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专题06 一次函数
知识点一、一次函数的概念
2、一次函数的概念：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．其中x是自变量， 特别地当b=0时，y＝kx+b即y＝kx，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
知识点二、正比函数的图象与性质
1、正比例函数的图象：
正比例函数y=k x(k≠0)的图象是经过原点（0,0）和点(1，k)的一条直线.
2、正比例函数的性质：
正比例函数y＝k x（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝k x．
当k＞0时，直线y＝k x依次经过第一、三象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；
当k＜0时，直线y＝k x依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．
越大,y随x的增大而增大( 或减小)的速度越快.
知识点三、一次函数的图象与性质
1、一次函数图象的画法：
两点法：经过两点（0，b）、（，0）或（1，k+b）作直线y＝k x+b．
【注意】①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．
②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
2、一次函数的性质：
当k＞0时，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；
当k＜0时，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
越大,y随x的增大而增大( 或减小)的速度越快.
3、一次函数图象与系数的关系
直线y＝k x+b（k≠0）的位置由k和b的符号决定．其中k决定直线从左到右呈上升还是下降趋势；b决定直线与y轴的交点的位置是正半轴，负半轴，还是原点.
当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；
当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴上，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0 y＝k x+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0 y＝k x+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0 y＝k x+b的图象在一、二、四象限；
4、一次函数图象的平移
将直线y＝k x（k≠0）沿着y轴平移|b|个单位得到直线y＝k x+b．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
【注意】①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
知识点四、一次函数的应用
1、利用一次函数解决实际问题，关键是分析题中的数量关系，联系实际生活及以前学过的内容，将实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用函数的性质解决问题.
2、在研究有关一次函数的实际问题时的解题步骤：
审题：认真读题，分析题中各个量之间的关系；
设自变量：根据各个量之间的关系设满足题意的自变量；
列函数解析式：根据各个量之间的关系列出函数解析式；
解决问：利用函数解析式或图象的性质解决问题；
得出结果.
知识点五、一次函数的方程、不等式的关系
1、一次函数与一元一次方程的关系
从“数”的角度看: 求ax+b＝0（a≠0）的解就是函数y＝ax+b（a≠0）中，y=0时，x的值.
从“形”的角度看：求ax+b＝0（a≠0）的解就是直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标.
2、一次函数与二元一次方程（组）的关系
从“数”的角度看：解方程组，相当于当求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看：解方程组，相当于确定的两条直线的交点坐标.
3、一次函数与一元一次不等式（组）的关系
从“数”的角度看：就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从“形”的角度看：就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
题型一 正比例函数的定义
【例1】（25-26八年级上·安徽宣城·期末）下列函数是正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的定义是形如（k是常数，）的函数．
根据正比例函数的定义逐一判断即可．
【详解】解：A．，不符合正比例函数的定义，不是正比例函数；
B．，不符合正比例函数的定义，不是正比例函数；
C．，符合正比例函数的定义，是正比例函数；
D．，不符合正比例函数的定义，不是正比例函数；
故选：C．
【变式1】（25-26八年级上·贵州毕节·期末）下列函数中，是的正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正比例函数的定义，关键是根据定义进行判断；根据正比例函数的定义（形如，其中为常数且），对各选项逐一判断.
【详解】解：∵正比例函数的定义为形如（是常数，）的函数，
∴对各选项分析如下：
A选项含有常数项，不符合正比例函数定义；
B选项含有常数项，不符合正比例函数定义；
C选项中自变量的次数为，不符合正比例函数定义；
D选项可表示为，其中，符合正比例函数定义；
故答案选：D．
【变式2】（24-25八年级上·四川达州·期末）已知函数是正比例函数，则k的值为______．
【答案】1
【分析】根据正比例函数的定义，列出关于的方程，求解即可得到的值．
【详解】解：∵函数是正比例函数，
∴，
∴．
【变式3】（25-26八年级上·江西抚州·期末）已知函数（m是常数）是正比例函数，则_______．
【答案】1
【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义，函数形式应为，因此常数项必须为0且x的系数不为0，即可作答．
【详解】解：∵函数（m是常数）是正比例函数，
∴，
解得，
故答案为：1．
题型二 一次函数的定义
【例2】3．（24-25八年级下·上海·期末）下列四个函数中，一次函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】依据一次函数的定义进行解答即可，一次函数的定义：一般地，形如（，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
【详解】解：A、，自变量x的最高次数为2，不是一次函数，故该选项不符合题意；
B、，是一次函数，故该选项符合题意；
C、，不是一次函数，故该选项不符合题意；
D、，不是一次函数，故该选项不符合题意．
【变式1】（25-26八年级下·福建南平·期中）下列函数关系式：①；②；③；④其中一次函数的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：①是一次函数；②是一次函数；③不是一次函数；④不是一次函数．
其中一次函数的个数是2个．
【变式2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）要使是关于的一次函数，则的值为______．
【答案】
【分析】此题考查一次函数的定义，由一次函数定义，得 且，解得或，然后代入判断即可，掌握一次函数的定义是解题的关键．
【详解】解：由一次函数定义，得 且，
解得或，
当 时，，不符合条件；
当时，，符合条件；
∴，
故答案为：．
【变式3】（24-25八年级上·宁夏固原·期末）已知函数是关于x的一次函数，则_________．
【答案】
【分析】本题考查的是一次函数的定义，由定义可得，且，从而可得答案．
【详解】解：函数是关于x的一次函数，
则，且，
解得，
故答案为：．
题型三 求一次函数自变量或函数值
【例3】（23-24八年级上·四川甘孜·期末）已知点在一次函数的图象上，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标满足函数解析式，将点A的横坐标代入解析式即可求出a的值．
【详解】解：∵点在一次函数的图象上，
∴将代入一次函数，得
，
即的值为2．
【变式1】（25-26八年级上·四川成都·期末）若点在直线上，则代数式的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，代数式求值，解题的关键是掌握一次函数图象上点的特征．先将点代入直线解析式得到与的关系式，再对所求代数式变形，代入关系式计算即可得出结果．
【详解】解：点在直线上，
，
，
．
故选：B．
【变式2】（23-24八年级上·江苏扬州·期末）已知点在一次函数的图象上，则_____．
【答案】
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将点P的坐标代入函数解析式，变形即可求出所求代数式的值．
【详解】∵点在一次函数的图象上，
∴将点坐标代入，得，
移项整理得：．
【变式3】（25-26七年级上·山东烟台·期末）若点在函数的图象上，则代数式的值为____．
【答案】
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及代数式求值，关键是利用“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，得到与的关系式，再通过整体代入法计算代数式的值．
【详解】解：∵点在函数的图象上，
∴得，即，
∴；
故答案为：．
题型四 正比例函数的图象与性质
【例4】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）下列各点中，在正比例函数的图像上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】判断点是否在正比例函数图像上，可将点的横坐标代入函数解析式，计算对应的纵坐标，若与点的纵坐标相等，则该点在函数图像上，据此逐一验证选项即可．
【详解】解：A、 ∵当时，，∴此点不在的图像上．
B、∵当时，，∴此点不在的图像上．
C、∵当时，，∴此点在的图像上．
D、∵当时，，∴此点不在的图像上．
【变式1】若正比例函数图象经过第二、四象限，且过点和，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据正比例函数图象经过二、四象限，确定，再将两点坐标代入解析式得到关于的方程组，通过代入消元法求出的值，结合的正负取值，最终确定的值．
【详解】解：∵正比例函数图象经过第二、四象限，
∴，
∵点和都在上，坐标满足函数解析式：
代入点：，化简得，
代入点：，化简得，
把代入得：，
整理得：，
结合，得．
【变式2】一个正比例函数的图象经过，两点，且过第一、三象限，则这个正比例函数的图象一定也经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先设正比例函数的解析式，根据已知两点坐标列方程求出比例系数，结合函数过第一、三象限确定比例系数的取值，得到函数解析式后验证选项即可得到结果．
【详解】解：设正比例函数为，
∵正比例函数的图象过第一、三象限，
∴，
将点，代入，得，
，
解得（负值舍去），
∴正比例函数为，
当时，，
∴点不在的图象上；
当时，，
∴点在的图象上；
点和点在第二象限，不符合题意；
综上，这个正比例函数的图象一定也经过点．
【变式3】（24-25八年级下·云南昭通·期末）已知正比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象是一条双曲线 B．图象必经过点
C．图象经过第一、三象限 D．随的增大而减小
【答案】C
【分析】本题考查正比例函数的图象和性质，根据正比例函数的定义及系数的符号逐一分析判断即可.
【详解】解： 选项A：正比例函数的图象是一条过原点的直线，而非双曲线（双曲线是反比例函数的图象），因此A错误；
选项B：将代入函数，得，即图象经过点，而非，故B错误；
选项C：系数，正比例函数中当时，图象经过第一、三象限，因此C正确；
选项D：由于，函数中随的增大而增大，而非减小，因此D错误；
故选：C
题型五 判断一次函数的图象
【例5】已知正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正比例函数的性质判断出k的符号，再根据一次函数图象与系数的关系确定图象经过的象限即可．
【详解】解：∵正比例函数的函数值y随x的增大而减小，
∴，
∴一次函数中，，，
∴该函数图象经过第一、三、四象限，观察选项，只有B选项符合题意．
【变式1】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如果实数a，b满足，，则函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，利用，得到，，然后根据一次函数图象与系数的关系进行判断．
【详解】解：∵实数a，b满足，，
∴，，
∴，
∴函数的图象经过第二、四象限，且与y轴的交点在x轴下方．
故选：B．
【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知点，都在一次函数（，k，b为常数）的图象上，则该函数图象可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
根据点、的坐标关系，可求解出，即可排除C、D，结合当时，的值越小，一次函数所表示的直线越陡，可判断出正确选项．
【详解】解：将点，代入一次函数表达式，
得，解得，
即，且，
观察各选项图象，选项、满足，
∵当时，的值越小，一次函数所表示的直线越陡，
选项A中满足，选项B满足，
故判断出选项满足题意要求，
故选：A．
【变式3】（25-26八年级上·山东济南·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了一次函数和正比例函数的图象，熟记一次函数的性质是解题的关键，先根据一次函数与坐标轴的交点排除A、B、C，进而可得出D正确．
【详解】解：，一次函数过点．
A、一次函数过点，
由一次函数的图象可得，即，
而正比例函数图象可得，不合题意；
B、一次函数不过点，不合题意；
C、一次函数不过点，不合题意；
D、一次函数过点，
由一次函数的图象可得，即，
而正比例函数图象可得，符合题意．
故选：D．
题型六 一次函数图象与坐标轴的交点问题
【例6】23．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）一次函数的图象与x轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数图象与x轴交点坐标的求法，掌握x轴上点的纵坐标为0是解题关键，只需将代入函数解析式求解x即可得到交点坐标．
【详解】解：∵x轴上的点纵坐标为0
∴将代入中，得，
解得：，
∴该一次函数图象与x轴的交点坐标是．
故选：A．
【变式1】（23-24八年级下·辽宁大连·期末）直线与轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把代入即可求出直线与轴的交点坐标．
【详解】解：当时，，
，
即直线与轴的交点坐标为．
【变式2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向右平移2个单位长度，则平移后的函数图象与y轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数图象的平移规律及函数图象与y轴交点的求法．先根据“左加右减”的平移规律得到平移后的函数解析式，再令求出y的值，即可得到交点坐标．
【详解】解：∵一次函数的图象向右平移2个单位长度，
∴平移后的函数解析式为，
对于，令，则，
∴平移后的图象与y轴的交点坐标为，
故选：A．
【变式3】如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A、B．
（1）根据图象，求一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式；
（2）将直线AB向下平移5个单位后经过点（m，﹣5），求m的值．
【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）求得平移后的直线的解析式，代入点（m，﹣5），即可求得m的值．
【详解】解：（1）由图象可知，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，6）、B（﹣4，﹣3），
∴，
解得，
所以一次函数的表达式为：yx+3；
（2）将直线AB向下平移5个单位后得到yx+3﹣5，即yx﹣2，
∵经过点（m，﹣5），
∴﹣5m﹣2，
解得m＝﹣2．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象
题型七 一次函数图象的平移问题
【例7】（25-26八年级上·河南开封·期末）直线沿着y轴向上平移5个单位长度后，经过点，则b的值为（ ）
A． B．1 C． D．9
【答案】B
【分析】本题考查一次函数图象的平移规律，利用“上加下减”的平移规律得到平移后的直线解析式，再将已知点代入解析式求解的值即可．
【详解】解：∵直线沿轴向上平移5个单位长度，
∴平移后的直线解析式为，
∵平移后的直线经过点，
∴，
∴．
故选：B．
【变式1】（25-26七年级上·山东淄博·期末）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．则的值为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数图象的平移问题，掌握好平移的规律是关键．
利用“左加右减”的平移法则得到平移后的解析式，再根据对应系数相等列方程求解即可．
【详解】解：∵一次函数图象平移遵循“左加右减”（针对自变量）的法则，
∴将函数的图象向右平移个单位后，解析式为，
又∵平移后得到函数，
∴，且，
∴，解得．
故选：A．
【变式2】（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）将直线向上平移2个单位，所得直线的函数表达式是__________.
