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专题07 数据的分析
知识点一、平均数
◆1、平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的平均数．
记作：“”，读作：“x 拔”．
◆2、加权平均数：
（1）加权平均数：①若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则
叫做这n个数的加权平均数．
②在求 n 个数的平均数时，如果 x1出现 f1次，x2 出现 f2 次，…，xk 出现 f k 次(这里 f1 +f2+…+f k = n)，那么这 n 个数的加权平均数为， 其中f1，f2，f3，…，fn 分别叫做x1，x2，x3，…，xn的权.
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
（5）算术平均数与加权平均数的区别与联系：
区别：① 算术平均数中各数据都是同等重要，没有相互间差异；
② 加权平均数中各数据都有各自不同的权重地位.
联系：算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
知识点二、中位数和众数
◆1、中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
◆2、中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
◆3、中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
◆4、众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数．
【注意】（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中．
（2）一组数据的众数可能不止一个. 如 1，1，2，3，3，5 中众数是 1 和 3．
（3）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数，如 1，1，1，2，2，5 中众数是 1 而不是 3．
统计量 意义 优点 缺点 简单易错点
平均数 代表数据整体平均水平 用到所有数据，信息最全 易受极端值（偏大 / 偏小）影响 极端值会把平均拉高或拉低
中位数 代表数据中等水平（中间位置） 不受极端值影响，稳定性好 只看位置，没用到全部数据 要先排序，奇数 / 偶数个数算法不同
众数 代表数据最常出现的数值 不受极端值影响，直观 可能没有或不止一个，不能反映整体 众数可以多个，没有众数也正常
知识点三、离差平方和与方差
◆1.离差：一般地，有n个数据x1，x2，…，xn，用表示它们的平均数，我们把xi （i=1,2，…，n）叫做xi 关于平均数的离差.
◆2.方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
有n个数据x1，x2，…，xn，用表示它们的平均数，s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）其中x1）2+（x2）2+…+（xn）2 叫做这n 个数据关于平均数的离差平方和，记作“d ”
◆3.求方差的方法：用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”.
◆4.方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
◆5.用样本方差估计总体方差
用样本方差估计总体方差:在实际问题中，与用样本平均数估计总体平均数一样，我们也常用样本方差估计总体方差
提示:
样本数据越多，统计的工作量也越大，一般根据实际需要选取适当的样本数据；
一般地，在平均数相同的情况下，方差越大，则意味着这组数据对平均数的离散程度也越大；
(3)在两组数据的平均数相差较大时，以及在比较单位不同的两组数据时，不能直接用方差来比较它们的离散程度.
知识点四、数据的四分位数和箱线图
◆1.在百分位数中，25%分位数、50%分位数、75%分位数分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，记为m25，m50，m75，统称四分位数。它们把一组数据分为个数相等的四部分。
◆2.用一组数据中的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值来反映数据分布的中心位置和散布范围的统计图。画法为先找出这5个值，用横线对应，连接下四分位数和上四分位数画出“箱体”，再将最小值和最大值与“箱体”相连，中位数在“箱体”中间。箱线图可粗略观察数据是否对称，不受异常值影响
知识点五、数据的分组
◆数据分组的步骤:
①数据排序:从小到大排列原始数据
②确定切割点:在排序后数据的间隔处分组[个数据有(n-1)个间隔1③计算比较:对每个切割点计算组内离差平方和，选择组内离差平方和最小对应的分组
题型一 求一组数据的平均数
【例1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）某景区推出“AI讲解，智游古迹”的活动，当天结束时统计5个景点的订阅数量分别为2，3，4，5，6．上述数据的平均数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查算术平均数的计算，根据算术平均数的定义，将所有数据求和后除以数据的个数即可得到结果．
【详解】解：根据题意，得这组数据的平均数为，
故选：B．
【变式1】（25-26九年级上·湖南益阳·期末）4月23日是世界读书日，某校为了解本校学生阅读情况，随机调查了一部分学生最近一周的读书时间，并进行了统计，根据调查结果制作了如下的统计图．
根据本次调查的数据估计该校学生最近一周的平均读书时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是求解平均数，利用样本估计总体，求解数据的平均数即可．
【详解】解：，
本次调查的数据估计该校学生最近一周的平均读书时间为．
故选：B
【变式2】（25-26七年级上·河北廊坊·期末）学校七年级（10）班“书香小组”有8名同学，10月份的图书借阅目标为每人8本（以8本为标准，超过的本数记为正数，不足的本数记为负数）．组长统计每人的借阅情况如下：，，，，，，，．该小组10月份实际平均每人借阅图书___________本．
【答案】8.5
【分析】本题考查了平均数的运算，熟练掌握运算方法是解题的关键．
以标准8本为基准，计算借阅情况的偏差之和，再求实际平均借阅量即可．
【详解】借阅情况数据表示每人实际借阅量与标准本的偏差，偏差数据为：，，，，，，，，
偏差之和为，
实际总借阅量为：（本），
平均每人借阅量为：（本）．
故答案为：．
【变式3】（23-24八年级下·重庆秀山·期末）为考查甲、乙两个品种西瓜的甜度，每个品种随机选取4个西瓜进行检测，得到甲品种西瓜甜度数据：34，26，31，25；乙品种西瓜甜度数据：33，32，30，22．则甜度平均数较小的一个品种是______．
【答案】甲
【分析】本题考查平均数，根据平均数的计算公式，求出两种西瓜甜度的平均数，进行判断即可．
【详解】解：甲品种西瓜甜度数据的平均数为：；
乙品种西瓜甜度数据的平均数为：；
因为，
故甜度平均数较小的一个品种是甲；
故答案为：甲．
题型二 已知平均数求未知数据的值
【例2】（25-26七年级上·山东济南·期末）已知下面的一组数据：7，10，x，4，0，3，它们的平均数为5，那么（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【分析】根据平均数的定义，总和等于平均数乘以数据个数，从而列出方程求解x． 本题考查平均数的计算，直接利用定义即可求解．
【详解】解：∵ 数据个数为6，平均数为5，
∴ 总和．
又∵ 已知数据中除x外其余各项之和为，
∴．
故选：A．
【变式1】（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）某一段时间，小芳测得连续五天的日最低气温后，整理得出下表，被遮盖的数据是（ ）
日期 24日 25日 26日 27日 28日 五天的平均气温
最低气温 ■
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查平均值的实际应用，设28日气温为，再根据平均值的计算列出方程求解即可．
【详解】设28日气温为，
∵ 五天的平均气温为，
∴ ，解得，
所以被遮盖的数据为．
故选：D．
【变式2】（25-26八年级上·河南周口·期末）若一组数据2，3，x，5，7的平均数为4，则________．
【答案】3
【分析】根据平均数的定义，通过列一元一次方程求解未知数x的值．
【详解】解：∵一组数据2，3，x，5，7的平均数为4，
∴根据平均数的计算公式可得，
去分母，得
计算得
移项，得
解得，
故答案为：3．
【变式3】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）已知一组数据：，，，，，它们的平均数是，则的值为________．
【答案】
【分析】本题考查平均数的计算，根据平均数的定义列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：数据之和为，
平均数为，
解得．
故答案为：3．
题型三 利用已知的平均数求相关数据的平均数
【例3】已知一组数据a、b、c的平均数为5，那么数据、、的平均数是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了算术平均数；
根据数据a、b、c的平均数为5求出，然后根据算术平均数的计算方法求解即可．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴数据、、的平均数为：，
故答案为：．
【变式1】已知一组数据，，，的平均数是3，则数据，，，的平均数是 ．
【答案】3
【分析】利用平均数的定义直接计算即可得到答案．
【详解】解：，，，的平均数是3，
，，，的和是12，
，
，，，的平均数是，
故答案为：3．
【点睛】本题考查平均数的求法，熟练掌握平均数的计算公式进行计算是解题的关键．
【变式2】（2024春·广西玉林·八年级统考期末）已知：x1，x2，x3...x10的平均数是a,x11，x12，x13...x50的平均数是b,则x1，x2，x3...x50的平均数是（ ）
A．a＋b B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平均数及加权平均数的定义解答即可.
【详解】∵x1，x2，x3...x10的平均数是a，x11，x12，x13...x50的平均数是b,
∴x1，x2，x3...x50的平均数是：.
故选D.
