无人机在米高空的起止时间，用结束时间减去开始时间，算出停留时长；
（）利用分钟的高度变化，根据速度公式求出无人机上升/下降的速度即可；
（）分别计算上升到米的时间，以及从米下降到地面的时间，即可得出答案；
（）先算出第12分钟到第分钟的下降高度，用米减去下降高度，得到此时的飞行高度．
【详解】（1）解：由图像可知，无人机在米高空时，对应时间从分钟到分钟，
停留时间为（分钟）；
（2）解：分钟内，无人机分钟上升了（米），
因此上升/下降速度为（米/分钟）；
（3）解：求：无人机从原点上升到米，速度为米/分钟，
时间；
求：无人机分钟开始从米高度下降，
下降总时间为（分钟），
因此；
（4）解：第分钟时，无人机已经下降了（分钟），
下降高度为（米），
因此此时飞行高度为（米）．
【变式4】（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，甲、乙两人于某日下午从P地前往Q地，图中的折线和线段分别表示甲与乙所行驶的路程s和时间t的关系.根据图象回答下列问题：
(1)两地相距______千米；
(2)甲出发______小时后，乙才开始出发；
(3)甲在段路程中的平均速度是______千米/小时；乙的平均速度是______千米/小时；
(4)根据图象上的数据，乙出发后经过多少小时追上甲．
【答案】(1)50
(2)1
(3)10，50
(4)0.5小时
【分析】本题主要考查了函数图象和一元一次方程，
（1）观察图象可得结论；
（2）观察图象可得结论；
（3）根据路程除以时间可得答案；
（4）设乙出发后经过t小时追上甲，再根据等量关系列出方程，求出解即可．
【详解】（1）乙2时出发，3时行驶50千米到达了Q地，所以两地相距50千米．
故答案为：50；
（2）甲1时出发，乙2时出发，所以甲出发1小时后，乙才开始出发．
故答案为：1；
（3）甲2时走到了20千米，4时走了40千米，
所以段路程中的平均速度是（千米/小时）；
乙的平均速度是（千米/小时）．
故答案为：10，50；
（4）解：设乙出发后经过t小时追上甲，依题意得，
，
解得，
∴乙出发后经过0.5小时追上甲．
题型二 分段函数图象与计算
【例2】（25-26九年级上·河南开封·期末）如图，中，，点D为的中点，动点P从点A出发沿运动到点B．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则的长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】A
【分析】从函数图象终点得到直角三角形两直角边之和，从图象峰值得到点到达时的最大面积为12．利用直角三角形斜边中点性质，得到 面积与两直角边的关系，联立两直角边之和的方程，解出两直角边的乘积．结合勾股定理，通过两直角边的和与积，计算出斜边的长度．
【详解】解：动点从沿到，总路程（由图2终点得）．
当到时，面积最大为12；
是中点，故到的高为．
设，，
则
化简得：
根据勾股定理：
代入数值：
开方得：．
【点睛】从函数图象中提取直角边之和与最大面积的信息，再构建方程求解边长．
【变式1】（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在长方形中，厘米，厘米，动点从点出发，沿路线运动，到点停止；点出发时的速度为厘米/秒，秒时点的速度变为厘米/秒，秒后点以厘米/秒速度匀速运动．如图是点P出发秒后，的面积（平方厘米）与时间（秒）之间的关系图象．有以下结论：①，；②；③点从点运动到点用时秒；④当的值为时，点运动的路程为厘米．其中正确结论的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】本题考查用图象表示两个变量间的关系、一元一次方程的几何应用，能从图象中获取有用信息并正确求解是解答的关键．根据图象结合三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：结论①，
在长方形中，，当在上运动时，的面积，
由图，时，
代入得：，
解得，
初始速度为，因此秒，
秒时，同理得，刚好到达点，
从到，共秒，走了，
因此速度，结论①正确；
结论②，
总路程为，前秒走了，
剩余路程，速度为，
剩余时间秒，
总时间秒， 结论②错误；
结论③点从点运动到点用时秒；
∵长，速度为，
∴用时秒， 结论③正确；
结论④当的值为时，点运动的路程为厘米
前秒路程：，秒共秒，
路程：，
总路程，不是； 结论④错误；
正确的结论是①、③，共个．
【变式2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图1，在中，，点从点出发沿着运动，记点运动的路径长为的面积为与的函数图象如图2所示，则下列说法正确的是（ ）
A．的长度为6
B．的面积为6
C．的周长为9
D．