【答案】
【分析】根据“左加右减，上加下减”解答即可，掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键．
【详解】解：直线向上平移个单位，所得直线的函数表达式为．
【变式3】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）请写出直线关于轴对称的直线解析式为______．
【答案】
【分析】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握直线关于轴对称点的特点是关键．先求得经过，，设直线关于轴对称的直线解析式为，根据关于轴对称点的特点得出经过点，，待定系数法解析式，即可求解．
【详解】解：∵，当时，当时，
∴经过，
关于轴的对称点为
设直线关于轴对称的直线解析式为
∴线经过点，
∴
解得：
∴
故答案为：．
题型八 一次函数图象与对称问题
【例8】一次函数（为常数，且）的图象关于轴对称后的图象经过点，则的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】利用关于y轴对称的点的坐标变化规律，找到原函数图象上对应的点，代入解析式即可求解k的值．
【详解】解：∵点关于轴对称的点为，对称后的图象经过点，
∴原函数图象上对应点的坐标为，
将代入，得，
解得．
【变式1】在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x+2关于平行于y轴的一条直线对称后得到直线AB，若直线AB恰好过点（6，2），则直线AB的表达式为（　　）
A．y＝2x﹣10 B．y＝﹣2x+14 C．y＝2x+2 D．yx+5
【答案】A．
【分析】根据题意可知它们的k值互为相反数，得到直线AB的解析式为y＝2x+b，把点（6，2）代入求得b的值，即可求得．
【详解】解：由题意得，直线AB的解析式为y＝2x+b，
∵直线AB恰好过点（6，2），
∴2＝2×6+b，解得b＝﹣10，
∴直线AB的表达式为y＝2x﹣10，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一次函数的图象和性质，解题关键是利用对称得到它们的k值互为相反数．
【变式2】（24-25八年级上·江苏镇江·月考）已知一次函数的图像与直线关于x轴对称，则一次函数的表达式为________．
【答案】
【分析】本题主要考查一次函数与几何变换问题，求一次函数表达式，首先求出直线与y轴的交点为，与x轴的交点为，然后根据题意求出一次函数与y轴的交点为，与x轴的交点为，然后利用待定系数法求解即可．
【详解】解：，当时，，
当时，，
∴直线与y轴的交点为，与x轴的交点为，
一次函数的图像与直线关于x轴对称，
一次函数与y轴的交点为，与x轴的交点为，
设一次函数的解析式为，
把，代入得，，
解得：，
所以，一次函数的解析式为：．
故答案为：．
【变式3】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则称点（或点）的纵坐标为函数与的“对偶值”．那么函数与的“对偶值”为______．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称的性质，一次函数的性质．
根据“对偶值”的定义，点在函数上，点在函数上，且与关于轴对称，因此它们的纵坐标相等，横坐标互为相反数．设点的坐标为，
则点的坐标为，代入求出，再求的值即可．
【详解】解：设点的坐标为，
由于点与点关于轴对称，则点的坐标为，
又∵点在函数上，
∴，
即，
解得，
则对偶值为．
故答案为：．
题型九 一次函数图象与旋转问题
【例9】已知一次函数的图象， 绕x轴上一点 旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】先求出直线与坐标轴的交点，再求出绕x轴上一点 旋转后的新坐标，即可由待定系数法求解函数表达式，最后代入求解即可．
【详解】解：对于一次函数，当时，；当时，，解得
∴一次函数的图象与坐标轴的交点坐标为，，
故图象绕x轴上一点旋转后的新坐标，，
设新解析式为，
根据题意，得，
解得，
故函数的解析式为 ，
又图象经过，
∴
解得．
【变式1】（25-26九年级上·天津河东·期末）如图，直线经过点，将绕点顺时针旋转，得到直线．点在上，若，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，根据点在直线上求出，根据点的坐标是，所以当时，，即可知的值可以是．
【详解】解：如下图所示，过点作轴，
当时，，
点的坐标是，
由直线的图像可知随的增大而增大，
当时，，
的值可以是．
故选：D．
【变式2】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+3分别与x轴y轴交于点A和点B，将直线AB绕点A顺时针旋转90°后，所得直线与y轴的交点坐标为（　　）
A．（0，﹣1） B．（0，） C．（0，） D．（0，）
【答案】B．
【分析】设B旋转后的对应点为B′，作B′D⊥x轴于D，通过三角形全等即可求得B′D＝OA＝2，AD＝OB＝3，得到B′的坐标，进而全等直线AB′，进一步全等C点的坐标．
【详解】解：如图，设B旋转后的对应点为B′，作B′D⊥x轴于D，
∵直线yx+3分别与x轴y轴交于点A和点B，
∴A（2，0），B（0，3），
∴OA＝2，OB＝3，
∴B′D＝OA＝2，AD＝OB＝3，
∵AB⊥AC，
∴∠OAB+∠DAB′＝90°＝∠OAB+∠OBA，
∴∠DAB′＝∠OBA，
∵AB＝B′A，
∵∠ADB′＝∠BOA＝90°，
∴△AOB≌△DB′A（AAS），
∴B′D＝OA＝2，AD＝OB＝3，
∴B′（﹣1，﹣2），
∴直线AB′yx，
∴C（0，），
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟知三角形全等是解题的关键．
【变式3】（25-26八年级上·江苏南京·期末）将一次函数（为常数）的图象绕原点顺时针旋转，所得图象与轴交于点，当时，的取值范围是________．
【答案】
【分析】本题考查一次函数图象的旋转以及一次函数与坐标的交点问题，掌握一次函数图象的旋转是解题的关键．一次函数中，令，则，当一次函数绕原点顺时针旋转后，则的对应点为，得到，分别当和时讨论，即可解得．
【详解】解：在一次函数中，令，则，
∴直线经过点，
将一次函数的图象绕原点顺时针旋转，
则的对应点为，
旋转后图象与轴交于点，
，
，
，
当时，，解得，即；
当时，，解得，与矛盾，无解；
的取值范围是，
故答案为：．
题型十 判断一次函数的增减性
【例10】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，点A，均在直线上．若，则k的值可能为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
根据题意可知，随着的增大而减小，进一步得到，即可求出答案．
【详解】解：∵点A，均在直线上．，，
∴随着的增大而减小，
∴，
∴，
∴k的值可以为2，
故选：D．
【变式1】（25-26八年级上·福建漳州·期末）若一次函数的函数值随的增大而减小，则的值可以是（ ）
A．－1 B．0 C．－2 D．2
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的性质，对于，当时，y随x的增大而减小．
根据一次函数的性质，当小于0时，函数值y随x的增大而减小，列不等式计算即可．
【详解】解：∵函数的函数值y随x的增大而减小，
，即，
观察选项，，符合条件，
故选：C．
【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）关于x的一次函数，y随x增大而增大，则m的取值范围是________．
【答案】
【分析】本题考查一次函数的性质．根据一次函数的性质，当一次函数的比例系数大于0时，函数值随的增大而增大，列不等式求解即可．
【详解】解：关于的一次函数中，随增大而增大，
，解得．
故答案为：．
【变式3】（25-26八年级上·四川成都·期末）若点，都在一次函数的图象上，且，则实数a的取值范围是__________ ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
根据一次函数的性质，判断一次函数中k的正负即可．
【详解】解：∵点和点都在一次函数的图象上，且，
又∵，
∴随的增大而增大，
∴，
∴，
故答案为：．
题型十一 一次函数的性质
【例14】（23-24八年级上·江苏连云港·期末）关于函数，下列结论正确的是( )
A．函数必经过点 B．y随x的值增大而增大
C．与x轴交于 D．图象经过第一、二、四象限
【答案】D
【分析】根据一次函数的性质，逐一验证各选项即可得到答案.
【详解】解：函数为，其中，，
∵当时，，
∴函数不经过点，A错误；
∵，
∴随的值增大而减小，B错误；
∵函数与轴相交时，令得，解得，
∴函数与轴交于，C错误；
∵，，
∴函数图象经过第一、二、四象限，D正确.
【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）对于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数图象经过点
B．函数图象与y轴的交点坐标是
C．函数的图象不经过第一象限
D．函数图象向左平移4个单位得到函数的图象
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的图象与性质，涉及函数上的点、与坐标轴交点、图象经过象限、函数平移等知识点，逐项分析判断即可得出答案．
【详解】A、当时，，函数图象不经过点，此选项错误，不符合题意；
B、当时，，函数图象与轴的交点坐标是，此选项错误，不符合题意；
C、在中，，，函数图象经过第一、三、四象限，此选项错误，不符合题意；
D、函数图象向左平移4个单位，根据“左加右减”的平移原则，平移后解析式为，此选项正确，符合题意；
故选：D．
【变式2】下列关于一次函数图象的描述，不正确的是（）
A．y随x的增大而增大 B．图象不经过第二象限
C．图象经过点 D．图象与y轴的交点坐标是
【答案】D
【分析】根据一次函数的性质判断选项A，B，求出时的函数值，即可判断选项C，把代入解析式，求出函数值即可得到图象与y轴的交点坐标，即可判断选项D．
【详解】解：A选项：∵一次函数中，，
随的增大而增大，故本选项正确；
B选项：∵一次函数中，，
一次函数图象经过第一，三，四象限，不经过第二象限，故本选项正确；
C选项：当时，，
图象经过点，故本选项正确；
D选项：当时，
图象与轴的交点坐标是，不是，故本选项错误．
【变式3】关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图像与轴的交点
B．随着的增大而增大
C．图像经过第一、二、四象限
D．其图像可由的图像向上平移5个单位长度得到
【答案】C
【分析】根据一次函数的交点坐标求法、增减性、图象象限判断规律、平移规律，逐一判断各选项即可．
【详解】解：A．令，得，解得，因此图象与轴交点为，A错误，不符合题意．
B． 一次函数中， 随的增大而减小，B错误，不符合题意．
C． ，，图象经过第一、二、四象限，C正确，符合题意．
D． 的图象向上平移个单位长度得到，不是，D错误，不符合题意．
题型十二 根据一次函数增减性求参数
【例11】已知一次函数，随的增大而减小，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】一次函数()中，当时，随的增大而减小，据此列不等式求解即可．
【详解】解：一次函数中，随的增大而减小
一次项系数满足
解不等式得．
【变式1】已知点和都在直线上，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题利用一次函数的增减性求解，根据x和对应y的大小关系，判断一次函数一次项系数的正负，进而求出k的取值范围．
【详解】解：∵已知，且，点都在直线上，
∴随的增大而增大，可得一次项系数大于，
即，
解得．
【变式2】（24-25八年级下·上海·期末）已知一次函数，如果函数值y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的性质与系数的关系，先将函数整理为标准一次函数形式，再根据随增大而减小的性质列不等式求解即可．
【详解】首先整理一次函数得
一次函数随的增大而减小，
一次项系数，
解不等式得．
故选C．
【变式3】若一次函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】由一次函数的图象不经过第二象限，可得一次项系数大于零，常数项小于等于零，列不等式组求解即可．
【详解】解：一次函数的图象是直线且不经过第二象限，
因此一次函数过一、三象限或一、三、四象限，
有：，解得，．
题型十三 比较一次函数的值的大小
【例12】（25-26九年级上·陕西西安·期末）已知点，都在正比例函数的图象上．则y1与y2的大小关系是（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键．根据正比例函数的值判断函数的增减性，再结合两点的横坐标大小比较函数值即可.