【点睛】本题考查了平均数及加权平均数的求法，熟练运用平均数及加权平均数的定义求解是解决问题的关键．
【变式3（2024上·山东烟台·八年级统考期末）已知：，，，，的平均数是，，，，，的平均数是，则，，，，的平均数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平均数的求法，先求前个数的和，再求后个数的和，然后利用平均数的定义求出个数的平均数，正确理解算术平均数的概念是解题的关键．
【详解】解：∵，，，，的平均数是，，，，，的平均数是，
∴，，，，的平均数是，
故答案为：．
题型四 求加权平均数
【例3】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）某学校需要招聘一名数学老师，招聘方案规定每个应聘老师的最终成绩都由笔试、讲课、答辩成绩组成，其中笔试占，讲课占，答辩占，已知王老师的笔试、讲课成绩分别为98分、95分，最终成绩为96分，那么王老师的答辩成绩为（ ）
A．90分 B．92分 C．94分 D．96分
【答案】A
【分析】本题考查加权平均数的实际应用，根据加权平均数的计算公式，设出答辩成绩，列一元一次方程求解即可．
【详解】解：设王老师的答辩成绩为分，
∵最终成绩由笔试、讲课、答辩成绩按加权计算得出，
∴根据题意列方程：，
∴，
解得：，
∴王老师的答辩成绩为90分，
故选：A．
【变式1】（25-26八年级上·山东济南·期末）小丽在本学期的数学成绩如下：平时测验成绩为93分，期中考试成绩为90分，期末考试成绩为95分，将平时测验成绩、期中考试成绩、期末考试成绩分别按计入学期总评成绩，则小丽本学期的总评成绩是（　　）
A．92.5分 B．92.8分 C．93.1分 D．93.3分
【答案】D
【分析】本题考查加权平均数的计算，需根据给定的权重比例，利用加权平均数公式计算总评成绩．
【详解】解：∵ 权重比为，
∴ 总权重为，
∴ 总评成绩
（分）．
故选：D．
【变式2】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）某校规定：学生的平时作业、期中练习、期末考试三项成绩分别按、、的比例计入学期总评成绩，小华的平时作业、期中练习、期末考试的数学成绩依次为分，分，分，小华这学期的数学总评成绩是__________分．
【答案】
【分析】本题考查加权平均数的计算，数学总评成绩为三项成绩与对应比例的乘积之和．
【详解】解：小华这学期的数学总评成绩为（分）．
【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·期末）某公司招聘职员，对候选人小杨进行了面试和笔试，面试中包括形体和口才．笔试中包括专业水平和创新能力考察，他的成绩（百分制）如表：
候选人 面试 笔试
形体 口才 专业水平 创新能力
小杨 80 90 90 95
若公司根据经营性质和岗位要求认为：形体、口才、专业水平、创新能力按照的比确定，求出小杨的平均成绩是多少？
【答案】小杨的平均成绩是89分
【分析】本题考查加权平均数，解题的关键是理解加权平均数的定义．根据加权平均数的定义求解即可．
【详解】解：平均数．
答：小杨的平均成绩是89分．
题型五 运用加权平均数做决策
【例5】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）学校拟推荐一名同学参加市级演讲比赛，现对甲、乙、丙、丁四位候选人进行量化评分，具体成绩如下表：若总成绩的计算方法是：语言表达能力舞台仪态表现，根据总成绩择优推荐，那么应推荐的同学是（ ）
甲 乙 丙 丁
语言表达能力 96 80 92 91
舞台仪态表现 80 96 84 84
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【分析】本题主要考查了用加权平均数做决策，根据四人在语言表达能力和舞台仪态表现的得分，以及对应的权重求出四人的总成绩，比较即可得到答案．
【详解】解：甲的总成绩：，
乙的总成绩：，
丙的总成绩：，
丁的总成绩：，
∵，
∴ 甲的总成绩最高， 应推荐甲，
故选：A．
【变式1】（2025·福建三明·三模）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力、经验三个方面对甲、乙、丙、丁四名应聘者进行了测试，测试成绩如下表：
应聘者项目 甲 乙 丙 丁
学历 70 75 80 80
能力 90 80 80 85
经验 70 80 70 65
如果这家公司比较看重员工的能力，将学历、能力、经验三项得分按的比例加权平均确定每人的最终得分，录用得分最高者，那么将被录用的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【分析】本题考查求加权平均数，根据加权平均数的计算方法，分别求出甲、乙、丙、丁四名应聘者的最终得分，进行判断即可．
【详解】解：甲的最终得分为：；
乙的最终得分为：；
丙的最终得分为：；
丁的最终得分为：；
故甲的最终得分最高，将被录用；
故选A．
【变式2】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．进入决赛的前两名选手需要确定名次(不能并列)，他们的成绩如下(单位：分)．
选手 内容 能力 效果
甲
乙
(1)分别计算甲、乙两名选手的平均成绩，能否以此确定两人的名次？
(2)如果把内容、能力、效果的成绩按计算，请你确定两人的名次．
【答案】(1)甲的平均成绩为分，乙的平均成绩为分，不能确定两人的名次；
(2)甲为第一名，乙为第二名．
【分析】本题考查算术平均数与加权平均数的计算及实际应用．关键是掌握算术平均数和加权平均数的计算公式，理解不同权重对结果的影响．
解题思路：根据算术平均数的计算公式，分别求出甲、乙两名选手的平均成绩，若平均成绩相等则无法确定名次；
解题思路：根据加权平均数的计算公式，按照的权重分别计算甲、乙的加权平均成绩，比较成绩大小确定名次．
【详解】（1）解：甲的平均成绩为(分)；
乙的平均成绩为(分)；
∵甲、乙两名选手的平均成绩相同，
∴不能以此确定两人的名次；
（2）解：根据题意，权重总和为，
甲的加权平均成绩为(分)；
乙的加权平均成绩为(分)；
∵，
∴甲为第一名，乙为第二名．
【变式3】（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）某电视台招聘综艺大观节目主持人．在众多的竞聘者中有甲乙两名参赛者够资格进行决赛、电视台特意为这两名竞聘者安排了一次综艺节目，请现场的评委，广大的电视观众进行打分，事后整理出了这两名竞聘者的各项成绩，制作出不完整的统计表和统计图．
项目 甲的成绩 乙的成绩
演讲内容
语言表达
形象风度
现场效果
平均分
(1)表中和的值分别为多少？
(2)把统计图补充完整；
(3)若这四项内容按得分的，，，的权重比例，计算最终得分，你认为甲和乙这两名参赛者，谁最后更可能被电视台聘用？
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)甲最后更可能被电视台聘用
【分析】本题考查了数据分析中的平均数计算、统计图补全及加权平均数的应用．掌握平均数的计算方法、理解加权平均数中权重的作用并能进行准确计算是解题的关键．
（1）本小题考查算术平均数的计算．直接根据公式，分别计算甲四项成绩的平均分a和利用乙的平均分反推b的值，可得, ．
（2）解题关键是根据第(1)问计算出的，将乙的“形象风度”得分在统计图中对应的条形补充绘制到分的高度．
（3）本小题核心是计算加权平均数并做出决策．需将甲、乙的各项成绩分别乘以对应的权重比例（，，，）再求和，计算出甲的最终得分（分）高于乙（分），从而判断甲更可能被聘用．
【详解】（1）解：，
；
（2）如图所示
（3）甲：，
乙：，
甲最后更可能被电视台聘用．
题型六 求中位数
【例6】一组数据，，，，，，的众数是，则这组数据的中位数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了众数的概念及中位数的计算，根据众数求出的值，再根据中位数的定义求出中位数即可，熟知以上知识是解题的关键．
【详解】解：∵一组数据，，，，，，的众数是，
∴，
∴这一组数据从小到大排序为，，，，，，，
∴这组数据的中位数是，
故选：．
【变式1】（25-26九年级上·河北沧州·期末）手机记录了邯郸市某周的日最低气温，如下表．
日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
日最低气温
则这周的日最低气温（单位：）所组成的个数据的中位数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了中位数的定义，先将数据按从小到大的顺序排列，再根据数据个数的奇偶性确定中位数即可，掌握中位数的定义是解题关键．
【详解】解：将这周的日最低气温数据从小到大排列为，，，，，，，
∵数据共有个（奇数个），中位数为第个数据，
∴这组数据的中位数是，
故选：．
【变式2】（25-26九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）重庆9月5日到10日的最高气温的折线统计图如图所示，则这六天的最高气温的中位数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查中位数的定义，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果这组数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．据此求解即可．
【详解】解：根据6天的最高气温折线统计图，
将这6天的最高气温(最高气温)按从小到大排列为：
25，28，28，30，31，32，
故中位数为．
故选：B．
【变式3】（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）如图是嘉淇记录的个整点时刻的气温统计图，则这个整点时刻的气温的中位数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了中位数的知识，根据中位数的概念求解，解题的关键是正确理解将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【详解】解：将这组数据按从小到大的顺序排列：、、、、、、、，
∴中位数为 ，
∴气温的中位数是，
故选：．
题型七 利用中位数求未知数据的值
【例7】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）已知一组数据a，2，4，8，6的中位数是6，那么a可以是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】本题考查中位数的定义．需根据中位数概念，结合数据排序后中位数为6的条件确定a的取值范围，再匹配选项即可．
【详解】解：∵中位数的定义是将一组数据从小到大（或从大到小）排列后，若数据个数为奇数，则中位数为中间位置的数；若为偶数，则为中间两个数的平均数．
∵这组数据共5个（奇数个），中位数为排序后的第3个数，且题目规定中位数为6．
将已知数据从小到大排列：2，4，6，8．
要使排序后第3个数为6，则．
观察选项，只有D选项的6满足的条件．
故选：D
【变式1】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）一组数据1，3，5，8，的中位数是5，则下列的取值中，满足条件的是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【分析】本题考查中位数的定义；
根据奇数个数据的中位数概念，确定的取值范围，再匹配选项即可．
【详解】解：∵中位数定义为：将数据从小到大排列后，奇数个数据的中位数是中间位置的数，
∵这组数据共5个，中位数是5，
∴将数据从小到大排列后，第3个数必须为5，
∴需满足，
∵选项中仅符合条件，
故选：D．
【变式2】（25-26八年级上·河南周口·期末）若一组数据2， x， 4， 5， 6的中位数为4，则x的取值范围是______．
【答案】
【分析】本题主要考查了中位数，解题的关键是掌握中位数的定义．
根据中位数的定义，将数据按从小到大排序后，第三个数即为中位数．已知中位数为4，因此排序后第三个数必须为4．
【详解】解：数据由5个数组成，排序后第三个数为中位数4，
已知数据中有2、4、5、6，其中2小于4，5和6大于4．
要保证4在第三位，需至少有两个数小于或等于4．
由于2已满足小于4，故x必须小于或等于4．
因此x的取值范围是．
故答案为：．
【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）一组数据，1，，5，7，2中，若中位数恰好是，则整数的值可能为______．
【答案】2或3或4或5
【分析】根据中位数的定义，将数据排序后，中位数为中间两个数的平均值，设其等于，结合数据中的固定值，求解整数的可能值．
本题考查了中位数的定义，根据中位数的定义分析判断即可．
【详解】解：数据，，，，，中，若中位数恰好是，
则数据按大小排序为：，，，，，，
则，且为整数，
∴整数可能是，，，，
故答案为：或或或．
题型八 求众数
【例8】（23-24八年级上·四川甘孜·期末）八（2）班的卓玛同学最近几次数学考试的成绩（单位：分）分别是105，110，112，107，121，110，则卓玛同学这几次数学考试成绩的众数是（ ）