【答案】D
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，二次根式的计算，解题的关键在于根据动点问题的函数图象获取需要的信息．
由题意可知，，设，则，结合图象得到，进而求出，利用勾股定理，以及函数图象中的信息逐项分析求解，即可解题．
【详解】解：由题意可知，，
设，则，
当点运动到点时，，
解得或，
或，
故A选项错误，不符合题意；
由图知，当点运动到点时，的面积 的面积，
故B选项错误，不符合题意；
的周长为，
故C选项错误，不符合题意；
当，则，
；
当，则，
；
故D选项正确，符合题意；
故选：D．
【变式3】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图1，在等腰直角三角形中，，点为边的中点，动点从点出发，沿边方向匀速运动，运动到点时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（ ）
A． B．4 C．8 D．16
【答案】B
【分析】本题考查了根据函数图象得到信息，三角形中位线，等腰直角三角形的性质；根据运动轨迹可得的面积先增大再减小，可得当点P运动到点C时，的面积最大为16，即可求得，再利用三角形中位线定理即可解答．
【详解】解：根据题意动点P从点A出发，沿边方向匀速运动过程中，的面积先增大再减小，当点P运动到点C时，的面积最大，根据函数图象可得此时的面积为16，如图，
∵等腰直角三角形，，点D为边的中点，
∴，
∴，
当点P运动到的中点时，
∵点D为边的中点，
∴；
故选：B.
题型一 函数的三种表示方法
【例1】（24-25七年级下·山西晋中·期末）小明为了了解水温的变化规律，连续测量并记录一杯开水在室温下的温度变化情况，得到下表：
时间/min 0 5 10 15 25 35 45 55 65 70
温度/℃ 98 71 55 45 35 28 24 22 22 22
根据上表，回答问题：
(1)室温大概是________℃；
(2)你能描述在室温下开水温度随时间变化的特点吗？
(3)某种奶粉的适宜冲泡温度为42℃，小明想冲泡这种奶粉，水烧开后大约需要等多久？
【答案】(1)22
(2)在室温下开水随时间的增加温度逐渐降低，最后与室温保持一致
(3)18分钟
【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系，
（1）根据表格可知从55min开始水温不在发生变化，此时水温约等于室温，即可得出结果；
（2）根据表格数据描述特点；
（3）结合表格数据分析求解．
【详解】（1）解：由表格可知，从55min开始水温不在发生变化，为22℃，
∴当天的室温大概是22℃；
故答案为：22．
（2）解：由表格数据可得在室温下开水随时间的增加温度逐渐降低，最后与室温保持一致；
（3）解：结合表格数据可得从15min至25min之间，平均每分钟温度降低1℃，
∴某种奶粉的适宜冲泡温度为42℃，小明想冲泡这种奶粉，水烧开后大约需要等18分钟．
【变式1】（23-24七年级下·广东佛山·期末）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度随所挂物体的质量变化关系的图象如下：
(1)上图反映哪两个变量之间的关系？
(2)根据上图，补全表格：
0 1 2 5 7
12 16
(3)弹簧长度是如何随悬挂物体质量的变化而变化的？
【答案】(1)弹簧的长度与所挂物体的质量的变化关系
(2)见解析
(3)当所挂物体的质量不超过时，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加；当所挂物体的质量超过时，弹簧的长度为，不随所挂物体的质量的变化而变化．
【分析】本题考查了函数的基本概念，函数的表示方法：
（1）直接观察图象，即可求解；
（2）直接观察图象，即可求解；
（3）直接观察图象，即可求解．
【详解】（1）解：反映了弹簧的长度与所挂物体的质量的变化关系；
（2）解：根据上图，补全表格：
0 1 2 4 5 7
8 10 12 16 18 18
（3）解：由图象得：
当所挂物体的质量不超过时，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加；
当所挂物体的质量超过时，弹簧的长度为，不随所挂物体的质量的变化而变化．
【变式2】某市为了规范车辆分流，在道路中央安装隔离护栏（如图所示），已知每根立柱宽为0.2米，立柱间距为3米．
(1)根据下图，将表格补充完整：
立柱根数 1 2 3 4 5 …
护栏总长度/米 0.2 3.4 ______ 9.8 ______ …
(2)设有x根立柱，护栏总长度为y米，则y与x之间的关系式是什么？
(3)若总长477米的街道需要安装隔离护栏，请问需要安装立柱多少根？