【详解】解：∵正比例函数解析式为，
∴随的增大而减小
∵点，都在该函数图象上，且
∴，
故选：A．
【变式1】已知一次函数，点在该函数图象上，且，则下列关系一定成立的是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】C
【分析】根据一次函数解析式中的符号判断随的变化规律，结合的大小关系即可得到的大小关系.
【详解】解：∵一次函数 中，，
∴随的增大而增大.
∵，且点在该一次函数图象上，
∴.
【变式2】，是一次函数图象上的不同的两点，则（ ）
A． B．
C． D．的符号无法判断
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的性质，函数中，随的增大而减小 ，通过分类讨论进行解答即可．
【详解】解：∵一次函数中，
∴随的增大而减小 ，
当时，，
∴，
∴；
当时，，
∴，
∴；
综上所述，．
【变式3】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）已知点，，都在直线上，则、、的值大小关系（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，
根据一次函数的增减性，结合已知点的横坐标大小关系，判断y值的大小顺序即可．
【详解】解：∵直线中，，
∴y随着x的增大而减小．
∵，
∴．
故选：B．
题型十四 求一次函数的解析式
【例13】（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知一次函数的图象经过，两点．
(1)求这个一次函数的关系式；
(2)试判断点是否在这个一次函数的图象上并说明理由．
【答案】(1)；
(2)不在，理由见解析．
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，正确求出一次函数的解析式是解此题的关键．
（1）利用待定系数法，将点，代入一次函数，解方程组求k和b即可；
（2）将点的横坐标代入函数解析式，计算y值，与点的纵坐标比较即可判断．
【详解】（1）解：设一次函数关系式为，由条件可得：
，解得，
这个一次函数的关系式为；
（2）解：点不在一次函数的图象上，理由如下：
当时，，
点不在一次函数的图象上．
【变式1】（24-25八年级下·湖北黄石·期末）已知y是x的一次函数，且当时，；当时，．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)当时，求y的值．
【答案】(1)
(2)31.5
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，求函数值，正确掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）设这个一次函数的表达式为，利用待定系数法求解；
（2）将代入计算即可．
【详解】（1）解：设此一次函数的表达式，
将，；，分别代入此表达式，
即，
解得：，
∴此一次函数的表达式为；
（2）解: 由（1）知，；
则当时，
【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·月考）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)将一次函数的图象向左平移___________个单位长度恰好经过坐标原点．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了求一次函数的解析式，平移性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用待定系数法求一次函数的解析式，即可作答．
（2）先理解题意，设将一次函数的图象向左平移个单位长度恰好经过坐标原点，故，再把代入，解得，即可作答．
【详解】（1）解：设这个一次函数的解析式为，
依题意，把点代入，
得，
解得，
∴；
（2）解：由（1）得，
设将一次函数的图象向左平移个单位长度恰好经过坐标原点，
∴
依题意，把代入，
得
解得，
∴一次函数的图象向左平移个单位长度恰好经过坐标原点．
【变式3】（24-25八年级上·北京·期末）已知一次函数的图象经过点，且与直线平行．
(1)求该一次函数的解析式；
(2)试判断点是否在此函数图象上，说明理由．
【答案】(1)
(2)点不在此函数图象上，理由见解析
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数值，一次函数图象的平移问题，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．
（1）根据题意可得，再利用待定系数法求解即可；
（2）求出时的函数值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵一次函数与直线平行，
∴，
∵一次函数的图象经过点，
∴，即，
∴，
∴该一次函数解析式为；
（2）解：点不在此函数图象上，理由如下：
在中，当时，，
∴点不在此函数图象上．
题型十五 一次函数与方程
【例15】如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的应用，熟练掌握一次函数的图像性质是解题的关键．
根据一次函数的交点求出点P的坐标，据此解答即可．
【详解】解：把点代入与得，
，
，
，
直线与相交于点，
关于的方程的解是，
故选：B．
【变式1】（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，直线过点，，则关于的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，运用数形结合的思想是解此题的关键．根据直线过点，即可得解．
【详解】解：直线过点，
关于的方程的解是．
故选：B．
【变式2】（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，在平面直角坐标系中，两条直线和相交于点，作直线关于轴对称的直线，则关于的二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是明确“两直线的交点坐标就是对应方程组的解”．先求出直线，直线，再求出直线与x轴交于点，由作直线关于轴对称的直线，则直线过点，进而求出直线，根据两直线交点坐标与方程组解的关系，解方程组即可．
【详解】解：∵直线和相交于点，
∴，
解得，
∴直线，直线，
令，解得，
∴直线与x轴交于点，
作直线关于轴对称的直线，则直线过点，
将点代入，则，
解得，
∴直线，
解方程组，
解得，
故选：C．
【变式3】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小；②；③方程的解为；④方程组的解是．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数与一元一次方程的关系、一次函数与二元一次方程组的关系．关键是：一次函数的增减性由的正负决定，是函数图象与轴交点的纵坐标；一元一次方程的解对应函数图象与轴交点的横坐标；二元一次方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标．
【详解】解：①∵一次函数的图象从左到右呈下降趋势，
∴，的值随着值的增大而减小，结论①正确；
②∵一次函数的图象与轴交于正半轴，的图象与轴交于负半轴，
∴，，故，结论②正确；
③∵一次函数的图象与轴的交点为，
∴当时，，即方程的解为，结论③正确；
④∵两个一次函数的图象交点坐标为，
∴方程组的解是，结论④正确；
综上，4个结论均正确，
故选：D．
题型十六 一次函数与不等式
【例16】（24-25八年级下·上海宝山·期末）已知一次函数的图像如图所示，那么下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．当时， D．当时，
【答案】C
【分析】通过观察函数图象经过的坐标点以及图象的升降趋势，结合一次函数中、的几何意义进行判断即可．
【详解】解：由图象可知，直线经过点和，且随的增大而减小，
，故A选项说法正确；
图象与轴交于点，
，故B选项说法正确；
观察图象可知，当时，图象位于轴下方，即，故C选项说法错误；
当时，图象位于轴左侧，即，故D选项说法正确．
【变式1】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，一次函数的图象经过点，若，则x的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数和一元一次不等式的关系，解题的关键是掌握数形结合的思想．
根据一次函数的图象进行求不等式的解集即可．
【详解】解：由图象可知，当时，，
故选：A．
【变式2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题目中的函数图象，当时，函数的图象在轴的上方，再写出对应的取值范围即可．
【详解】解：由一次函数的图象可知，
当时，，
故选：C．
【变式3】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，直线（k，b为常数，且）经过和两点，则关于x的不等式组的解集为_____．

【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．写出一次函数图象在x轴的上方且在的左侧所对应的自变量的值即可．
【详解】解：∵直线经过和两点，
∴当时，，
∴关于x的不等式的解集是，
故答案为：．
题型十七 一次函数的实际应用
【例13】（25-26八年级下·云南昆明·期中）春季的邀约，总是写在风里．本学期，昆明三中“樱为有你”活动在樱花烂漫的时节如约落幕．活动中，某班的同学们怀揣善意，以笔寄情、以墨传暖，计划购进甲、乙两种笔记本共60本进行义卖，所得善款将悉数用于公益帮扶．现将两种笔记本的进价与售价列于下表：
价格类型 进价（元/本） 售价（元/本）
甲 a 10
乙 b 20
(1)已知购进10本甲种笔记本、50本乙种笔记本共花费580元，购进20本甲种笔记本、40本乙种笔记本共花费560元．求甲、乙两种笔记本的进价分别为多少元？
(2)若设甲笔记本的数量为x本（），销售完甲、乙两种笔记本的利润为y元．已知乙笔记本的数量不能超过甲笔记本数量的2倍，为让爱心帮扶的善款更多一些，当甲笔记本购进多少本，同学们在销售完这两种笔记本后能获得利润最多？并求出最大利润．
【答案】(1)甲种笔记本进价为8元，乙种笔记本进价为10元，
(2)购进甲笔记本20本时获得利润最大，最大利润为440元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意，列出函数关系以及二元一次方程组．
（1）根据题意，列出二元一次方程组，然后求解即可；
（2）设利润为元，根据题意，列出与的函数关系，根据题意确定范围，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：根据题意可得，，解得，
答：甲种笔记本进价为8元，乙种笔记本进价为10元；
（2）解：由题意可得，乙种笔记本为本，
根据题意可得，，解得，
设利润为元，由题意可得，，
∵，
∴随增大而减小，
又∵
∴当时，最大为元，
答：购进甲笔记本20本时获得利润最大，最大利润为440元．
【变式1】（25-26八年级下·广东佛山·期中）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”特别纪念版——“马墩墩”于2025年11月28日正式发售．为鼓励学生积极参加体育活动，阳光中学准备购买“冰墩墩”和“马墩墩”奖励在运动会中表现优秀的学生．已知购买1个“冰墩墩”和3个“马墩墩”共需花费332元，购买3个“冰墩墩”和2个“马墩墩”共需380元．
(1)购买一个“冰墩墩”和一个“马墩墩”分别需要多少元？
(2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元且不多于2200元，要使投入资金最少，应如何设计购买方案？最少资金是多少元？
【答案】(1)购买一个“冰墩墩”需要68元，一个“马墩墩”需要88元
(2)应购买24个“冰墩墩”和6个“马墩墩”，最少资金是2160元
【分析】（1）根据题干给出的两个总花费条件，设未知数列二元一次方程组求解即可得到两种吉祥物的单价．
（2）设购买冰墩墩的数量，根据资金范围列一元一次不等式组得到数量的取值范围，再列出总资金的一次函数表达式，利用一次函数的增减性即可求出最小资金和对应购买方案．
【详解】（1）解：设购买一个“冰墩墩”需要元，一个“马墩墩”需要元．
根据题意得 ，
解得 ，
答：购买一个“冰墩墩”需要68元，一个“马墩墩”需要88元．
（2）解：设购买个“冰墩墩”，则购买个“马墩墩”，总投入资金为元．
根据题意得，
由投入资金不少于2160元又不多于2200元，
可得，
解得，
，
随的增大而减小，
当时，取得最小值，，
此时，
答：应购买24个“冰墩墩”和6个“马墩墩”，最少资金是2160元．
【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）随着我国科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．某天它们同时开始工作，工作一段时间后乙机器人停工保养，保养结束后，乙继续和甲机器人一起工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与甲机器人的工作时间（分钟）之间的函数关系如图．
(1)m的值为___________；
(2)求所在直线的函数表达式；
(3)已知该快递公司当天分拣快递的总数为5450件，求乙机器人当天的工作时长．
【答案】(1)3800
(2)
(3)90分钟
【分析】（1）根据两台机器人的分拣速度不变即可求解；
（2）利用待定系数法即可求解；
（3）把代入（2）中所求解析式中即可求解．
【详解】（1）解：在前40分钟与第60分钟到第80分钟，两台机器人分拣的速度不变，
则，
解得；
（2）解：由（1）知，，
∵直线过、两点，
设所在直线的函数关系式为，
将、代入得，解得．
所在直线的函数关系式为．
（3）解：把代入得，
解得，
∴（分钟）
答：该快递公司当天分拣快递的总数为5450件时，乙机器人工作了分钟．