A．105 B．107 C．110 D．121
【答案】C
【详解】解：105出现1次，110出现2次，112出现1次，107出现1次，121出现1次，
∵110在这组数据中出现的次数最多，
∴这组数据的众数是110．
【变式1】（23-24八年级下·江苏南通·期末）某校篮球队五名主力队员的身高分别为、、、、（单位：cm），则这组数据的众数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵出现的次数最多为次，
∴这组数据的众数是．
【变式2】年1月，中共中央、国务院印发《教育强国建设规划纲要年)》，其中就提出了中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求．某校为了解学生的综合体育活动情况，对部分学生在一周内的综合体育活动时间统计如下表：
时间/
人数 5 3
则这些学生的综合体育活动时间的众数是______．
【答案】
【分析】本题考查众数的定义，众数是指一组数据中出现次数最多的数据．关键是通过观察表格，找出对应学生人数最多的综合体育活动时间，该时间即为这组数据的众数．
【详解】解：观察表格中的数据可知，综合体育活动时间为的学生人数最多，有人，
因此这些学生的综合体育活动时间的众数是．
故答案为：．
【变式3】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）为了倡导节约用水，阳光小区物业随机抽取了8户家庭上个月家里的用水量（单位：吨）情况，分别为7，8，9，9，10，10，10，11，则这组数据的众数是_____吨．
【答案】10
【分析】本题主要考查了众数的定义，熟练掌握众数的定义是解题的关键．众数是一组数据中出现次数最多的数据，找出这组数据中出现次数最多的数据即可．
【详解】解：数据为7，8，9，9，10，10，10，11中7出现1次，8出现1次，9出现2次，10出现3次，11出现1次，则众数是10．
故答案为：10．
题型九 利用众数求未知数据的值
【例9】若数据11，12，12，19，11，x的唯一众数是12，则x的值是（ ）
A．12 B．11 C．11.5 D．19
【答案】A
【分析】此题考查了众数的定义，众数是数据中出现次数最多的数，注意众数可以不止一个．
根据众数的定义求解即可．
【详解】解：数据11，12，12，19，11，x的众数是12，
．
故选：A．
【变式1】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）一组数据，，，，，，有唯一的众数，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了众数的概念，根据众数的概念：一组数据中出现次数最多的数值即为众数，即可得到答案，熟练掌握众数的概念为解题的关键．
【详解】解：∵这组数据中，出现两次，又有唯一的众数，
∴，
故选：．
【变式2】五个数据，的中位数和众数都是，则______．
【答案】或
【分析】本题考查了中位数，众数，熟练掌握以上知识是解题的关键．
先把个数据按顺序排列，然后根据既为众数也为中位数，求出的值．
【详解】解：其余4个数据按顺序排列为：，
∵是中位数，也是众数，
∴或．
故答案为：或．
【变式3】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若一组数据、、、、、的众数是，则的值为______．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是利用众数求未知数据的值，解题关键是熟练掌握众数的定义．
根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据即可得出答案．
【详解】解：这组数据中的众数是，即出现次数最多的数据为，
故．
故答案为：．
题型十 求中位数和众数
【例10】某学校举行知识竞赛，其中名选手的得分如下表：
得分
人数
则这名选手得分的众数、中位数分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查众数和中位数的概念，根据概念分别计算即可得到结果．
【详解】解：∵众数是一组数据中出现次数最多的数，本题中得分的人数最多，为人，
∴众数为，
∵共有个数据，将数据从小到大排列后，偶数个数据的中位数是中间两个数的平均数，即第个和第个数据的平均数，
将数据从小到大排列为，则排列后可得第个数据为，第个数据为，
∴中位数为，
因此这组数据的众数为，中位数为．
【变式1】（25-26九年级上·湖南长沙·期末）为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、浇水、剪枝、捉鱼、采摘六项实践活动，已知六个项目参与人数（单位：人）分别是：42，38，35，43，40，42．则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．42，39 B．42，41 C．42，40 D．42，42
【答案】B
【分析】本题主要考查众数、中位数的计算，根据众数和中位数的定义求解，众数是出现次数最多的数据，中位数是将数据排序后中间位置的数或平均数．
【详解】解：∵数据为，
∴众数为42（出现2次），
将数据排序：，
∵数据个数为6（偶数），
∴中位数为第三和第四位的平均值,即，
故选：B．
【变式2】（25-26八年级上·山东威海·期末）某学校学生给学校食堂的打分情况如图所示，由此可以得到本次打分的平均数，众数和中位数分别是（ ）
A．3.5分，3分，3分 B．3分，3分，4分
C．3.42分，3分，3分 D．无法计算，3分，4分
【答案】C
【分析】本题考查了平均数、众数、中位数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据平均数、众数、中位数的定义解题即可．
【详解】解：由图可知，本次打分的平均数为分，
3分占，
∴众数为3分，中位数为3分．
故选：C ．
【变式3】为“有效减少近视发生，呵护孩子光明未来”，某班体育委员将全班50名同学视力检查数据，绘制成了如图所示的条形统计图，则这50名同学视力检查数据的中位数和众数分别是（ ）
A．4.8，13 B．4.7，4.8 C．13，4.8 D．4.8，4.8
【答案】D
【分析】本题考查中位数、众数的求法：①给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据里的数．②给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．如果一组数据存在众数，则众数一定是数据集里的数．根据表格数据结合定义，即可求解．
【详解】∵共有50个数据，第25个数据和第26个数据都为4.8
∴中位数为；
∵4.8出现的次数最多
∴众数为4.8．
故选：D．
题型十一 求离差平方和
【例10】（25-26八年级上·山东青岛·期末）学校举行秋季运动会，仪仗方队一组6名队员的身高（单位：）分别是：174，178，176，179，174，175，当一名身高为的队员下场休息，现在5名队员身高的平均数和离差平方和与原6名队员相比（ ）
A．平均数变大，离差平方和变小 B．平均数不变，离差平方和不变
C．平均数不变，离差平方和变大 D．平均数变小，离差平方和变大
【答案】B
【分析】本题主要考查了平均数和离差平方和，解题的关键是掌握以上两个公式．
先分别计算原6名队员与现5名队员身高的平均数，再计算两者的离差平方和，通过比较结果得出结论，用到平均数和离差平方和的定义和公式．
【详解】解：∵原6名队员身高总和为，
∴原平均数为；
∵去掉的队员后，5名队员身高总和为，
∴现平均数为；
∴平均数不变；
∵原离差平方和为
；
现离差平方和为
；
∴离差平方和不变；
综上，平均数不变，离差平方和不变，
故选：B．
【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）求一组数据方差的算式为：对于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．n的值为5 B．平均数是7
C．离差平方和是5 D．方差是
【答案】C
【分析】先从方差算式中提取原数据，再根据定义逐一计算各选项，判断得到错误说法．
【详解】解：∵方差算式中共有5个平方项，
∴，
∴A选项说法正确，不符合题意；
原数据为6，8，8，6，7计算平均数得：
，
∴B选项说法正确，不符合题意；
将平均数代入：
；
∴离差平方和为4，不是5
∴C选项说法错误，符合题意．
，
∴D选项说法正确，不符合题意；
【变式2】（25-26八年级上·陕西铜川·期末）已知一组数据的方差，则这组数据的离差平方和的值是_______．
【答案】120
【分析】本题考查离差平方和，方差是离差平方和除以数据个数，已知方差和数据个数，可求离差平方和．
【详解】由方差公式 ，其中 ，，则离差平方和 ．
故答案为： 120．
【变式3】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）为了增强学生的体质，体育老师组织本班学生进行投篮比赛，每人投5次，现从班级45人中随机抽取5名同学的投中次数，得到数据如下：5，5，4，3，3，则这组数据的离差平方和为_____．
【答案】4
【分析】本题考查了离差平方和，掌握离差平方和是每个数据与平均数的差的平方之和是解题关键．先求出平均数，再根据离差平方和的定义求解即可．
【详解】解：数据的平均数为 ．
离差平方和为．
故答案为：4．
题型十二 离差平方和的应用
【例11】（25-26八年级下·全国·课后作业）小刚在计算某组样本的离差平方和时，列式为，则这组样本的平均数和样本容量分别是（ ）
A．4，5 B．3，3 C．2，4 D．3，5
【答案】D
【分析】离差平方和的计算公式为每个数据与样本平均数的差的平方之和． 从给定的列式可知，每个数据均减去后平方，因此样本平均数为；列式中共有个平方项，因此样本容量为．
本题考查了样本容量和平均数，通过离差平方和公式的结构直接得出样本容量和平均数，需明确样本容量是数据的个数，平均数则是离差平方和计算中统一减去的数值．
【详解】解：∵ 离差平方和公式为，其中为样本平均数，为样本容量．
给定列式为，
∴ 每个数据与的差，故．
列式中有个平方项，故．
∴ 这组样本的平均数为，样本容量为，
故选：D．
【变式1】（25-26八年级上·江苏南通·期末）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）
分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和
第1个间隔 0
第2个间隔 2
第3个间隔 2
第4个间隔 0
根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】B
【分析】本题主要考查了利用离差平方和进行分组，解题的关键是掌握离差平方和的定义．
根据组内离差平方和最小原则，选取间隔，然后根据离差平方和逐项进行验证即可．
【详解】解：根据组内离差平方和最小原则，选取第2个间隔，
A. 的平均数为7，离差平方和为，
的平均数为，
离差平方和为，
组内离差平方和为；
B. 的平均数为，离差平方和为，
的平均数为，
离差平方和为，
组内离差平方和为；
C. 的平均数为，
离差平方和为，
的平均数为，
离差平方和为，
组内离差平方和为；
D. 的平均数为，
离差平方和为，
的平均数是15，离差平方和为，
组内离差平方和为；
根据组内离差平方和最小原则，可知B符合题意，其余均不符合题意，
故选：B．
【变式2】（25-26八年级上·山西晋中·期末）下列说法中正确的是（ ）
A．小明所在班级学生的平均身高是，小亮所在班级学生的平均身高是，小颖说“小亮一定比小明矮”
B．已知A，B两家网站用户的日人均上网时间分别为和，这两家网站所有用户的日人均上网时间为
C．小军所在的篮球队队员身高的中位数是，他说“我身高，我的身高在篮球队里是中等偏上的”
D．在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最大”
【答案】C
【分析】本题考查了平均数、中位数的意义及统计分组的基本概念，需结合各概念逐一分析选项判断正误．
【详解】解：A、平均数反映一组数据的整体平均水平，不能代表个体情况仅通过班级平均身高无法比较小明和小亮的具体身高，原说法错误，不符合题意；
B、计算两家网站所有用户的日人均上网时间，需用总上网时间除以总用户数，不能直接对两个日人均值取平均（两家用户数不一定相等），原说法错误，不符合题意；
C、中位数是将数据排序后位于中间位置的数，篮球队身高中位数为，说明至少一半队员身高，而，故小军的身高在队里中等偏上，原说法正确，符合题意；
D、统计学中常用分组方法是使“组内离差平方和达到最小”， 原说法错误，不符合题意；
故选：C．
【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）晓慧同学为了在明年的中考体育考试中取得最好的成绩，每天自己在家里练习一分钟仰卧起坐，妈妈统计了她连续六天内仰卧起坐的个数：28，25，30，27，30，26．按照“组内离差平方和达到最小”的方法分成两组，则组内离差平方和的最小值是（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【分析】先将数据从小到大排序，枚举所有合理分组，分别计算各组的组内离差平方和（组内每个数据与组平均数差的平方和），比较后得到最小值.