【答案】(1)6.6，13
(2)
(3)隔离护栏总长度为477米时立柱的根数为150根
【分析】（1）根据图示规律列式计算即可．
（2）由题意得y与x之间的关系式为：，化简即可；
（3）当时，代入y与x之间的关系式，求解即可．
【详解】（1）解：根据题意可以计算：
当立柱根数为1时，护栏总长度为（米），
当立柱根数为2时，护栏总长度为（米），
当立柱根数为3时，护栏总长度为（米），
当立柱根数为5时，护栏总长度为（米）
将表格补充完整：
立柱根数 1 2 3 4 5 …
护栏总长度/米 0.2 3.4 6.6 9.8 13 …
（2）解：由题意得y与x之间的关系式为
（3）解：当时，，
解得，
答：隔离护栏总长度为477米时立柱的根数为150根．
【变式3】（24-25七年级下·山西晋中·期末）综合与探究
如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”的寓意．
该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的，向此简易“公道杯”中匀速注入清水，一段时间后停止，再等水完全排尽，再次注入……．在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，部分数值如下：
时间（t/s） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …
水位高度（h/cm） 0 3 6 3 0 …
根据以上信息，解决下列问题：
(1)完善表中的数据，并根据水位和时间的关系在上图中描出反映水位高度随时间的变化而变化的部分大致图象；
(2)结合表格或图象，当______时，杯中水位第一次最高，是______；
(3)在自动向外排水开始前，杯中水位上升的速度为______；当时，水位高度是______；
(4)请你探究写出第二次水位最高时t的值为______；请你简要描述水位高度随时间的变化情况；
(5)开始注水时，小明有事离开，那么他五分钟后回来观察水位应该是______．他接着观察到水位是上升还是下降？
【答案】(1)如表
时间（t/s） 1 2 3 4 5 6 7 8 …
水位高度（h/cm） 3 6 3 0 …
如图
(2)4，6
(3)，3
(4)12，如：在，水位高度随时间逐渐上升，在，水位高度随时间逐渐下降
(5)6，下降
【分析】本题主要考查了坐标系中描点、函数的表示、函数图象、图象规律等知识点，观察表格并从中获取正确信息是解题的关键．
（1）将表中数据完善后，描点连线即可解答；
（2）由表格即可求解；
（3）由表格即可求解；
（4）观察表格和图象即可解答；
（5）由，然后，可知此时水位在最高处，据此即可解答．
【详解】（1）解：完善数据后，在直角坐标系中描出表中各组已知对应值为坐标的点如下：
时间（t/s） 1 2 3 4 5 6 7 8 …
水位高度（h/cm） 3 6 3 0 …
根据表格作图如下：
（2）解：由表格可知：
当时，杯中水位最高，最高水位为．
故答案为：4，6；
（3）解：由表格可知：
自动排水前，每经过1秒钟，水位上升，即杯中水位上升的速度为；
由函数图象可得：当时，开始注水，经过2分钟，即当时，水位高度是______
故答案为：，3．
（4）解：由函数图象可知：从开始注水，当时，水位最高，然后开始放水；当时，水位为0，然后开始注水；当时，第二次水位最高．则在，水位高度随时间逐渐上升，在，水位高度随时间逐渐下降．
故答案为：12，在，水位高度随时间逐渐上升，在，水位高度随时间逐渐下降．
（5）解：，
，
所以此时水位在最高处，即，紧接着水位下降．
故答案为：6，下降．
题型二 函数图象与动点运动问题
【例2】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在长方形中，．点在上运动，设，图中阴影部分的面积为．
(1)在这个变化过程中，自变量是_____________，因变量是_________________；
(2)写出阴影部分的面积与之间的关系式；
(3)点在什么位置时，阴影部分的面积为20？
【答案】(1)的长，阴影部分的面积
(2)；
(3)点到点的距离为3时，阴影部分的面积为20．
【分析】该题考查了变量、函数关系式，解题的关键是列出函数关系式．
（1）根据题意即可解答；
（2）根据梯形面积公式即可求出y与x的函数关系式；
（3）直接将代入（1）中所得的关系式，从而可求得x的值．
【详解】（1）解：自变量是的长，因变量是阴影部分的面积；
（2）解：因为，
所以图中阴影部分的面积为：，
所以阴影部分的面积与之间的关系式为；
（3）解：由题意得，则，
解得：，
所以，
即点到点的距离为3时，阴影部分的面积为20．