【变式3】甲、乙两个工程组同时铺设高速路段的沥青路面，两组工程队每天铺设沥青路面的长度均保持不变，合作一段时间后，乙工程队因维修设备而停工，甲工程队单独完成了剩下的任务，甲、乙两工程队铺设沥青路面的长度之和（单位：m）与甲工程队铺设沥青路面的时间（单位：天）之间的关系如图所示．
(1)乙工程队铺设沥青路面____________天；甲每天铺设____________米．
(2)求乙工程队停工后关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(3)当甲工程队铺设沥青路面的总长度与乙工程队铺设沥青路面的总长度相等时，乙工程队已经停工____________天．
【答案】(1)30；3
(2)
(3)10
【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到有用信息是解题的关键．
（1）由图可知，前30天甲乙两工程队合作，30天以后甲工程队单独做，据此计算即可；
（2）设乙工程队停工后关于的函数解析式为，用待定系数法求解，再结合图象即可得到自变量的取值范围；
（3）先计算甲乙两工程队每天各铺设沥青多少千米，再计算乙工程队铺设沥青的总长度，设乙工程队已停工的天数为，根据甲工程队铺设沥青的总长度与乙工程队铺设沥青的总长度相等列方程计算即可．
【详解】（1）解：由图可知，前30天甲乙两工程队合作，30天以后甲工程队单独做，
甲工程队铺设沥青了60天，乙工程队铺设沥青了30天，
∴甲每天铺设（米）；
故答案为：30；3；
（2）解：设乙工程队停工后关于的函数解析式为，
将和两个点代入，可得，
解得，
；
（3）解：甲工程队每天铺设沥青（米），
甲乙合作每天铺设沥青（米），
乙工程队每天铺设沥青（米），乙工程队铺设沥青的总长度为（米），
设乙工程队已停工的天数为，
则，
解得：，
答：乙工程队已停工的天数为10天．
题型一 一次函数与规律探究
【例1】（24-25八年级下·福建福州·期末）如下图，直线交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；…记面积为，面积为，面积为，…则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数图象的性质，平面直角坐标系中点坐标的规律计算，理解图示，找出点坐标的规律，面积的计算方法是解题的关键．
根据题意，分别算出，，……的值，找出规律即可求解．
【详解】解：将代入得，，
∴,
∴，
∵，
∴，
∴，
∵轴，且点在直线的图象上，
∴，
∴，
∴，
依此类推，，，，
∴（为正整数），
当时，，
故选：B ．
【变式1】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，按此规律进行下去，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标变化规律及正比例函数的性质，能通过计算得出是解题的关键．根据题意，依次求出，，，…，发现规律即可解决问题．
【详解】解：∵点，且轴，
∴点的横坐标为2，
将代入得，，
∴点的坐标为，
则，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
将分别代入和得，，，
∴，
依次类推，，，…，
∴．
当时，．
故选：B．
【变式2】（25-26九年级上·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及规律探究与指数运算．根据直线的表达式为可得，直线平分第一象限，即直线与轴正半轴的夹角为，由点的坐标为，可得，由作图过程可知，是等腰直角三角形，，同理可得，，， ， (为正整数)，将代入即可解答．
【详解】解：直线的表达式为，
直线平分第一象限，即直线与轴正半轴的夹角为，
点的坐标为，
，
由作图过程可知，，
又，
是等腰直角三角形，
，
同理可得，，，，
所以 (为正整数)，
当时，，
点的横坐标为，
故选：．
【变式3】（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，解析式为的直线a，解析式为的直线b如图所示，直线a交y轴于点A，以为边作第一个等边三角形，过点B作y轴的平行线交直线a于点，以为边作第二个等边三角形 顺次这样作下去，第2020个等边三角形的边长为（　　）
A． B． C．4038 D．4040
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的图象中的规律探索，等边三角形性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识并运用数形结合思维分析是解题的关键．依题意，分别求出前面几个等边三角形的边长，得出规律，即可求解．
【详解】解：如图，延长交轴于点，
当时，，
∴，
即第1个等边三角形的边长为；
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
即第2个等边三角形的边长为2；
延长交轴于点，同理可得，即第3个等边三角形的边长为；
同理得，即第4个等边三角形的边长为；
可得第2020个等边三角形的边长为，
故选：A．
题型二 一次函数与几何最值问题
【例2】（23-24八年级下湖北武汉期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，为线段（端点除外）上一动点，点与点关于轴对称，过点作轴的平行线交的延长线于点，则线段的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查一次函数与几何，对称最短路径的综合，掌握对称最短路径的计算方法，一次函数图像的性质是解题的关键．
根据的最小值就是的最小值，根据点到直线的垂线段最短，可知当时，的值最小，即有最小值，由此可知有最小值，根据等面积法即可求出的长，由此即可求解．
【详解】解：如图，连接，
轴，点关于轴的对称点是点，
，即，
在中，，即是等腰三角形，
即，
，
，
，
，
直线交轴于点，交轴于点，
当时，；当时，，解得，
，，即，，
在中，
，
根据点到直线的垂线段最短，可知:当时，最小，
，
，
的最小值为，
点与点关于轴对称，
的最小值就是的最小值，
最小值为：
故选：B
【变式1】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，点A、B、C的坐标分别为、和．则当的周长最小时，m的值为________．
【答案】2
【分析】本题考查利用将军饮马求三角形的最短周长，待定系数法求一次函数的解析式；
作B关于x轴的对称点，连接，根据A、、C共线时的周长最小时，得，求出所在直线的解析式即可解答．
【详解】解：作B关于x轴的对称点，连接，当A、、C共线时的周长最小时，
∵B，关于x轴对称，，，
∴，
设所在直线的解析式为
则，
解得，
∴所在直线的解析式为，
当时，，即，
故答案为2．
【变式2】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于B，C两点，与正比例函数的图象交于点A，点A的横坐标为4．
(1)求b的值；
(2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围；
(3)若有动点，当取最小值时，求m的值．
【答案】(1)b的值是6
(2)
(3)
【分析】（1）由可求出，把代入即可得b的值是6；
（2）由数形结合思想直接可得，当y1＞y2时，x的取值范围是；
（3）作A关于直线的对称点，根据、关于直线对称，得，，即知P在线段上时，最小，即最小，设直线为，用待定系数法可得直线为，将代入即得．
【详解】（1）解：在中，令得，
∴，
把代入得：，
∴；
（2）由图象可得，当时，x的取值范围是；
（3）作A关于直线的对称点，如图：
∵、关于直线对称，
∴，，
∴，
∴P在线段上时，最小，即最小，
由（1）知，即点，
设直线为，
将代入得：，解得，
∴直线为，
将代入得：，
解得．
【变式3】在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，以为边在第二象限内作正方形．
(1)求点C，D的坐标；
(2)在x轴上是否存在点M，使的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标，利用正方形的性质可得出，，过点作轴于点，过点作轴于点，易证，，再利用全等三角形的性质结合点，所在的位置，即可得出点，的坐标；
（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时取得最小值，即的周长最小，由点的坐标可得出点的坐标，利用待定系数法可求出直线的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点的坐标．
【详解】（1）解：当时，，
点的坐标为，
；
当时，，
解得：，
点的坐标为，
．
四边形为正方形，
，．
过点作轴于点，过点作轴于点，
，，，
．
在和中，，
，
，，
点的坐标为，即；
同理，可证出：，
，，
点的坐标为，即．
（2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时取得最小值，即的周长最小，
点的坐标为，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
将，代入，
得：，解得：，
直线的解析式为．
当时，，
解得：，
点的坐标为．
在轴上存在点，使的周长最小，点的坐标为．
题型三 一次函数与方案选择问题
【例3】（25-26八年级下·山东青岛·期中）某公司计划购买一种文创纪念品（至少购买件），现从甲、乙两家商店了解到该纪念品每件标价均为元．各商店的优惠条件见下表：
商店 优惠条件
甲商店 前件按原价销售，其余每件享受七折优惠
乙商店 每件均享受九折优惠
(1)该公司选择哪个商店购买纪念品更合算？
(2)该公司准备购买件纪念品，到乙商店购买更合算吗？
【答案】(1)当时，甲乙两商店一样合算，当时，选择乙商店更合算，当时，选择甲商店更合算
(2)选择甲商店更合算，即到乙商店购买不合算
【分析】（1）分别求出该公司购买纪念品的件数是件时，、与之间的函数关系式，然后根据购买的件数分情况讨论；
（2）分别求出在甲、乙两个商店购买件纪念品所需费用，通过比较选择确定哪个商店更合算．
【详解】（1）解：设该公司购买纪念品的件数是件，选择甲商店时所需的费用为元，选择乙商店时，所需的费用为元，
根据题意得：，，
由得：，
解得：；
由得：，
解得：；
由得：，
解得：；
当时，甲乙两商店一样合算，
当时，选择乙商店更合算，
当时，选择甲商店更合算；
（2）解：当时，
可得：，，
，
到甲商店购买件纪念品更合算，到乙商店购买件纪念品不合算．
【变式1】（2026·河南商丘·一模）项目式：智慧通讯
【背景】 某通讯公司为满足不同用户的需求，推出了两种可视通话套餐；经济套餐：收费公式为：；轻享套餐：收费公式为：．其中，、分别代表经济套餐和轻享套餐的可视通话总费用（元），x代表用户的可视通话时长（分钟）．
【理解模型】 （1）请解释“经济套餐”公式中的“”和“15”以及“轻享套餐”公式中的“”在实际计费中分别表示什么意义．
【应用模型】 （2）小宇每月工作可视通话需30分钟，生活可视通话预计42分钟．根据你的计算，他应该选择哪个套餐更省钱．
【决策分析】 （3）如果你是该通讯公司的运营经理，你需要告诉用户应该如何选择哪个套餐更省钱，请通过计算给出明确的建议．
【答案】（1）意义见解析；（2）小宇选择经济套餐更省钱；（3）建议见解析
【分析】（1）根据一次函数的表达式，结合题目中给出的收费公式，分析每个参数的实际意义即可；
（2）根据题意分别计算两种套餐费用，再进行比较即可；
（3）令，求出两种套餐费用相等的时长临界点，再进行分析即可．
【详解】解：（1）由题意得，经济套餐中，“”表示每分钟可视通话的收费标准为元；“15”表示每月固定收取的套餐基础费；
轻享套餐中，“”表示每分钟可视通话的收费标准为元；
（2）由题意得，小宇每月总可视通话时长为分钟，
∴经济套餐为
（元）；
轻享套餐为（元），
∵，
∴小宇应选择经济套餐更省钱；
（3）由题意得，令，
解得，
∴当每月可视通话时长分钟时：轻享套餐总费用更低，更省钱；
当每月可视通话时长分钟时：两种套餐费用完全相同；
当每月可视通话时长分钟时：经济套餐总费用更低，更省钱．
【点睛】本题将通讯套餐计费问题抽象为一次函数模型，通过参数意义解读、代入计算、求解函数交点与分类讨论，为用户提供了清晰的消费决策依据，充分体现了数学建模思想在生活消费场景中的实用价值，是一次函数解决实际决策问题的典型范例．
【变式2】（25-26八年级下·河南南阳·期中）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费：乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲厂的总费用（千元）、乙厂的总费用（千元）与印制证书数量（千个）的函数关系图分别如图中甲、乙所示．
(1)甲厂的制版费为___________千元，印刷费为平均每个___________元，甲厂的费用与证书数量之间的函数关系式为___________；
(2)当印制证书数量不超过千个时，乙厂的印刷费为平均每个___________元；当印制证书数量超过千个时，乙厂的总费用与证书数量之间的函数关系式为___________；
(3)印制证书多少千个时，两厂实际收费相同？
(4)若该单位需印制证书数量为千个，该单位应选择哪个厂更节省费用？请说明理由．
【答案】(1)，，；
(2)，；
(3)印制证书千个或千个时，两厂实际收费相同；
(4)选择乙厂更节省费用，见解析．
【分析】（）结合图象可看出是关于的一次函数，从图中可以观察出甲厂的制版费为千元，一次函数的为即为证书印刷费的单价；
（）用到千个时的费用除以证件个数计算即可得解，然后利用用待定系数法即可求出乙厂的总费用与证书数量之间的函数关系式；
（）相等时，分两种情况列出方程，然后解方程即可；
（）将分别代入两个函数，求出费用，然后比较即可．
【详解】（1）解：设甲厂的费用与证书数量之间的函数关系式为，则，解得：，
∴，
当时，，则甲厂的制版费为千元，
印刷费为平均每个（元）；
（2）解：当印制证书数量不超过千个时，乙厂的印刷费为平均每个（元），
当印制证书数量超过千个时，设乙厂的总费用与证书数量之间的函数关系式为，
由图可知，当时，，当时，，
∴函数图象经过点和，
代入得，解得：，
∴；
（3）解：当印制证书数量超过千个时，由图可知，，
解得：时，
当印制证书数量不超过千个时，由上可得，，
∴，
解得；
∴印制证书千个或千个时，两厂实际收费相同；
（4）解：选择乙厂更节省费用，理由如下，