【详解】解：将数据从小到大排列得：，
当分组为，
则，
的平均数为，
，
∴，
当分组为时，同法可得：；
当分组为3个数和3个数时，要使“组内离差平方和达到最小”，则应分组为和，
第一组平均数，
，
第二组平均数，
，
总离差平方和；
当分组为时，同法可得，
当分组为时，同法可得；
组内离差平方和的最小值为.
题型十三 求方差
【例13】（25-26八年级上·贵州毕节·期末）若一组数据2，4，x，1，6的平均数是3，则这组数据的方差为（ ）
A．2 B．3.5 C．3.2 D．5
【答案】C
【分析】先根据平均数公式求出未知数x，再利用方差公式计算方差，即可得到结果．
【详解】解：∵这组数据2，4，x，1，6的平均数为，数据个数为，
∴
解得，
∴方差．
【变式1】（23-24七年级上·湖南张家界·期末）已知一组数据，，，，…，的平均数为2，方差为，那么另一组数据，，，，…，的平均数和方差分别是（ ）
A．4， B．2，1 C．2， D．4，3
【答案】D
【分析】当数据都加上一个数(或减去一个数)时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数(或除以一个数)时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍．根据数据的变化和其平均数及方差的变化规律求得新数据的平均数及方差即可．
【详解】解：数据，，，，…，的平均数为2，
数据，，，，…，的平均数是；
数据，，，…的方差为，
数据，，，，…，的方差是．
【变式2】（23-24八年级下·新疆吐鲁番·期末）如果一组数据，，，的方差是，那么数据，，，的方差是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设一组数据，，…，的平均数为，方差是，则另一组数据，，…，的平均数为，方差是，代入方差公式，计算即可．
【详解】解：设一组数据，，…，的平均数为，方差是，则另一组数据，，…，的平均数为，方差是，
∵，
∴，
，
，
∴．
【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）已知一组数据的离差平方和，则这组数据的方差的值是_______．
【答案】5
【分析】本题考查方差与离差平方和，根据方差是离差平方和的平均值，数据个数为4，离差平方和为20，代入公式计算即可
【详解】解：一组数据的离差平方和，
∴这组数据的方差的值是，
故答案为：5．
题型十四 利用方差求未知数的值
【例14】（25-26八年级上·陕西西安·期末）小聪在计算一组数据的方差时，列出了算式：．关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
①平均数是4；②中位数是5；③众数是5；④样本容量是3．
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】B
【分析】本题主要考查平均数、中位数、众数及方差，解题的关键是掌握平均数、中位数、众数及方差的定义．由题意知这组数据为2、4、5、5，再根据平均数、中位数、众数及样本容量的概念求解即可．
【详解】解：由题意知，这组数据为2、4、5、5，
所以这组数据的平均数为，①正确；
中位数为，②错误；
众数为5，③正确；
样本容量为4，④错误；
故选：B．
【变式1】（25-26八年级上·山西运城·期末）吴老师在黑板上写出一个计算方差的算式：．根据算式，下列结论判断错误的是（ ）
A． B．平均数为8
C．众数是9 D．若添加一个数8后，方差变小
【答案】C
【分析】本题主要考查了求一组数据的方差，平均数，众数，根据方差算式可得这组数据为9，7，9，7，8，这组数据的平均数为8，则可求出这组数据的众数，再求出添加一个数8后的平均数和方差即可得到答案．
【详解】解：∵方差算式为，
∴这组数据为9，7，9，7，8，共5个数据，即，故A结论正确，不符合题意；
由方差算式可知平均数为8，故B结论正确，不符合题意；
这组数据中7和9均出现了2次，次数最多，
所以这组数据的众数为7和9，C结论错误，符合题意；
添加一个8后，数据为9，7，9，7，8，8，平均数仍为8，
原始方差，
新方差，
∴方差变小，故D结论正确，不符合题意．
故选：C．
【变式2】（24-25八年级下·湖北恩施·期末）八年级某班准备从甲、乙两位同学中选一人参加学校跳绳比赛．通过多次测试统计，他们的平均成绩都是每分钟180个，方差分别是：．最终选择了更稳定的甲参加比赛，则可能是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】本题考查了方差的意义．
根据方差越小，成绩越稳定判断即可．
【详解】解：∵，甲更稳定，
∴，
只有D符合，
故选：D．
【变式3】（24-25九年级上·河北邢台·月考）小明根据方差公式分析和计算得出了四个结论，其中不正确的是（ ）
A． B．众数是3 C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了方差，平均数，众数，根据方差计算公式可得这组数据为，2，3，3，6，且平均数为3，则，再由平均数计算公式可得，据此可得众数为3，再计算出方差即可得到答案．
【详解】解：由方差计算公式可知，这组数据为，2，3，3，6，且平均数为3，，故C正确，不符合题意，
∴，
∴，故A正确，不符合题意，
∴这组数据为1，2，3，3，6，
∴众数为3，故B正确，不符合题意，
，故D不正确，符合题意，
故选：D．
题型十五 利用方差判断稳定性
【例15】小张和小李练习射击，第一轮10发子弹打完后，两人的成绩如图所示．根据图中的信息，小张和小李两人中成绩较稳定的是（ ）
A．小张 B．小李 C．一样 D．不确定
【答案】A
【分析】通过观察折线统计图中数据的波动情况，波动小的成绩更稳定．
【详解】解：由图可得，小张成绩波动小，小李成绩波动大，故两人中成绩较稳定的是小张．
【变式1】（25-26九年级上·江苏无锡·期末）某校举行健美操比赛，从甲、乙、丙三个班的参赛学生中各随机抽取10名学生进行身高测量，三个班抽取的学生平均身高都是米，身高数据的方差分别是，，，则估计参赛学生的身高比较整齐的班级是（ ）
A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．同样整齐
【答案】C
【分析】本题考查方差的意义，方差越小，数据的波动越小，说明数据越整齐，只需比较三个班身高数据的方差大小即可得出结论．
【详解】解：∵，，，且，
∴
∵方差越小，数据的波动越小，身高越整齐
∴参赛学生的身高比较整齐的班级是丙班．
故选：C．
【变式2】（24-25八年级下·黑龙江黑河·期末）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均为环，方差分别为，，，，则四人中成绩最稳定的是______．
【答案】丁
【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据波动越小，成绩越稳定，比较各方差大小即可得出答案．
【详解】解：∵，，，，且平均数均为环，
∴，
∴四人中成绩最稳定的是丁．
【变式3】（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）某次歌咏比赛，前三名选手的成绩统计如下：（单位：分）
测试项目 测试成绩
小王 小李 小林
唱功 8 9 9
音乐常识 10 8 6
综合知识 8 9 10
(1)如果将唱功、音乐常识和综合知识三项测试成绩按的加权平均分排出冠军、亚军季军，则冠军、亚军、季军各是谁？
(2)通过计算方差，谁的成绩最稳定？
【答案】(1)冠军是小李，亚军是小王，季军是小林
(2)小李的成绩最稳定
【分析】（1）先分别计算三人的加权平均分，比较大小后确定名次；
（2）计算三人成绩的方差后比较得出结论．
【详解】（1）解：小王的加权平均分：（分），
小李的加权平均分：（分），
小林的加权平均分：（分），
，
冠军是小李，亚军是小王，季军是小林；
（2）解：小王的平均成绩：，小王的方差：，
小李的平均成绩：，小李的方差：，
小林的平均成绩：，小林的方差：，
，方差越小成绩越稳定
小李的成绩最稳定．
题型一运用方差做决策
【例1】（25-26九年级上·湖南永州·期末）两个城市的春季（3-5月）日间平均气温都是，城市A的温度方差小；城市B的温度方差大（比如：今天暖如夏，过两天可能骤降到，然后又快速回升），喜欢稳定舒适的你，宜选择___城市生活．（填A、B）
【答案】
A
【分析】根据方差的意义，方差是衡量一组数据波动程度的统计量，方差越小，数据的波动越小，数据越稳定．结合题意选择稳定的城市即可．
【详解】解：已知城市A的温度方差小，说明其春季日间平均气温波动小，更稳定舒适，所以宜选择城市A生活．
故答案为：A．
【变式1】（23-24八年级上·陕西汉中·期末）8年级某老师对一、二班学生阅读水平进行测试（满分为10分，得分均为整数），并将成绩进行了统计，绘制了如下图表（统计图完整），成绩大于或等于6分为合格，成绩大于或等于9分为优秀．
班级 平均分 方差 中位数 众数 合格率 优秀率
一班 7
二班 8
根据图表信息，回答下列问题：
(1)求表中，，，的值；
(2)用方差推断，哪个班的成绩波动较大？用优秀率和合格率推断，哪个班的阅读水平更好些？简单说明理由．
【答案】(1)，，，
(2)用方差推断二班的成绩波动较大；用优秀率和合格率推断，一班的成绩更好些；见解析
【分析】（1）根据中位数，众数，平均数，优秀率的定义求解即可；
（2）利用方差，优秀率求解即可；
【详解】（1）解：由条形统计图知：一班5分的3人，6分的14人，7分的7人，8分的8人，9分的4人，10分的4人；二班1分的3人，5分的3人，6分的9人，7分的4人，8分的17人，9分的2人，10分的2人．
一班的平均分．
二班共有学生40人，按分数从小到大排列后第20人是8分，第21人是8分，
．
由条形统计图知，一班得6分的人数最多，故众数．
由条形统计图知，二班得6分及以上的有（人）．
二班的合格率．
（2）解： ，
用方差推断二班的成绩波动较大；
，，
用优秀率和合格率推断，一班的成绩更好些．
【变式3】（23-24八年级上·宁夏银川·期末）小明和小红5次数学单元测试成绩如下：（单位：分）
小明：89、73、89、91、93；小红：86、66、89、92、92．
他们都认为自己的成绩比对方同学好．
(1)分别计算小明和小红5次数学单元测试成绩的平均数、中位数和众数，并分析他们各自认为自己的成绩比对方同学好的理由；
(2)你认为谁的成绩更稳定？说一说你的理由．
【答案】(1)
小明：平均数为87分，中位数为89分，众数为89分；小红：平均数为85分，中位数为89分，众数为92分；小明认为自己成绩更好的理由是小明成绩的平均数高于小红，小红认为自己成绩更好的理由是小红成绩的众数高于小明.