【变式1】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）已知动点P以的速度沿如图1所示的边框以的路径运动，记的面积为，s与运动时间的关系如图2所示，若．请回答下列问题：
(1) ， ， ．
(2)当的面积为15时，求出t的值．
(3)若是等腰三角形时，请直接写出t的值．
【答案】(1)8；24；17
(2)t或
(3)或或
【分析】本题考查动点问题的函数图象，等腰三角形的性质，速度、时间、路程之间的关系，三角形的面积等知识，采用了数形结合的思想方法．解题的关键是读懂图象信息．
（1）因为点速度为，所以根据图的时间可以求出线段，和的长度；由图像可知的值就是的面积，的值就是运动的总时间，由此即可解决；
（2）分两和情况，由三角形面积可得出答案；
（3）分，，三种情况，利用矩形的判定及性质及等腰三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：由图2可知，点从的运动时间为，
∴，
由图2可知，点从的运动时间为：，
∴，
由图2可知，点从的运动时间为，
∴．
根据题意得：
，
∵，
∴
．
∴图2中的值为，的值为．
故答案为：8；24；17．
（2）解：①当点P在上时，
，
∴，
此时；
②当点P在上时，
，
∴，
即还剩，P点运动到A点，
∴此时，
综上，或时，的面积S是15；
（3）解：如图，当时，，
如图，当时，过点作于，
∴
由题意得
∴四边形是长方形，
∴，
∴；
如图，当时，
，
综上，若是等腰三角形时，的值为或或．
【变式2】（24-25七年级下·黑龙江鸡西·期末）如图，在以A为原点的平面直角坐标系中，有一个长方形，，，且．E是边上的一点，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，最终到达点C．设点P运动的时间为t秒．
(1)填空：________，________；
(2)求出点P在运动过程中三角形的面积S（用含t的式子表示）；
(3)是否存在一点P，使三角形的面积等于20？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)8，6；
(2)
(3)存在，或
【分析】本题考查了坐标与图形、一元一次方程、函数解析式等知识点，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
（1）根据非负数的性质即可得到结论；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）假设存在点使的面积等于20，在两种情况下求出相应的值即可．
【详解】（1）解：，，
，，
故答案为：8，6；
（2）由（1）知，，，
四边形是长方形，
，，
①如图1，当时，
；
②如图2，当时，
，
即
（3）存在，
①如图1，当时，
，解得；
∴
②如图2，当时，
，
解得；
综上可知，点P的坐标为或
【变式3】（24-25八年级上·四川成都·期末）已知：如图，在中，，，，的角平分线交边于点D．点P从点C出发，沿着运动，设．过点P作角平分线的垂线，交射线，射线于点M，点Q．
(1)当时，
①求证：；
②设，求y与x之间的函数表达式．
(2)当是等腰三角形时，求线段的长．
【答案】(1)①见解析；②
(2)的长为或
【分析】（1）①连接，证明，得，由线段垂直平分线的性质即可得；
②由角直角三角形的性质得，由角平分线及角直角三角形的性质、勾股定理得；由题意及已证表示出，则可求得函数关系式；
（2）分三种情况考虑：；，分别进行讨论求解即可．
【详解】（1）①证明：如图，连接，
∵平分，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴垂直平分线段，
∴；
②解：∵，，，
∴，；
∵平分，
∴，
∴；
由勾股定理得：，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
即y与x之间的函数表达式为；
（2）解：当时，如图；
由（1）①知，，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
即；
当时，如图；
由（1）①知，，，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，
∴，
∴，
即；
当时，垂直平分线段，此时，点P与点C重合，不符合题意；
综上，的长为或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含角直角三角形的性质及勾股定理，求函数关系式，分类讨论思想等知识与方法，掌握这些知识是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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