当时，（千元），（元），
∵，
∴当印制千个证书时，该单位选择乙厂更节省费用．
【变式3】雪消门外千山绿，花发江边二月晴，雨水节气之后，春管正由南向北陆续展开，为了落实党和国家的“三农”政策，兴隆镇将台A型拖拉机、台B型拖拉机调往曙光和胜利两个村支援春耕，其中台给曙光村 ，台给胜利村，调往曙光和胜利两个村的拖拉机每台的运费（元）如下表：
A型拖拉机每台的运费 B型拖拉机每台的运费
曙光
胜利
(1)设调往曙光村A型拖拉机x台，台拖拉机调往曙光和胜利两个村的总运费为W （元），求W关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)若公司调往曙光和胜利两个村的总运费多于元，求有哪几种调运方案；
(3)由于调往两个村的拖拉机数量多，运输公司决定仅对调往曙光村的A型拖拉机每台的运费降低a元，但让利后A型拖拉机每台的运费仍高于调往曙光村的B型拖拉机每台的运费．调往曙光村的B型拖拉机每台的运费以及调往胜利村的A、B型拖拉机每台的运费不变，请直接写出a为何值时（2）中的所有方案付出的总运费相同．
【答案】(1)
(2)①运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，运往胜利A型拖拉机2台、B型拖拉机台；②运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，运往胜利A型拖拉机1台、B型拖拉机台；③运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，运往胜利A型拖拉机0台、B型拖拉机台
(3)a的值为时（2）中的所有方案付出的总运费相同
【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等的应用，方程和方案问题，熟练掌握一次函数的应用和一元一次不等式的应用是解题的关键，
（1）设调往曙光村A型拖拉机x台，则曙光村B型拖拉机为台，胜利村A型拖拉机为台，胜利村B型拖拉机为台，根据题意可列出W关于x的关系式，再结合实际问题可得到x的取值范围；
（2）由于总运费多于元，可得，解得，再根据，可得到三种方案；
（3）：设调整后曙光村A型运费为元/台，可得调整后的总费用与x的关系式，因为所有方案总运费相同，所以消去x的影响，得到，即可得到a的值，最后验证即可确定答案．
【详解】（1）解：设调往曙光村A型拖拉机x台，则曙光村B型拖拉机为台，胜利村A型拖拉机为台，胜利村B型拖拉机为台，由题可得：
，
整理得到：，
∵调运数量非负且不超过库存，
∴x的取值范围为：，且为整数，
∴．
（2）解：∵总运费多于元，
∴，
解得：，
∵，
∴当时，曙光村A型台，B型台，胜利村A型台，B型台，
当时，曙光村A型台，B型台，胜利村A型台，B型台，
当时，曙光村A型台，B型台，胜利村A型台，B型台，
∴有三种方案，分别是：
①运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，胜利A型拖拉机2台、B型拖拉机台；②运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，胜利A型拖拉机1台、B型拖拉机台；③运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，胜利A型拖拉机0台、B型拖拉机台．
（3）解：设调整后曙光村A型运费为元/台，
总运费变为：，
整理得：，
∵所有方案总运费相同，
∴，
解得：，
经验证，符合题意，
∴时，所有方案总运费相同．
题型一 一次函数与图形面积问题
【例1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与y轴交于点，与直线交于点．

(1)求m的值及直线的函数解析式；
(2)连接，若P为直线上的动点，当时，求点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】本题考查求一次函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，坐标系中三角形的面积问题．
（1）将代入可得m的值；利用待定系数法求的函数解析式；
（2）设点P的坐标为，根据可得，由此可解．
【详解】（1）解：将代入，
得：，
解得，
，
将，代入，
得：，
解得，
直线的函数解析式为：；
（2）解：令，解得，
，
，
P为直线上的动点，
设点P的坐标为，
，
，
，
，
点P的坐标为或．
【变式1】（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，为两函数图象的交点，且点的横坐标为．
(1)求点坐标及一次函数的函数解析式；
(2)求的面积；
(3)在坐标轴上，是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)的面积为；
(3)存在一点，使得，点的坐标为或或或．
【分析】本题考查的知识点是待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的性质、一次函数与几何综合、一次函数图象与坐标轴的交点问题，解题关键是利用分类讨论思想解题．
（1）将代入可求出点坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
（2）求出点的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可；
（3）分情况讨论：①当点在轴上时；②当点在轴上时．
【详解】（1）解：把代入，得，
，
设，
把，代入，得，
解得，
；
（2）解：一次函数的图象与轴交于点，
，
，
；
（3）解：存在，理由如下：
，
，
①当点在轴上时，，
，
，
，，
点的坐标为或，
②当点在轴上时，如图，
设直线与轴交于点，
，
，
，
，
，，
点的坐标为或，
综上，在坐标轴上，存在一点，使得，点的坐标为或或或．
【变式2】（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，与x轴、y轴分别交于点，过点M的直线与x轴、y轴分别交于点．
(1)求点的坐标；
(2)若点B，O关于点D对称，求直线的解析式；
(3)若直线将的面积分为1：3两部分，直接写出k的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，三角形的面积．
（1）把点代入直线中，求得b的值，即得到直线的解析式，再分别令，，即可求得点A，B的坐标；
（2）根据点，关于点对称可得，采用待定系数法，将，代入直线即可求解；
（3）根据三角形的面积公式求得，连接，可求得，满足题意，此时直线过原点O，根据待定系数法求出k的值；当时，根据三角形面积公式可求出点C的坐标，进而可以待定系数法求出k的值．
【详解】（1）解：将点代入直线得，，
解得：，
直线，
令，得，令，得，
点A的坐标为，点B的坐标为；
（2）解：∵点，关于点对称，
∴点D是的中点，
∴点的坐标为，
将，代入，得
，解得，
直线的解析式为；
（3）解：∵，，
∴．
连接，
则，
∴，
∴直线过原点O时，满足直线将的面积分成两部分，
将点，代入直线，得
，解得；
当时，
即，
，
点的坐标为，
将点，代入直线，得
，解得；
综上所述，或．
【变式3】【模型建立】
（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA；
【模型应用】
（2）①已知直线：y＝x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点A逆时针旋转45°至直线，如图2，求直线的函数表达式；
②如图3，长方形ABCO，O为坐标原点，点B的坐标为(－8，6)，点A、C分别在坐标轴上，点P是线段BC上的一个动点，点D是直线y＝－2x－6上的动点且在第二象限内．若△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）①y＝－7x－21；②
【分析】（1）根据为等腰直角三角形，，，可判定；
（2）①过点作，交于，过作轴于，根据，得出，，求得，最后运用待定系数法求直线的函数表达式；②当点为直角顶点，分点在直线的上方或下方两种情况，由此可得出结论．
【详解】解：（1）证明：如图1，为等腰直角三角形，
，，
又，，
，，
，
在与中，
，
；
（2）①如图2，过点作，交于，过作轴于，
，
为等腰直角三角形，
由（1）可知：，
，，
直线中，若，则；若，则，
，，
，，
，
，
设的解析式为，则
，
解得，
的解析式：；
②当点在直线上方时，过作轴的平行线，交直线于，交直线于，设；
则，，；
则△△，得，即：
，；
；
当点在直线下方时，同法可得，
∵D在第二象限，故舍去．
【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，解题时注意分类思想的运用．
题型二 一次函数与线段、角度问题
【例2】（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，点A的坐标为，点的坐标为．
(1)求过A，两点直线的函数表达式；
(2)过点作直线与轴交于点，且使，求的面积．
【答案】(1)
(2)2或6
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数与几何的应用等知识点，掌握数形结合以及分类讨论思想是解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）由点A、B的坐标，可得出的长，结合，可求出的长，然后再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：设过A，B两点直线的函数表达式为，
将，代入得：
，解得：，
∴过A，B两点直线的函数表达式为．
（2）解：∵点A的坐标为，点的坐标为，
∴．
∵，
∴，
∴或，
∴或．
综上，的面积为2或6．
【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与过点的直线交于点，与轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)点D在直线上， 轴，交直线于点E，若，求点D的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，求出一次函数解析式和数形结合是关键．
（1）求出，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出，设，由轴，得，根据列方程求解即可求出答案．
【详解】（1）解：把代入得，
，
设直线的解析式为，将点坐标代入：
，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）在中，令，得，
，
，
设，由轴，得，
，
解得或，
或．
【变式2】（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，直线与轴，轴分别交于点，，直线与线段交于点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)直接写出点，点，点的坐标；
(2)连接，若，求出长度，并计算的面积；
(3)若，直接写出点的坐标．
【答案】(1)，，；
(2)，的面积为；
(3)
【分析】本题考查一次函数的图象与性质、勾股定理、三角形面积计算及坐标与几何的综合应用，关键是利用函数图象上点的坐标特征求交点，结合几何性质建立等式求解．
（1）根据一次函数与坐标轴交点的求解方法，分别代入或计算对应点的坐标；
（2）设的长度为未知数，利用结合勾股定理建立方程求解，再根据三角形面积公式计算面积；
（3）通过作PE⊥BC构造等腰直角三角形，利用面积法求出垂线段PE的长度，再结合两点间距离公式建立关于点C横坐标的方程，进而求解点C的坐标．
【详解】（1）解：对于直线，
令，则，解得，
；
令，则，
；
对于直线，令，则，
；
故，，．
（2）解：设，则，
，
，，
，
∴，
，
，
解得，即；
，
，
的面积；
（3）解：过点作于点，连接，
在中，由勾股定理得，
∵，且，，
∴，解得；
在中，由勾股定理得，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴；
设点的坐标为()，
则，
解得(舍去负根)；
当时，，
∴点的坐标为．
【变式3】（25-26八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，已知直线分别与轴和轴交于两点，直线分别与轴和轴交于两点，与交于点，其中点为且．
(1)求直线的解析式；
(2)将点沿水平方向平移个单位至轴，连接，当时，求平移的距离的值：
(3)已知点为轴上的一个动点，若，请求出的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）先求得，根据得出，再待定系数法求解析式，即可；
（2）分在的两侧分类讨论，当点在的右侧时，取点，连接，，根据，得出，得出直线的解析式为，进而令，求得点，即可求得平移距离；当点在的左侧时，同理取点，则，同理可得，即可求解；
（3）联立直线解析式，得出，当在的左侧时，结合已知得出，进而根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解；当在的右侧时，作关于直线的对称点，连接，则 ，，求得直线的解析式为，令，即可求解．
【详解】（1）解：∵直线分别与轴和轴交于两点，
当时，，当时，，
∴，
∴
∵
∴
将，代入得
解得：
∴直线的解析式为；
（2）解：当点在的右侧时，
如图，取点，连接，，
∵，，，则
∴
∵
∴
设直线的解析式为，代入
∴
解得：
∴直线的解析式为
当时，
解得：
∴
∴，
当点在的左侧时，同理取点，则，
同理可得的解析式为，
当时，，则，
∴；
综上，或；
（3）解：联立
解得：
∴
设
如图，当在的左侧时，
由（1）可得，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵
即
又∵
∴
∵
∴，则
∴
∴
解得：
∴
当在的右侧时，作关于直线的对称点，连接，则 ，
∴，则
∴
设直线的解析式为代入，
∴
解得：
∴直线的解析式为
当时，
解得：
∴
综上所述，或
题型三 一次函数与三角形的综合
【例3】（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图 ，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点．