(2)
小明的成绩更稳定，理由见解析
【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的意义解答即可；
（2）求出小明和小红这5次数学单元测试成绩的方差即可解答．
【详解】（1）解：小明5次测试成绩的平均数为（分），
将小明5次测试成绩从小到大排列，处在中间位置的一个数为89，因此中位数是89，
小明5次测试成绩出现次数最多的是89，共出现2次，因此众数是89，
小红5次测试成绩的平均数为（分），
将小红5次测试成绩从小到大排列，处在中间位置的一个数为89，因此中位数是89，
小红5次测试成绩出现次数最多的是92，共出现2次，因此众数是92，
小明认为自己成绩更好的理由是小明成绩的平均数高于小红，小红认为自己成绩更好的理由是小红成绩的众数高于小明；
（2）解：小明的成绩更稳定，理由如下：
小明方差： ，
小红方差： ，
小明成绩的波动更小，小明的成绩更稳定．
【变式3】（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）某校从甲、乙两名优秀选手中选一名参加全市中小学生运动会的男子100米跑项目，该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下表：
1 2 3 4 5 6 7 8
甲的成绩(秒) 12 12.3 13 12.9 13.1 12.5 12.4 12.6
乙的成绩(秒) 12.1 12.4 12.8 13 12.2 12.7 12.3 12.5
已知甲运动员8次测试的平均成绩秒，乙运动员8次测试的方差．
(1)则乙运动员的8次测试的平均成绩 秒．
(2)求甲运动员的8次测试成绩的方差．
(3)请从平均数、中位数、方差角度，评价两位选手的成绩，并挑选出市中小学运动会的参加选手．
【答案】(1)12.5
(2)0.125
(3)选乙，评价见解析
【分析】（1）根据平均数的定义解答即可；
（2）根据方差的公式计算即可；
（3）分别比较两位选手的平均数、中位数、方差即可．
【详解】（1）解：（秒）；
（2）解：；
（3）解：选乙，理由如下：
甲的平均数是12.6，乙的平均数是12.5；甲的方差是0.125，乙的方差是0.085；甲成绩的中位数是12.55，乙成绩的中位数是12.45；由上述统计量可知，乙的成绩比较稳定，从平均数和中位数来看，也是乙成绩较好，故选乙参加．
题型二 求四分位数
【例2】（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图，已知（）班和（）班人数相等，在一次考试中两班成绩中位数相同，两班成绩的箱线图如下，下列判断正确的是（ ）
A．（）班成绩比（）班成绩集中 B．（）班成绩的上四分位数是分
C．（）班有同学的成绩超过分 D．（）班的最低分低于（）班的最低分
【答案】D
【分析】根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及到的统计量进行分析判断即可．
【详解】解：、观察箱线图知：（）班成绩的箱线图宽度较窄，则（）班成绩比（）班成绩集中，故原说法错误，不符合题意；
、观察箱线图知：（）班成绩的下四分位数是分，上四分位数约为分，故原说法错误，不符合题意；
、观察箱线图知：（）班成绩的最大值约为分，没有同学的成绩超过分，故原说法错误，不符合题意；
、观察箱线图知：（）班成绩的最低分约为分，（）班成绩的最低分约为分，，即（）班的最低分低于（）班的最低分，故原说法正确，符合题意．
【变式1】（25-26八年级上·陕西汉中·期末）某市12月某周空气质量指数（）的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数为（ ）
A．102 B．98 C．114 D．106
【答案】A
【分析】根据箱线图中间箱体的下底对应的数值即是这组数据的下四分位数（分位数）解答即可．
【详解】解：箱线图的箱体下底的对应值为102，所以这组数据的下四分位数是102．
【点睛】解题的关键是掌握箱线图相关的定义．
【变式2】（25-26八年级上·福建漳州·期末）小颖根据一组数据画出如图所示的箱线图，则下列说法不正确的是（ ）．
A．最小值为47 B．中位数为73
C．上四分位数为83 D．平均数为73
【答案】D
【分析】本题考查箱线图和中位数的定义，根据箱线图逐项分析即可．
【详解】解：对于A：由图可知，这组数据的最小值为47，故A正确；
对于B：由图可知，这组数据的中位数为73，故B正确；
对于C：由图可知，这组数据的上四分位数为83，故C正确；
对于D：根据箱线图不能直接得到平均数，故D不正确．
故选：D．
【变式3】（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，该箱线图反映了某场女排决赛中两队队员拦网高度情况．下列说法正确的是（　　）
A．甲队队员拦网高度的整体水平更高 B．乙队队员拦网高度的平均数更大
C．甲队队员拦网高度的方差更大 D．乙队队员拦网高度的中位数更大
【答案】A
【分析】本题考查方差，四分位数，结合统计图的数据集中程度和中位数等根据生活实际分析即可解答．
【详解】解：从图中可以看出，
甲队拦网高度的整体水平比乙队高，故选项A符合题意；
甲队队员拦网高度的平均数更大，故选项B不符合题意；
甲队队员拦网高度的方差更小，故选项C不符合题意；
乙队队员拦网高度的中位数更小，故选项D符合题意．
故选：A．
题型三 画箱线图
【例3】（25-26八年级上·山西运城·期末）某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断下列说法正确的是（ ）
A．三个班级中，甲班分数的方差最大
B．三个班级中，乙班学生得分两极分化最不明显
C．丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数
D．若每班有42个学生，则三个班级中每班第11名的成绩相比较，甲班分数最高
【答案】C
【分析】本题主要考查箱线图的相关知识．通过箱线图中数据的分布情况，对各选项逐一进行分析判断即可解答．
【详解】解：、箱线图中，数据的离散程度可通过箱线图的宽度来判断，宽度越窄，数据越集中，方差越小．甲班箱线图的宽度相对较窄，说明甲班分数更集中，所以甲班分数的方差最小，故本选项错误，不符合题意；
、由箱线图可知，乙班中最大值较另两个班更大，最小值较另两个班更小，故乙班分数的波动最大，故本选项错误，不符合题意；
、由箱线图可知，丙班的中位数大于80，故丙班得分高于80分的学生人数多于得分低于80分的学生人数，丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数，故本选项正确，符合题意；
、每班有42个学生，第11名的分数是按从高到低排序后的第11个数据，从箱线图看，丙班的分数最高，故本选项错误，不符合题意；
【变式1】（25-26八年级上·河南郑州·期末）体育老师统计了八（1）班和八（2）班学生的跳绳次数，并绘制成如下的箱线图．下列说法正确的是（ ）
A．八（1）班跳绳次数更集中
B．跳绳次数最小值出现在八（2）班
C．两个班级跳绳次数的中位数相等
D．八（2）班跳绳次数整体比八（1）班好
【答案】D
【分析】本题考查了箱线图的概念，需理解箱线图的构成及表示含义，再逐一分析各个选项即可．
【详解】解：A项：箱线图中，数据的“集中程度”看箱体的宽度，箱体越窄，数据越集中，
在八（1）班和八（2）班中，1班的箱体宽度为，2班的箱体宽度为，
∵，
∴八（2）班跳绳次数更集中，故A错误；
B项：箱线图中，最下端点是数据的最小值，
对比1班和2班的最下端点，1班最下端点是136，2班最下端点是152，
∵，
∴1班的最小值更小，而非2班，故B错误；
C项：箱线图中，中间的线代表中位数，
对比1班和2班的中位数，1班中位数是165，2班中位数是172，
∵，
∴两个班的中位数不相等，故C错误；
D项：判断“整体水平”可看中位数，中位数代表数据的中间水平，中位数越高，整体水平越高，
对比1班和2班的中位数，明显2班的中位数高于1班的中位数，
∴2班的跳绳次数整体比1班的好，故D正确．
【变式2】（25-26八年级上·广东深圳·期末）在某次射击训练中，甲、乙、丙三人的成绩如图所示，利用图中提供的数据，解决下面的问题：
(1)小亮将3人成绩进行统计，得到甲、乙、丙成绩的部分统计量如表：
平均数 众数 最小值 下四分位数 中位数 上四分位数 最大值
甲 7 7 4 7 a 10
乙 7 b 6 6 7 7 10
丙 7 7 5 6 c 8 9
表中______，______，______．
(2)小亮发现3人的平均成绩相同，为了选出发挥更稳定的选手参加比赛，小亮计算各组成绩的离差平方和，得到以下结果：
；
；
．
因此，小亮觉得乙成绩的离差平方和与丙的相同，射击水平一样稳定，你同意小亮的说法吗？请说明理由．
(3)请结合统计量，评价这三名同学的射击情况．
【答案】(1)，，；
(2)不同意，理由见解析；
(3)见解析．
【分析】本题考查平均数，众数，中位数，四分位数，离差平方和，掌握知识点是解题的关键．
（1）根据平均数，众数，中位数，四分位数等的定义，逐个分析求解即可；
（2）根据离差平方和的特征进行分析求解即可；
（3）根据平均数，众数，中位数，离差平方和进行分析求解即可．
【详解】（1）解：∵甲的成绩为：4，6，7，7，7，7，8，10，共8个数据
∴上四分位数a为第6、7项的平均数，即，
∵乙的成绩中7出现的次数最多，
∴众数，
∵丙的成绩为：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，共10个数据
∴中位数c为第5、6项的平均数，即，
∴
故答案为：，，；
（2）解：不同意．理由如下：
虽然乙和丙的离差平方和相同，但稳定性还需结合数据的离散程度和波动区间判断．
乙的成绩最小值为6，最大值为10；丙的成绩最小值为5，最大值为9．
且乙的上四分位数为7，丙的上四分位数为8，说明丙的高分段数据更多，乙的成绩更集中在中低分段，因此二者的射击稳定性并不完全一样．
（3）解：甲：平均成绩7，众数7，但成绩波动较大（最小值4，最大值10），离差平方和最大，稳定性最差，但存在打出高分的潜力．
乙：平均成绩7，众数7，成绩集中在6~10区间，离差平方和较小，稳定性较好，但高分段表现较少．
丙：平均成绩7，众数7，成绩集中在5~9区间，离差平方和较小，稳定性较好，且高分段（8、9环）数据更多，整体发挥更均衡．
【变式3】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）【数据收集】某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集．
【数据整理】如图1，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图．
【数据分析】
（1）小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，________环，可以看出，________（填或）的平均成绩略高；通过计算方差，，，可以看出，________（填或）的射击水平发挥更稳定；
选手 最小值、四分位数和最大值
最小值 最大值
6 ① 9 9.5 10
8 8 9 ② 10
（2）小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填________环，②处应填________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手的整体成绩较高，选手________（填或）的射击成绩波动大；
【作出决策】
（3）请你根据八轮射击成绩，从、两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由．
【答案】（1）9；B；B；（2）7.5；10；A；（3）选手参加青少年射击比赛，理由见解析
【分析】（1）根据平均数计算公式求解，再根据方差的意义判断稳定性；
（2）先把选手的数据从小到大排列，再根据上四分位数、下四分位数的定义求解即可；
（3）根据中位数、平均数和方差进行决策即可．
【详解】解：（1），
∵，
∴B的成绩略高；
∵，，
∴，
∴B的射击水平发挥更稳定；
（2）选手的数据从小到大排列为6，7，8，9，9，9，10，10，
则下四分位数为，即；
选手的数据从小到大排列为8，8，8，9，9，10，10，10，
则上四分位数为，
由图2知：选手A的射击成绩波动大；
（3）选择B选手参加青少年射击比赛，理由如下：
因为A，B两名选手的中位数相等，但B选手的方差更小，则成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强．（言之有理即可）．
题型一 平均数、中位数、众数与统计图的综合应用
【例1】（2026八年级下·浙江·专题练习）某校开展以“持续弘扬长征精神”为主题的演讲比赛，选手的成绩由演讲内容、语言表达、临场表现三项组成，每项成绩均由7位评委打分，取平均分作为该项的实际成绩，再将演讲内容、语言表达、临场表现三项成绩按的比例计算出每人的总评成绩．其中，甲、乙两位选手的三项实际成绩和总评成绩（单位：分）如下表．
演讲内容 语言表达 临场表现 总评成绩
甲 86 76 82
乙 84 82
已知7位评委给乙的临场表现打出的分数（单位：分）为78、82、79、82、76、83、80．
(1)将7位评委给乙的临场表现打出的分数看作一组数据，则该组数据的中位数是___________分，众数是___________分；
(2)求乙临场表现的实际成绩；
(3)若根据总评成绩从高到低确定最终名次，则两位选手谁的最终名次比较靠前？
【答案】(1)80，82
(2)80
(3)乙排在甲的前面
【分析】（1）把78，82，79，82，76，83，80，按从小到大的顺序排列找出中位数，众数；
（2）实际成绩是7位评委打分的平均分；
（3）利用加权平均数的计算方法计算乙的总评成绩，与甲的总成绩比较做出判断即可．
【详解】（1）解：把78，82，79，82，76，83，80，按从小到大的顺序排列：76，78，79，80，82，82，83，
∴中位数为80分，众数为82分；
（2）解：乙临场表现的实际成绩为：
（分）；
（3）解：乙的总评成绩为：（分）．
∵，
∴乙排在甲的前面．
【变式1】某校为了迎接九年级理化生实验考试，进行了第一次理化生模拟实验考试，针对薄弱环节经过一个月的突击训练与老师们的专业指导，进行了第二次理化生模拟实验考试，现随机抽取20名学生第一次模拟实验考试的成绩作为样本绘制成扇形统计图（如图1），以及这20名学生第二次模拟实验考试的成绩作为样本绘制成条形统计图（如图2）．
将第一次与第二次模拟考试成绩进行整理，并计算数据的特征数如下表：
平均数／分 中位数／分 众数／分
第一次模拟考试 a b 7
第二次模拟考试 8.65 9 c
(1)__________，__________，__________；
(2)若规定9分及9分以上为优秀，该校九年级有150名学生参加了第二次模拟实验考试，估计有多少学生成绩达到优秀？
(3)结合两次模拟实验考试成绩，通过分析数据特征数，你能得到什么结论？写出一条即可．
【答案】(1)7.7，7.5，10
(2)估计在第二次模拟实验考试中成绩优秀的学生人数有90人
(3)见解析
【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义分别计算即可得出结果；
（2）用乘以第二次模拟实验考试成绩在9分及9分以上的人数所占的比例即可得出结果；
（3）分析两次模拟实验考试成绩，即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意可得：
第一次模拟成绩为分的人数为人，
第一次模拟成绩为分的人数为人，
第一次模拟成绩为8分的人数为人，
第一次模拟成绩为9分的人数为人，
第一次模拟成绩为10分的人数为人，
故，
第一次模拟成绩位于第10个和第11个分别为分和分，故，
由条形统计图可得，第二次模拟成绩中出现次数最多的为分，故；
（2）解：（人），
答：估计在第二次模拟实验考试中成绩优秀的学生人数有90人；
（3）解：第二次模拟实验考试的成绩不论是平均数，中位数或众数，都有提高，说明经过一个月的突击训练与老师们的专业指导，学生成绩有着明显的进步．
【变式2】（2026·吉林·一模）2025年，国务院印发《国务院关于深入实施“人工智能＋”行动的意见》，为人工智能的发展描绘了未来10年的战略蓝图．为了更好地拥抱人工智能，某校八年级信息技术社团在第一次能力测试之后，将人工智能技术应用于社团教学中，两个月后进行了第二次能力测试．从两次能力测试中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，绘制成如图统计图．
根据以上信息，整理、分析数据，得到下表：
平均成绩/分 中位数/分 众数/分
第一次测试
第二次测试
(1)________，________；
(2)若规定分及分以上为优秀，该社团共名学生参加了第二次测试，估计在第二次测试中成绩优秀的学生人数；
(3)结合两次测试成绩，通过分析统计量，你能得到什么结论？写出一条即可．
【答案】(1)；
(2)该社团在第二次测试中成绩优秀的人数约为人
(3)第二次测试的平均成绩和中位数都高于第一次，说明将人工智能技术应用于社团教学后，学生的成绩整体有所提升．（答案不唯一，言之有理即可）
【分析】（1）根据中位数和众数的定义进行计算即可；
（2）先计算第二次测试成绩优秀的人在样本中的占比，再乘以社团的学生数即可；
（3）对比两次成绩的平均数、中位数和众数，得出结论．
【详解】（1）解：∵第一次能力测试的学生成绩中，分的占比最高，为，
∴第一次成绩的众数为分，即；
∵第二次测试的名学生的成绩中，第名和第名的成绩都是分，
∴第二次成绩的中位数为（分），即；
（2）解：第二次测试中分及分以上的人数为（人），占比为，
（人）．
答：该社团在第二次测试中成绩优秀的人数约为人．
（3）解：第二次测试的平均成绩和中位数都高于第一次，说明将人工智能技术应用于社团教学后，学生的成绩整体有所提升．（答案不唯一，言之有理即可）
【变式3】为了解学生对《哪吒魔童降世》和《哪吒魔童闹海》这两部作品的评价，某调查小组从该校九年级中随机抽取了名学生对这两部作品分别进行打分，并进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息：《哪吒魔童闹海》得分：．抽取的学生对两部作品分别打分的平均数，众数和中位数如下表：
平均数 众数 中位数
《哪吒魔童闹海》
《哪吒魔童降世》
《哪吒魔童降世》得分情况扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述表格中的________，________；
(2)根据上述数据，你认为该校九年级学生对哪部作品评价更高？请说明理由（写出一条即可）；
(3)若该校九年级名学生都对这两部作品进行打分，请你估计一下这两部作品大约可得到多少个满分？
【答案】(1)，
(2)对《哪吒魔童闹海》评价更高，理由见解析
(3)个
【分析】（）根据中位数和众数的定义解答即可；
（）根据平均数、众数和中位数的意义判断即可；
（）求出抽取的学生中两部作品等满分的学生人数，再用乘以其占比即可求解；
本题考查了扇形统计图，平均数、众数和中位数，样本估计总体，掌握中位数和众数的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：《哪吒魔童闹海》得分由高到低排序为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
∴中位数，
由扇形统计图可知，得分是分的学生人数最多，
∴众数，
故答案为：，；
（2）解：对《哪吒魔童闹海》评价更高，理由如下：《哪吒魔童闹海》的平均数、众数和中位数均高于《哪吒魔童降世》的，所以该校九年级学生对《哪吒魔童闹海》的评价更高；
（3）解：由扇形统计图可得，，
∴抽取的名学生《哪吒魔童降世》得满分的学生有名，
又∵《哪吒魔童闹海》抽取的学生得满分的有名，
∴抽取的学生中两部作品等满分的共有名，
∵，
∴估计该校九年级这两部作品大约可得到个满分．
题型二 数据分析的综合应用
【例2】（25-26九年级上·湖南郴州·期末）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（用表示学生成绩，所有学生成绩均不低于60分，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息：
八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100．
九年级20名学生竞赛成绩在组的数据是：82，83，85，86，87，88．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 众数 中位数 方差
八年级 88 90 100.8
九年级 88 94 110.0
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中的___________，___________，___________；
(2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
(3)若该校八年级有800名，九年级有700名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？
【答案】(1)93；87.5；30
(2)八年级学生的知识竞赛成绩更好，理由见解析
(3)估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有755人
【分析】本题考查了扇形统计图、统计表、中位数、众数以及用样本估计总体，掌握相关统计量的意义以及计算方法是解答本题的关键．
（1）根据众数、中位数的定义求解即可；
（2）根据中位数、方差的意义求解即可；
（3）总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可．
【详解】（1）解：根据数据，八年级20名学生的竞赛成绩中，93出现次数最多，
所以众数，
由题知，九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据有6个，
所以占，则，
根据扇形图可知，竞赛成绩在C、D占，共名学生，
又20名学生竞赛成绩的中位数为从小到大排列第10、11位的平均值，
所以中位数，
故答案为：93；87.5；30．
（2）解：八年级学生的知识竞赛成绩更好，
因为两个年级的平均数相同，八年级的中位数高于九年级，方差小于九年级，
故八年级的学生成绩更好．
（3）解：根据数据，八年级学生知识竞赛成绩达到优秀占，
又八年级有800名，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）；
九年级学生知识竞赛成绩达到优秀占，
又九年级有700名，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）；
（人）．
答：估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有755人．
【变式1】（25-26八年级上·四川成都·期末）2025年春季开学第一课，四川省中小学进行了“以消防安全教育”为主题的安全教育学习，某校为了解全校共1500名同学对消防知识的掌握情况，对他们进行了消防知识测试．现随机抽取甲，乙两班各15名同学的测试成绩进行整理分析，过程如下：
【收集数据】
甲班15名学生测试成绩分别为：77，84，85，88，90，90；90，92，95，96，96，98，99，100，100．
乙班15名学生测试成绩分别为：79，82，84，87，88，89，89，90，91，92，93，94，95，97，100．
【分析数据】
班级 平均数 众数 中位数 方差
甲 92 90 41.3
乙 90 90 29.3
【应用数据】
(1)根据以上信息，可以求出：_____分，_____分．