(1)求正比例函数与一 次函数的解析式 ；
(2)点D是y轴上一 点 ，且的面积是的面积的 3 倍 ，求点D的坐标 ；
(3)若点 E在第二象限 ，且是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点E的坐标．
【答案】(1)正比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为
(2)或
(3)或
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由的面积，即可求解；
（3）当为直角时，证明，得到点，当为直角时，同理可解．
【详解】（1）解：将点C的坐标代入得：，则，
∴正比例函数的解析式为，
把，代入，得：，
解得：，
故一次函数解析式为；
（2）解：∵，
∴当时，，
∴，
∵，
的面积，则的面积，
设点，
的面积，
解得：或，
故点D的坐标为或．
（3）解：当为直角时，则，过点E作轴于点H，
，，
，
，，
，
则，，
，
则点
当为直角时，
同理可得，点，
综上，点E的坐标为或．
【变式1】（25-26八年级上·上海·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，与直线相交于点．
(1)求和的值；
(2)若直线与轴相交于点，
①若平分，且交轴于点，求直线的表达式；
②点在轴上，若为等腰三角形，求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)①直线的表达式为；②点P的坐标为或或或
【分析】（1）根据点C在直线上，先求得点C的坐标，再代入直线，即可求得b值；
（2）①设直线交y轴于点F，过点E作于点G，先求得D、F的坐标，根据勾股定理求得，然后根据角平分线的性质定理可知，由可求得，得到点E的坐标，进而根据待定系数法即可求解；
②先求得点A的坐标，从而根据勾股定理求得的长度，然后设，分四种情况：当点P在点A的左侧，且时；当点P在点A的右侧，且时或时或时；分别列出方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，把点代入直线，得；
∴，代入直线，得，
∴；
（2）解：①由（1）可知直线，
设该直线交y轴于点F，过点E作于点G，如图所示，
令，得，则；令，则，
∴，，即，，
∴，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴，
∴，则，
设直线的表达式为，
代入，得，
解得，
∴直线的表达式为；
②对于直线，令，则，
∴，
由（1）可知，
∴，
设，
当点P在点A的左侧，且时，
则，
解得，即；
当点P在点A的右侧，且时，
则，
解得，即；
当点P在点A的右侧，且时，
则，
解得，即；
当点P在点A的右侧，且时，
则，
解得，即；
综上所述，点P的坐标为或或或．
【变式2】（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，在长方形中，点为坐标原点，点的坐标为，点在坐标轴上，直线与交于点，与轴交于点．
(1)分别求点的坐标；
(2)连接求的面积；
(3)动点在直线上，点是坐标平面第一象限内的点，且在直线上，是否存在以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题考查了平面几何图形与一次函数的结合，图形面积的计算，等腰直角三角形的性质与存在性问题．熟悉求直线与坐标轴、直线与直线的交点坐标的方法，利用坐标计算三角形的面积的方法，根据等腰直角三角形的性质，结合一次函数，全等三角形的知识，解决动点条件下的几何存在性问题的方法，是解题的关键．
（1）根据长方形的性质和平行的性质，计算直线与坐标轴，直线与直线的交点坐标．
（2）根据直线与坐标轴的交点坐标，利用割补法计算的面积．
（3）设，过点作交所在直线于点，交所在直线于点，分①点在上方，②点在下方，两种情况讨论，通过证明，，得到对应线段相等，建立关于的一元一次方程，得到的值，继而得到点的坐标．
【详解】（1）解：在长方形中，点为坐标原点，点的坐标为，
，，轴，
∵直线与交于点，与轴交于点，
∴当时，，解得，
当时，，
，：
（2）解：如图，令与轴的交点为，
令，解得，
，
，
，，；
，，，
，
；
（3）解：点是坐标平面第一象限内的点，且在直线上，
∴设，
如图，过点作交所在直线于点，交所在直线于点，
①若点在上方，
是等腰直角三角形，且，
，，
，
，
，
在与中，，
，
，
，
，解得：，
；
②若点在下方，同理可证，，
，
，
即，解得，
，
综上可知，点的坐标为或．
【变式3】（23-24八年级上·云南曲靖·期中）探索发现：如图1，已知中，，，直线l过点C，过点A作，过点B作，垂足分别为D、E．

(1)求证：；
(2)迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M的坐标为，求点N的坐标；
(3)拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与x轴交于点，与y轴交于点，试判断在第一象限内是否存在一点R，使为等腰直角三角形，若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或或
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，等腰直角三角形的性质等等：
（1）先判断出，再判断出，进而判断出，即可得出结论；
（2）先判断出，，进而得出，，即可求出，即可得出结论；
（3）分三种情况：以为直角顶点，以为直角顶点，以为直角顶点，运用全等三角形的性质可得出答案．
【详解】（1）证明：，，
，
∵，，
，
又∵，
，
；
（2）解：如图2，过点作轴，垂足为，过点作，交的延长线于，

由已知得，且，
同（1）得，
∴，，
∵，
，，
，，
，
，
点的坐标为，
（3）解：∵，
，，
分三种情况：
当点为直角顶点时，如图3，

过点作轴于点，
同（1）可得，
，，
，
，
同理可得．
当点为直角顶点时，如图，

过点作轴于点，
同（1）可得，
，，
，
，
同理可得．
当点为直角顶点时，如图，

过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线，交于点，
同（1）可得，
，，
设，则，
，
，
，
同理可得．
又∵点R在第一象限，
∴点的坐标为或或．
题型四 一次函数与四边形的综合
【例4】（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，点P为坐标平面内一点．
(1)将直线向下平移5个单位，所得直线的解析式是____________________________；
(2)直接写出与直线关于x轴对称的直线的解析式；
(3)若点P在x轴上，且，求点P的坐标；
(4)若点P在y轴上，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点，且以为边的四边形是菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标；否则，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)存在，或或
【分析】（1）由图形平移的性质求解即可；
（2）求出A、B点坐标，然后求出A、B关于x轴的对称点坐标，由待定系数法求函数解析式即可；
（3）由题意可知△OPB是等腰直角三角形，则OP＝OB，由此可求P点坐标；
（4）设P（0，t），Q（x，y），分两种情况讨论：①当AP为菱形的对角线时，AB＝BP，Q（3，5）或（3， 5）；②当AQ为菱形的对角线时，AB＝AP，Q（ 3，0）．
【详解】（1）解：（1）直线AB向下平移5个单位，得到，
即，
故答案为：；
（2）解∶令x＝0，则y＝4，
∴B（0，4），
令y＝0，则x＝3，
∴A（3，0），
∴B点关于x轴的对称点（0， 4），
设直线AB：关于x轴对称的直线解析式为y＝kx 4，
∴3k 4＝0，
∴，
∴；
（3）∵B（0，4），
∴OB＝4，
∵点P在x轴上，∠APB＝45°，
∴点P在直线AB的两侧，OP＝OB＝4，
∴P（ 4，0）或（4，0）；
（4）存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点，且以AB为边的四边形是菱形，理由如下：
设P（0，t），Q（x，y），
①当AP为菱形的对角线时，AB＝BP，
∴，
解得或，
∴Q（3，5）或（3， 5）；
②当AQ为菱形的对角线时，AB＝AP，
∴，
解得（舍）或，
∴Q（ 3，0）；
综上所述：点Q的坐标为（ 3，0）或（3，5）或（3， 5）．
【点睛】本题考查次一函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的判定及性质，轴对称的性质是解题的关键．
【变式1】如图，平面直角坐标系中，长方形的边在轴上，边在轴上，且，．
(1)在长方形的边上找一点，使得直线将长方形的面积分成1:3两部分，则点的坐标为　 　．
(2)如图，已知点在边上，且，请你在边上找一点，将沿翻折，使得点恰好落在轴上的点处．
求线段所在直线的函数表达式；
在线段上是否存在一点，使得直线将四边形的面积分成2：3两部分？若存在，求出符合条件的所有点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) ；存在，或
【分析】（1）设，分别求出，，再由题意得到或，求出的值即可求点的坐标；
（2）过点作轴交于点，由折叠可知，则，在Rt 中，，求出，可知点与点重合，再用待定系数法求函数的解析式即可；
设，分别求出，，，，根据题意可得或，求出的值即可求点坐标．
【详解】（1）解：，
，
，
点在上，
设 ，
，
直线将长方形的面积分成1:3两部分，
或，
解得或（舍），
，
故答案为：；
（2）解： ，
，
过点作轴交于点，
由折叠可知，
，
，
，
，
，
在Rt 中，，
解得，
点与点重合，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
；
存在一点，使得直线将四边形的面积分成2：3，理由如下：
设 ，
，
，
，
，
，
或，
解得或，
或．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质是解题的关键．
【变式2】（25-26八年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点、分别在轴、轴上，且点的坐标为．
(1)如图1，求直线的解析式；
(2)如图2，边上有一动点D，连接，点F在线段上，使得，点G在的延长线上，点E在线段上，连接，满足，若D点的纵坐标为t，的长为d，求d与t的关系式；
(3)如图3，在（2）问的条件下，在线段上，连接，若，当时，求值，并直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)；
【分析】（1）根据正方形的性质求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）过点作，易得四边形为矩形，得到，证明，得到，进而求出即可；
（3）在上截取，连接，证明，得到，利用平行线的性质，同角的余角以及三角形的外角，推出，得到，在中，利用勾股定理求出的值，进而求出点坐标即可．
【详解】（1）解：∵四边形为正方形，C的坐标为，
∴，轴，
∴，
设直线的解析式为，把代入，得：，
∴，
∴直线的解析式为；
（2）解：过点作，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵点在线段上，纵坐标为，
∴，
∴；
（3）解：在上截取，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
即：，
解得：（负值舍去），
∴，
∴．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．点为的中点，点在线段上，，点为线段上一动点，连接、．
(1)求直线的表达式；
(2)若的面积为20，求点坐标；
(3)在（2）的条件下，点在轴上，点在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形为平行四边形．若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)点E坐标为 ；
(3)Q坐标为或或
【分析】（1）根据一次函数解析式，分别令，可以得两点的坐标，根据两点的坐标，求出与的长度，再根据和点C为的中点来确定C与D的坐标，然后根据待定系数法可以计算出直线的解析式；
（2）根据的面积的面积的面积的面积的面积，求解即可；
（3）设点，点，分情况讨论∶①以，为对角线，②以，为对角线，③以，为对角线分别列二元一次方程组，求解即可．
【详解】（1）解∶∵直线交x轴于点A，交y轴于点B，
时，，
点，
，
∵点C为的中点，
，
，
当时，，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式：，
将点，点代入直线解析式
得 ，
解得 ，
∴直线的解析式为；
（2）解：设点，
， ，
的面积，
， ，
的面积，
的面积，
的面积，
的面积的面积的面积的面积的面积，
，
解得，
，
∴点E坐标为 ；
（3）解：存在以D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴设点，点，
①当四边形以， 为对角线时，
∵点，，
∴，
解得，
，
∴点；
②当四边形以， 为对角线，
∵点，，
，
解得，
，
∴点，
③当四边形以， 为对角线，
，
解得，
，
∴点，
综上，满足条件的点Q坐标为或或．
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专题06 一次函数
知识点一、一次函数的概念
2、一次函数的概念：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．其中x是自变量， 特别地当b=0时，y＝kx+b即y＝kx，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
知识点二、正比函数的图象与性质
1、正比例函数的图象：
正比例函数y=k x(k≠0)的图象是经过原点（0,0）和点(1，k)的一条直线.