(2)若规定测试成绩95分及以上为优秀，请你根据甲班的测试成绩估计参加消防知识测试的1500名学生中成绩为优秀的学生共有多少人？
(3)结合以上数据，利用平均数或方差对两个班的成绩进行分析．
【答案】(1)92，89
(2)估计参加消防知识测试的1500名学生中成绩为优秀的学生共有700人
(3)根据平均数分析，甲班的平均数大于乙班，所以甲班整体成绩更好；根据方差分析，甲班的方差大于乙班，所以乙班成绩更稳定．
【分析】本题主要考查数据的分析：
（1）一般地，将一组数据按大小顺序排列后，如果数据的个数为奇数，那么处于中间位置的数据是这组数据的中位数，如果数据的个数为偶数，那么处于中间位置的两个数据的平均数是这组数据的中位数；一般地，一组数据中出现次数最多的数据，叫作这组数据的众数；
（2）用样本估计总体，根据，即可求得答案；
（3）根据平均数分析，甲班的平均数大于乙班，所以甲班整体成绩更好；根据方差分析，甲班的方差大于乙班，所以乙班成绩更稳定．
【详解】（1）将甲班15名学生测试成绩从小到大排列后，第8个数为92，所以这组数据的中位数为92，即；
乙班15名学生测试成绩中出现次数最多的数据为89，所以这组数据的众数为89，即．
故答案为：92，89
（2）甲班15名学生中测试成绩95分及以上所占比例为．
（人）．
所以，根据甲班的测试成绩估计参加消防知识测试的1500名学生中成绩为优秀的学生共有700人．
（3）根据平均数分析，甲班的平均数大于乙班，所以甲班整体成绩更好；
根据方差分析，甲班的方差大于乙班，所以乙班成绩更稳定．
【变式2】（25-26八年级上·山西运城·期末）为了提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，记分员记录了他们在近八场比赛中关于得分、篮板的情况．
【信息1】甲的得分情况（分）：20，14，29，28，30，23，32，32；
乙的得分情况（分）：24，30，28，25，26，28，28，27．
【信息2】
【信息3】 技术统计表
队员 平均得分 得分众数 得分中位数 得分方差 平均每场篮板
甲 26 32 n 36.25 b
乙 27 m 27.5 a 8
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中的_______，_______，_______，_______；
(2)本次队员综合得分按平均得分的40%，平均每场篮板的60%计算，综合得分越高表现越好，通过计算说明甲、乙哪名队员的表现更好？
(3)你认为甲、乙两名队员谁的表现更好？请选择两方面进行分析．
【答案】(1)，，，
(2)甲更好
(3)从得分稳定性的角度分析，乙的得分方差是3.25小于甲的得分方差36.25，说明乙的得分更稳定；从平均得分的角度分析，乙的平均得分27分高于甲的平均得分26分，说明乙的平均得分更好；因此我认为乙队员表现更好
【分析】（1）众数是一组数据中出现次数最多的数，所以观察乙的得分数据可求；因为中位数是将数据排序后中间位置的数，数据个数为偶数时取中间两数的平均值，所以将甲的得分排序后可求；根据方差公式为，所以代入乙的得分数据和平均得分可求；因为平均每场篮板是篮板总数除以场次，所以根据甲的篮板统计图统计总数后除以8可求；
（2）综合得分=平均得分+平均每场篮板，所以分别代入甲、乙的对应数据计算综合得分，再比较大小；
（3）可从平均得分、方差、众数、中位数、篮板数等指标中任选两个，因为不同指标反映不同的表现维度，所以结合指标数据进行分析．
【详解】（1）乙的得分中，出现次数最多（3次），因此得分众数；
将甲的得分从小到大排序：，共8个数，
中位数为第4、5个数的平均数：；
乙平均得分为27，方差计算： ，
由篮板统计图，甲8场篮板总和为，平均篮板；
（2）甲综合得分：，
乙综合得分：，
因为，
所以甲队员的表现更好；
（3）从得分稳定性的角度分析，乙的得分方差是小于甲的得分方差，说明乙的得分更稳定；从平均得分的角度分析，乙的平均得分27分高于甲的平均得分26分，说明乙的平均得分更好；因此我认为乙队员表现更好．
【变式3】（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）在某校科技节活动期间，学校组织了科普知识竞赛．现从七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行统计、分析，过程如下：
【收集数据】七年级20名同学的竞赛成绩统计（单位：分）：69，72，72，73，74，74，74，74，76，76，78，89，96，97，97，98，98，99，99，99．
八年级20名同学的竞赛成绩统计（单位：分）：65，68，70，76，77，78，87，88，88，88，89，89，89，89，93，95，97，97，98，99．
【整理、描述数据】将抽取的两个年级的成绩分别进行整理，分成A，B，C，D四组，用x表示成绩，A组：，B组：，C组：，D组：．绘制出如下统计图．
【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 84.2 a 74 12.1
八年级 86 88.5 b 10.3
根据以上信息，解答下列问题：
(1) ， ；
(2)补全频数分布统计图；
(3)七年级有300人参加测试，八年级有320人参加测试，若测试成绩不低于80分的为优秀，估计七、八年级测试成绩优秀的共有多少人；
(4)请从平均数、中位数、方差中，任选一个统计量，对七、八年级测试成绩进行评价．
【答案】(1)77，89
(2)见解析
(3)359
(4)见解析
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）先求出七年级得分为C组的人数，再补全直方图即可；
（3）分别用七、八年级的学生人数乘以优秀成绩的学生占比，相加即可；
（4）根据平均数、中位数和方差的意义分析即可．
【详解】（1）解：七年级成绩从小到大排列，中间的两个数为76，78，故中位数，
八年级学生成绩89出现次，次数最多，故众数；
（2）解：八年级C组的人数为：，
补图如图所示：
（3）解：估计七、八年级测试成绩优秀的为：人；
（4）解：从平均数来看，估计八年级学生平均分比七年级学生平均分高；
从中位数来看，估计七年级至少有一半的学生成绩不低于77，八年级至少有一半的学生成绩不低于88；
从方差来看，估计八年级成绩比七年级成绩更集中．
【变式4】艺术测评主要是为掌握学生艺术素养发展状况，改进美育教学．某校根据义务教育阶段音乐、美术等学科的课程标准，在九年级随机抽取了若干位同学进行艺术测评与分析，下面是对九（1）班抽测到的10位同学的测评分值的数据分析过程：
【收集与整理】10位同学的测评分值分组统计如下：
分组方式 组别 测评分值
方式一（按平均分相同分组） Ⅰ组 80，85，85，90，100
Ⅱ组 80，85，90，90，95
方式二（按分数段分组） 甲组 80，80，85，85，85
乙组 90，90，90，95，100
【描述与分析】
10位同学测评分值的分布情况分组数据统计量分析表
分组方式 组别 中位数 众数 方差 组内离差平方和
方式一 Ⅰ组 m 85 46 360
Ⅱ组 90 90 26
方式二 甲组 85 85 6 110
乙组 90 n 16
说明：组内离差平方和表达了各小组内数据的离散程度．它的值越小，说明这种分组方式中同组成员之间的水平越接近．
根据以上信息，解答下面问题：
（1）扇形统计图中“100分”对应的圆心角度数为______°；
（2）_______，_______．
【判断与决策】
（3）为深入推进小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步，请你根据以上信息，选择一种利于开展小组学习的分组方式，并说明你这样选择的理由．
【答案】（1）36；（2）85；90；（3）我会选择方式二进行分组．因为两种分组方式的中位数与众数都相同，但方式二的组内离差平方和更小，说明分组方式二下的同组成员之间的水平更接近，有利于开展同级别水平训练的理解和合作，促进同学间的互帮互助，共同进步．
【分析】本题主要考查扇形统计图、中位数、众数，解题的关键是掌握中位数、众数的定义及组内离差平方和的意义．
（1）用360°乘以对应比例即可；
（2）根据众数、中位数定义求解即可；
（3）可根据组内离差平方和的意义求解即可．
【详解】解：（1）扇形统计图中“100分”对应的圆心角度数为，
故答案为：36；
（2）方式一中Ⅰ组数据从小到大排列，中间数为85，则中位数，
方式二种乙组数据中出现次数最多的是90，则众数，
故答案为：85、90；
（3）方式二利于开展小组学习，
由表知，方式二的组内离差平方和小于方式一，更利于开展小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步．
【变式5】（25-26八年级上·山东淄博·期末）为了解学生的体育锻炼情况，某学校八年级级部以“活跃校园——探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．该级部随机抽取了甲、乙两个班，通过问卷收集了甲、乙两个班学生的平均每周锻炼时长数据，现从这两个班级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行整理、描述和分析，下面给出部分信息．
【数据收集】
甲班：8，7，12，8，7，5，6，8，6，13；
乙班学生平均每周锻炼时长数据的条形统计图如下：
【数据整理、分析】
班级 平均数 中位数 众数 方差
甲班 8 8 c
乙班 8 b
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：_____，_____，_____；
(2)小明对小刚说：“虽然平均每周锻炼时长我俩都是8小时，但我在我们班中的排名比你在你们班的排名靠前．”根据以上信息可知小明是_____班的学生．（填“甲”或“乙”）
(3)你认为甲、乙这两个班中，哪个班的学生体育锻炼情况的总体水平较好？请给出两条理由．
【答案】(1)；
(2)甲；
(3)乙班的学生体育锻炼情况总体更好．理由见解析．
【分析】本题考查了统计量（平均数、中位数、众数、方差）的计算与应用，解题的关键是掌握各统计量的定义及意义，并能结合数据进行分析．
（1）求：将甲班数据排序后取中间两个数的平均数得到中位数；求：从乙班条形图中找出出现次数最多的时长作为众数；求：根据方差公式计算甲班数据的波动程度．
（2）比较两人在各自班级的排名，需结合中位数判断，在中位数更高的班级中排名更靠后，反之则更靠前．
（3）比较两个班的总体水平，可从中位数、方差等统计量的实际意义入手分析．
【详解】（1）解： 甲班数据排序：5， 6， 6， 7， 7， 8， 8， 8， ，
中位数，
乙班条形图中，时长为小时的人数最多（人），故众数．
甲班方差：
故答案为：，，
（2）解：甲班中位数为，乙班中位数为．
小明与小刚平均时长均为小时，在甲班中，说明小明在甲班排名前5名；在乙班中，说明小刚在乙班排名后5名．
因此小明是甲班的学生．
（3）解：乙班的学生体育锻炼情况的总体水平较好．
理由：①乙班的中位数大于甲班的中位数，说明乙班有一半以上学生的锻炼时长超过小时，整体锻炼时长更长；
②乙班的方差小于甲班的方差，说明乙班学生的锻炼时长波动更小，数据更稳定．
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专题07 数据的分析
知识点一、平均数
◆1、平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的平均数．
记作：“”，读作：“x 拔”．
◆2、加权平均数：
（1）加权平均数：①若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则
叫做这n个数的加权平均数．
②在求 n 个数的平均数时，如果 x1出现 f1次，x2 出现 f2 次，…，xk 出现 f k 次(这里 f1 +f2+…+f k = n)，那么这 n 个数的加权平均数为， 其中f1，f2，f3，…，fn 分别叫做x1，x2，x3，…，xn的权.