2、正比例函数的性质：
正比例函数y＝k x（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝k x．
当k＞0时，直线y＝k x依次经过第一、三象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；
当k＜0时，直线y＝k x依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．
越大,y随x的增大而增大( 或减小)的速度越快.
知识点三、一次函数的图象与性质
1、一次函数图象的画法：
两点法：经过两点（0，b）、（，0）或（1，k+b）作直线y＝k x+b．
【注意】①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．
②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
2、一次函数的性质：
当k＞0时，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；
当k＜0时，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
越大,y随x的增大而增大( 或减小)的速度越快.
3、一次函数图象与系数的关系
直线y＝k x+b（k≠0）的位置由k和b的符号决定．其中k决定直线从左到右呈上升还是下降趋势；b决定直线与y轴的交点的位置是正半轴，负半轴，还是原点.
当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；
当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴上，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0 y＝k x+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0 y＝k x+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0 y＝k x+b的图象在一、二、四象限；
4、一次函数图象的平移
将直线y＝k x（k≠0）沿着y轴平移|b|个单位得到直线y＝k x+b．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
【注意】①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
知识点四、一次函数的应用
1、利用一次函数解决实际问题，关键是分析题中的数量关系，联系实际生活及以前学过的内容，将实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用函数的性质解决问题.
2、在研究有关一次函数的实际问题时的解题步骤：
审题：认真读题，分析题中各个量之间的关系；
设自变量：根据各个量之间的关系设满足题意的自变量；
列函数解析式：根据各个量之间的关系列出函数解析式；
解决问：利用函数解析式或图象的性质解决问题；
得出结果.
知识点五、一次函数的方程、不等式的关系
1、一次函数与一元一次方程的关系
从“数”的角度看: 求ax+b＝0（a≠0）的解就是函数y＝ax+b（a≠0）中，y=0时，x的值.
从“形”的角度看：求ax+b＝0（a≠0）的解就是直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标.
2、一次函数与二元一次方程（组）的关系
从“数”的角度看：解方程组，相当于当求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看：解方程组，相当于确定的两条直线的交点坐标.
3、一次函数与一元一次不等式（组）的关系
从“数”的角度看：就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从“形”的角度看：就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
题型一 正比例函数的定义
【例1】（25-26八年级上·安徽宣城·期末）下列函数是正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26八年级上·贵州毕节·期末）下列函数中，是的正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25八年级上·四川达州·期末）已知函数是正比例函数，则k的值为______．
【变式3】（25-26八年级上·江西抚州·期末）已知函数（m是常数）是正比例函数，则_______．
题型二 一次函数的定义
【例2】3．（24-25八年级下·上海·期末）下列四个函数中，一次函数是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（25-26八年级下·福建南平·期中）下列函数关系式：①；②；③；④其中一次函数的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）要使是关于的一次函数，则的值为______．
【变式3】（24-25八年级上·宁夏固原·期末）已知函数是关于x的一次函数，则_________．
题型三 求一次函数自变量或函数值
【例3】（23-24八年级上·四川甘孜·期末）已知点在一次函数的图象上，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【变式1】（25-26八年级上·四川成都·期末）若点在直线上，则代数式的值为（　　）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24八年级上·江苏扬州·期末）已知点在一次函数的图象上，则_____．
【变式3】（25-26七年级上·山东烟台·期末）若点在函数的图象上，则代数式的值为____．
题型四 正比例函数的图象与性质
【例4】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）下列各点中，在正比例函数的图像上的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】若正比例函数图象经过第二、四象限，且过点和，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】一个正比例函数的图象经过，两点，且过第一、三象限，则这个正比例函数的图象一定也经过点（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（24-25八年级下·云南昭通·期末）已知正比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象是一条双曲线 B．图象必经过点
C．图象经过第一、三象限 D．随的增大而减小
题型五 判断一次函数的图象
【例5】已知正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如果实数a，b满足，，则函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知点，都在一次函数（，k，b为常数）的图象上，则该函数图象可能是（ ）
A．B．C． D．
【变式3】（25-26八年级上·山东济南·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
题型六 一次函数图象与坐标轴的交点问题
【例6】23．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）一次函数的图象与x轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24八年级下·辽宁大连·期末）直线与轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向右平移2个单位长度，则平移后的函数图象与y轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A、B．
（1）根据图象，求一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式；
（2）将直线AB向下平移5个单位后经过点（m，﹣5），求m的值．
题型七 一次函数图象的平移问题
【例7】（25-26八年级上·河南开封·期末）直线沿着y轴向上平移5个单位长度后，经过点，则b的值为（ ）
A． B．1 C． D．9
【变式1】（25-26七年级上·山东淄博·期末）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．则的值为（　　）．
A． B． C． D．
【变式2】（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）将直线向上平移2个单位，所得直线的函数表达式是__________.
【变式3】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）请写出直线关于轴对称的直线解析式为______．
题型八 一次函数图象与对称问题
【例8】一次函数（为常数，且）的图象关于轴对称后的图象经过点，则的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【变式1】在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x+2关于平行于y轴的一条直线对称后得到直线AB，若直线AB恰好过点（6，2），则直线AB的表达式为（　　）
A．y＝2x﹣10 B．y＝﹣2x+14 C．y＝2x+2 D．yx+5
【变式2】（24-25八年级上·江苏镇江·月考）已知一次函数的图像与直线关于x轴对称，则一次函数的表达式为________．
【变式3】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则称点（或点）的纵坐标为函数与的“对偶值”．那么函数与的“对偶值”为______．
题型九 一次函数图象与旋转问题
【例9】已知一次函数的图象， 绕x轴上一点 旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【变式1】（25-26九年级上·天津河东·期末）如图，直线经过点，将绕点顺时针旋转，得到直线．点在上，若，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+3分别与x轴y轴交于点A和点B，将直线AB绕点A顺时针旋转90°后，所得直线与y轴的交点坐标为（　　）
A．（0，﹣1） B．（0，） C．（0，） D．（0，）
【变式3】（25-26八年级上·江苏南京·期末）将一次函数（为常数）的图象绕原点顺时针旋转，所得图象与轴交于点，当时，的取值范围是________．
题型十 判断一次函数的增减性
【例10】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，点A，均在直线上．若，则k的值可能为（ ）
A． B． C． D．2
【变式1】（25-26八年级上·福建漳州·期末）若一次函数的函数值随的增大而减小，则的值可以是（ ）
A．－1 B．0 C．－2 D．2
【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）关于x的一次函数，y随x增大而增大，则m的取值范围是________．
【变式3】（25-26八年级上·四川成都·期末）若点，都在一次函数的图象上，且，则实数a的取值范围是__________ ．
题型十一 一次函数的性质
【例14】（23-24八年级上·江苏连云港·期末）关于函数，下列结论正确的是( )
A．函数必经过点 B．y随x的值增大而增大
C．与x轴交于 D．图象经过第一、二、四象限
【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）对于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数图象经过点
B．函数图象与y轴的交点坐标是
C．函数的图象不经过第一象限
D．函数图象向左平移4个单位得到函数的图象
【变式2】下列关于一次函数图象的描述，不正确的是（）
A．y随x的增大而增大 B．图象不经过第二象限
C．图象经过点 D．图象与y轴的交点坐标是
【变式3】关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图像与轴的交点
B．随着的增大而增大
C．图像经过第一、二、四象限
D．其图像可由的图像向上平移5个单位长度得到
题型十二 根据一次函数增减性求参数
【例11】已知一次函数，随的增大而减小，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【变式1】已知点和都在直线上，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25八年级下·上海·期末）已知一次函数，如果函数值y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】若一次函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是__________．
题型十三 比较一次函数的值的大小
【例12】（25-26九年级上·陕西西安·期末）已知点，都在正比例函数的图象上．则y1与y2的大小关系是（　　）
A． B． C． D．无法确定
【变式1】已知一次函数，点在该函数图象上，且，则下列关系一定成立的是（ ）
A． B． C． D．不确定
【变式2】，是一次函数图象上的不同的两点，则（ ）
A． B．
C． D．的符号无法判断
【变式3】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）已知点，，都在直线上，则、、的值大小关系（ ）
A． B． C． D．
题型十四 求一次函数的解析式
【例13】（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知一次函数的图象经过，两点．
(1)求这个一次函数的关系式；
(2)试判断点是否在这个一次函数的图象上并说明理由．
【变式1】（24-25八年级下·湖北黄石·期末）已知y是x的一次函数，且当时，；当时，．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)当时，求y的值．
【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·月考）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)将一次函数的图象向左平移___________个单位长度恰好经过坐标原点．
【变式3】（24-25八年级上·北京·期末）已知一次函数的图象经过点，且与直线平行．
(1)求该一次函数的解析式；
(2)试判断点是否在此函数图象上，说明理由．
题型十五 一次函数与方程
【例15】如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，直线过点，，则关于的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，在平面直角坐标系中，两条直线和相交于点，作直线关于轴对称的直线，则关于的二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小；②；③方程的解为；④方程组的解是．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型十六 一次函数与不等式
【例16】（24-25八年级下·上海宝山·期末）已知一次函数的图像如图所示，那么下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．当时， D．当时，
【变式1】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，一次函数的图象经过点，若，则x的范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，直线（k，b为常数，且）经过和两点，则关于x的不等式组的解集为_____．

题型十七 一次函数的实际应用
【例13】（25-26八年级下·云南昆明·期中）春季的邀约，总是写在风里．本学期，昆明三中“樱为有你”活动在樱花烂漫的时节如约落幕．活动中，某班的同学们怀揣善意，以笔寄情、以墨传暖，计划购进甲、乙两种笔记本共60本进行义卖，所得善款将悉数用于公益帮扶．现将两种笔记本的进价与售价列于下表：
价格类型 进价（元/本） 售价（元/本）
甲 a 10
乙 b 20
(1)已知购进10本甲种笔记本、50本乙种笔记本共花费580元，购进20本甲种笔记本、40本乙种笔记本共花费560元．求甲、乙两种笔记本的进价分别为多少元？
(2)若设甲笔记本的数量为x本（），销售完甲、乙两种笔记本的利润为y元．已知乙笔记本的数量不能超过甲笔记本数量的2倍，为让爱心帮扶的善款更多一些，当甲笔记本购进多少本，同学们在销售完这两种笔记本后能获得利润最多？并求出最大利润．
【变式1】（25-26八年级下·广东佛山·期中）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”特别纪念版——“马墩墩”于2025年11月28日正式发售．为鼓励学生积极参加体育活动，阳光中学准备购买“冰墩墩”和“马墩墩”奖励在运动会中表现优秀的学生．已知购买1个“冰墩墩”和3个“马墩墩”共需花费332元，购买3个“冰墩墩”和2个“马墩墩”共需380元．
(1)购买一个“冰墩墩”和一个“马墩墩”分别需要多少元？
(2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元且不多于2200元，要使投入资金最少，应如何设计购买方案？最少资金是多少元？
【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）随着我国科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．某天它们同时开始工作，工作一段时间后乙机器人停工保养，保养结束后，乙继续和甲机器人一起工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与甲机器人的工作时间（分钟）之间的函数关系如图．
(1)m的值为___________；
(2)求所在直线的函数表达式；
(3)已知该快递公司当天分拣快递的总数为5450件，求乙机器人当天的工作时长．
【变式3】甲、乙两个工程组同时铺设高速路段的沥青路面，两组工程队每天铺设沥青路面的长度均保持不变，合作一段时间后，乙工程队因维修设备而停工，甲工程队单独完成了剩下的任务，甲、乙两工程队铺设沥青路面的长度之和（单位：m）与甲工程队铺设沥青路面的时间（单位：天）之间的关系如图所示．
(1)乙工程队铺设沥青路面____________天；甲每天铺设____________米．
(2)求乙工程队停工后关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(3)当甲工程队铺设沥青路面的总长度与乙工程队铺设沥青路面的总长度相等时，乙工程队已经停工____________天．
题型一 一次函数与规律探究
【例1】（24-25八年级下·福建福州·期末）如下图，直线交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；…记面积为，面积为，面积为，…则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，按此规律进行下去，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26九年级上·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，解析式为的直线a，解析式为的直线b如图所示，直线a交y轴于点A，以为边作第一个等边三角形，过点B作y轴的平行线交直线a于点，以为边作第二个等边三角形 顺次这样作下去，第2020个等边三角形的边长为（　　）
A． B． C．4038 D．4040
题型二 一次函数与几何最值问题
【例2】（23-24八年级下湖北武汉期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，为线段（端点除外）上一动点，点与点关于轴对称，过点作轴的平行线交的延长线于点，则线段的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，点A、B、C的坐标分别为、和．则当的周长最小时，m的值为________．
【变式2】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于B，C两点，与正比例函数的图象交于点A，点A的横坐标为4．
(1)求b的值；
(2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围；
(3)若有动点，当取最小值时，求m的值．
【变式3】在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，以为边在第二象限内作正方形．
(1)求点C，D的坐标；
(2)在x轴上是否存在点M，使的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
题型三 一次函数与方案选择问题
【例3】（25-26八年级下·山东青岛·期中）某公司计划购买一种文创纪念品（至少购买件），现从甲、乙两家商店了解到该纪念品每件标价均为元．各商店的优惠条件见下表：
商店 优惠条件
甲商店 前件按原价销售，其余每件享受七折优惠
乙商店 每件均享受九折优惠
(1)该公司选择哪个商店购买纪念品更合算？
(2)该公司准备购买件纪念品，到乙商店购买更合算吗？
【变式1】（2026·河南商丘·一模）项目式：智慧通讯
【背景】 某通讯公司为满足不同用户的需求，推出了两种可视通话套餐；经济套餐：收费公式为：；轻享套餐：收费公式为：．其中，、分别代表经济套餐和轻享套餐的可视通话总费用（元），x代表用户的可视通话时长（分钟）．
【理解模型】 （1）请解释“经济套餐”公式中的“”和“15”以及“轻享套餐”公式中的“”在实际计费中分别表示什么意义．
【应用模型】 （2）小宇每月工作可视通话需30分钟，生活可视通话预计42分钟．根据你的计算，他应该选择哪个套餐更省钱．
【决策分析】 （3）如果你是该通讯公司的运营经理，你需要告诉用户应该如何选择哪个套餐更省钱，请通过计算给出明确的建议．
【变式2】（25-26八年级下·河南南阳·期中）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费：乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲厂的总费用（千元）、乙厂的总费用（千元）与印制证书数量（千个）的函数关系图分别如图中甲、乙所示．
(1)甲厂的制版费为___________千元，印刷费为平均每个___________元，甲厂的费用与证书数量之间的函数关系式为___________；
(2)当印制证书数量不超过千个时，乙厂的印刷费为平均每个___________元；当印制证书数量超过千个时，乙厂的总费用与证书数量之间的函数关系式为___________；
(3)印制证书多少千个时，两厂实际收费相同？
(4)若该单位需印制证书数量为千个，该单位应选择哪个厂更节省费用？请说明理由．
【变式3】雪消门外千山绿，花发江边二月晴，雨水节气之后，春管正由南向北陆续展开，为了落实党和国家的“三农”政策，兴隆镇将台A型拖拉机、台B型拖拉机调往曙光和胜利两个村支援春耕，其中台给曙光村 ，台给胜利村，调往曙光和胜利两个村的拖拉机每台的运费（元）如下表：
A型拖拉机每台的运费 B型拖拉机每台的运费
曙光
胜利
(1)设调往曙光村A型拖拉机x台，台拖拉机调往曙光和胜利两个村的总运费为W （元），求W关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)若公司调往曙光和胜利两个村的总运费多于元，求有哪几种调运方案；
(3)由于调往两个村的拖拉机数量多，运输公司决定仅对调往曙光村的A型拖拉机每台的运费降低a元，但让利后A型拖拉机每台的运费仍高于调往曙光村的B型拖拉机每台的运费．调往曙光村的B型拖拉机每台的运费以及调往胜利村的A、B型拖拉机每台的运费不变，请直接写出a为何值时（2）中的所有方案付出的总运费相同．
题型一 一次函数与图形面积问题
【例1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与y轴交于点，与直线交于点．

(1)求m的值及直线的函数解析式；
(2)连接，若P为直线上的动点，当时，求点P的坐标．
【变式1】（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，为两函数图象的交点，且点的横坐标为．
(1)求点坐标及一次函数的函数解析式；
(2)求的面积；
(3)在坐标轴上，是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2】（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，与x轴、y轴分别交于点，过点M的直线与x轴、y轴分别交于点．
(1)求点的坐标；
(2)若点B，O关于点D对称，求直线的解析式；
(3)若直线将的面积分为1：3两部分，直接写出k的值．
【变式3】【模型建立】
（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA；
【模型应用】
（2）①已知直线：y＝x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点A逆时针旋转45°至直线，如图2，求直线的函数表达式；
②如图3，长方形ABCO，O为坐标原点，点B的坐标为(－8，6)，点A、C分别在坐标轴上，点P是线段BC上的一个动点，点D是直线y＝－2x－6上的动点且在第二象限内．若△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标．
题型二 一次函数与线段、角度问题
【例2】（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，点A的坐标为，点的坐标为．
(1)求过A，两点直线的函数表达式；
(2)过点作直线与轴交于点，且使，求的面积．
【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与过点的直线交于点，与轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)点D在直线上， 轴，交直线于点E，若，求点D的坐标．
【变式2】（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，直线与轴，轴分别交于点，，直线与线段交于点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)直接写出点，点，点的坐标；
(2)连接，若，求出长度，并计算的面积；
(3)若，直接写出点的坐标．
【变式3】（25-26八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，已知直线分别与轴和轴交于两点，直线分别与轴和轴交于两点，与交于点，其中点为且．
(1)求直线的解析式；
(2)将点沿水平方向平移个单位至轴，连接，当时，求平移的距离的值：
(3)已知点为轴上的一个动点，若，请求出的坐标．
题型三 一次函数与三角形的综合
【例3】（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图 ，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点．
(1)求正比例函数与一 次函数的解析式 ；
(2)点D是y轴上一 点 ，且的面积是的面积的 3 倍 ，求点D的坐标 ；
(3)若点 E在第二象限 ，且是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点E的坐标．
【变式1】（25-26八年级上·上海·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，与直线相交于点．
(1)求和的值；
(2)若直线与轴相交于点，
①若平分，且交轴于点，求直线的表达式；
②点在轴上，若为等腰三角形，求点的坐标．
【变式2】（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，在长方形中，点为坐标原点，点的坐标为，点在坐标轴上，直线与交于点，与轴交于点．
(1)分别求点的坐标；
(2)连接求的面积；
(3)动点在直线上，点是坐标平面第一象限内的点，且在直线上，是否存在以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3】（23-24八年级上·云南曲靖·期中）探索发现：如图1，已知中，，，直线l过点C，过点A作，过点B作，垂足分别为D、E．

(1)求证：；
(2)迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M的坐标为，求点N的坐标；
(3)拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与x轴交于点，与y轴交于点，试判断在第一象限内是否存在一点R，使为等腰直角三角形，若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
题型四 一次函数与四边形的综合
【例4】（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，点P为坐标平面内一点．
(1)将直线向下平移5个单位，所得直线的解析式是____________________________；
(2)直接写出与直线关于x轴对称的直线的解析式；
(3)若点P在x轴上，且，求点P的坐标；
(4)若点P在y轴上，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点，且以为边的四边形是菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标；否则，说明理由．
【变式1】如图，平面直角坐标系中，长方形的边在轴上，边在轴上，且，．
(1)在长方形的边上找一点，使得直线将长方形的面积分成1:3两部分，则点的坐标为　 　．
(2)如图，已知点在边上，且，请你在边上找一点，将沿翻折，使得点恰好落在轴上的点处．
求线段所在直线的函数表达式；
在线段上是否存在一点，使得直线将四边形的面积分成2：3两部分？若存在，求出符合条件的所有点坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2】（25-26八年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点、分别在轴、轴上，且点的坐标为．
(1)如图1，求直线的解析式；
(2)如图2，边上有一动点D，连接，点F在线段上，使得，点G在的延长线上，点E在线段上，连接，满足，若D点的纵坐标为t，的长为d，求d与t的关系式；
(3)如图3，在（2）问的条件下，在线段上，连接，若，当时，求值，并直接写出点的坐标．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．点为的中点，点在线段上，，点为线段上一动点，连接、．
(1)求直线的表达式；
(2)若的面积为20，求点坐标；
(3)在（2）的条件下，点在轴上，点在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形为平行四边形．若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
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