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
（5）算术平均数与加权平均数的区别与联系：
区别：① 算术平均数中各数据都是同等重要，没有相互间差异；
② 加权平均数中各数据都有各自不同的权重地位.
联系：算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
知识点二、中位数和众数
◆1、中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
◆2、中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
◆3、中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
◆4、众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数．
【注意】（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中．
（2）一组数据的众数可能不止一个. 如 1，1，2，3，3，5 中众数是 1 和 3．
（3）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数，如 1，1，1，2，2，5 中众数是 1 而不是 3．
统计量 意义 优点 缺点 简单易错点
平均数 代表数据整体平均水平 用到所有数据，信息最全 易受极端值（偏大 / 偏小）影响 极端值会把平均拉高或拉低
中位数 代表数据中等水平（中间位置） 不受极端值影响，稳定性好 只看位置，没用到全部数据 要先排序，奇数 / 偶数个数算法不同
众数 代表数据最常出现的数值 不受极端值影响，直观 可能没有或不止一个，不能反映整体 众数可以多个，没有众数也正常
知识点三、离差平方和与方差
◆1.离差：一般地，有n个数据x1，x2，…，xn，用表示它们的平均数，我们把xi （i=1,2，…，n）叫做xi 关于平均数的离差.
◆2.方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
有n个数据x1，x2，…，xn，用表示它们的平均数，s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）其中x1）2+（x2）2+…+（xn）2 叫做这n 个数据关于平均数的离差平方和，记作“d ”
◆3.求方差的方法：用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”.
◆4.方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
◆5.用样本方差估计总体方差
用样本方差估计总体方差:在实际问题中，与用样本平均数估计总体平均数一样，我们也常用样本方差估计总体方差
提示:
样本数据越多，统计的工作量也越大，一般根据实际需要选取适当的样本数据；
一般地，在平均数相同的情况下，方差越大，则意味着这组数据对平均数的离散程度也越大；
(3)在两组数据的平均数相差较大时，以及在比较单位不同的两组数据时，不能直接用方差来比较它们的离散程度.
知识点四、数据的四分位数和箱线图
◆1.在百分位数中，25%分位数、50%分位数、75%分位数分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，记为m25，m50，m75，统称四分位数。它们把一组数据分为个数相等的四部分。
◆2.用一组数据中的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值来反映数据分布的中心位置和散布范围的统计图。画法为先找出这5个值，用横线对应，连接下四分位数和上四分位数画出“箱体”，再将最小值和最大值与“箱体”相连，中位数在“箱体”中间。箱线图可粗略观察数据是否对称，不受异常值影响
知识点五、数据的分组
◆数据分组的步骤:
①数据排序:从小到大排列原始数据
②确定切割点:在排序后数据的间隔处分组[个数据有(n-1)个间隔1③计算比较:对每个切割点计算组内离差平方和，选择组内离差平方和最小对应的分组
题型一 求一组数据的平均数
【例1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）某景区推出“AI讲解，智游古迹”的活动，当天结束时统计5个景点的订阅数量分别为2，3，4，5，6．上述数据的平均数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式1】（25-26九年级上·湖南益阳·期末）4月23日是世界读书日，某校为了解本校学生阅读情况，随机调查了一部分学生最近一周的读书时间，并进行了统计，根据调查结果制作了如下的统计图．
根据本次调查的数据估计该校学生最近一周的平均读书时间为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26七年级上·河北廊坊·期末）学校七年级（10）班“书香小组”有8名同学，10月份的图书借阅目标为每人8本（以8本为标准，超过的本数记为正数，不足的本数记为负数）．组长统计每人的借阅情况如下：，，，，，，，．该小组10月份实际平均每人借阅图书___________本．
【变式3】（23-24八年级下·重庆秀山·期末）为考查甲、乙两个品种西瓜的甜度，每个品种随机选取4个西瓜进行检测，得到甲品种西瓜甜度数据：34，26，31，25；乙品种西瓜甜度数据：33，32，30，22．则甜度平均数较小的一个品种是______．
题型二 已知平均数求未知数据的值
【例2】（25-26七年级上·山东济南·期末）已知下面的一组数据：7，10，x，4，0，3，它们的平均数为5，那么（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【变式1】（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）某一段时间，小芳测得连续五天的日最低气温后，整理得出下表，被遮盖的数据是（ ）
日期 24日 25日 26日 27日 28日 五天的平均气温
最低气温 ■
A． B． C． D．
【变式2】（25-26八年级上·河南周口·期末）若一组数据2，3，x，5，7的平均数为4，则________．
【变式3】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）已知一组数据：，，，，，它们的平均数是，则的值为________．
题型三 利用已知的平均数求相关数据的平均数
【例3】已知一组数据a、b、c的平均数为5，那么数据、、的平均数是 ．
【变式1】已知一组数据，，，的平均数是3，则数据，，，的平均数是 ．
【变式2】（2024春·广西玉林·八年级统考期末）已知：x1，x2，x3...x10的平均数是a,x11，x12，x13...x50的平均数是b,则x1，x2，x3...x50的平均数是（ ）
A．a＋b B． C． D．
【变式3（2024上·山东烟台·八年级统考期末）已知：，，，，的平均数是，，，，，的平均数是，则，，，，的平均数是 ．
题型四 求加权平均数
【例3】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）某学校需要招聘一名数学老师，招聘方案规定每个应聘老师的最终成绩都由笔试、讲课、答辩成绩组成，其中笔试占，讲课占，答辩占，已知王老师的笔试、讲课成绩分别为98分、95分，最终成绩为96分，那么王老师的答辩成绩为（ ）
A．90分 B．92分 C．94分 D．96分
【变式1】（25-26八年级上·山东济南·期末）小丽在本学期的数学成绩如下：平时测验成绩为93分，期中考试成绩为90分，期末考试成绩为95分，将平时测验成绩、期中考试成绩、期末考试成绩分别按计入学期总评成绩，则小丽本学期的总评成绩是（　　）
A．92.5分 B．92.8分 C．93.1分 D．93.3分
【变式2】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）某校规定：学生的平时作业、期中练习、期末考试三项成绩分别按、、的比例计入学期总评成绩，小华的平时作业、期中练习、期末考试的数学成绩依次为分，分，分，小华这学期的数学总评成绩是__________分．
【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·期末）某公司招聘职员，对候选人小杨进行了面试和笔试，面试中包括形体和口才．笔试中包括专业水平和创新能力考察，他的成绩（百分制）如表：
候选人 面试 笔试
形体 口才 专业水平 创新能力
小杨 80 90 90 95
若公司根据经营性质和岗位要求认为：形体、口才、专业水平、创新能力按照的比确定，求出小杨的平均成绩是多少？
题型五 运用加权平均数做决策
【例5】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）学校拟推荐一名同学参加市级演讲比赛，现对甲、乙、丙、丁四位候选人进行量化评分，具体成绩如下表：若总成绩的计算方法是：语言表达能力舞台仪态表现，根据总成绩择优推荐，那么应推荐的同学是（ ）
甲 乙 丙 丁
语言表达能力 96 80 92 91
舞台仪态表现 80 96 84 84
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【变式1】（2025·福建三明·三模）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力、经验三个方面对甲、乙、丙、丁四名应聘者进行了测试，测试成绩如下表：
应聘者项目 甲 乙 丙 丁
学历 70 75 80 80
能力 90 80 80 85
经验 70 80 70 65
如果这家公司比较看重员工的能力，将学历、能力、经验三项得分按的比例加权平均确定每人的最终得分，录用得分最高者，那么将被录用的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【变式2】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．进入决赛的前两名选手需要确定名次(不能并列)，他们的成绩如下(单位：分)．
选手 内容 能力 效果
甲
乙
(1)分别计算甲、乙两名选手的平均成绩，能否以此确定两人的名次？
(2)如果把内容、能力、效果的成绩按计算，请你确定两人的名次．
【变式3】（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）某电视台招聘综艺大观节目主持人．在众多的竞聘者中有甲乙两名参赛者够资格进行决赛、电视台特意为这两名竞聘者安排了一次综艺节目，请现场的评委，广大的电视观众进行打分，事后整理出了这两名竞聘者的各项成绩，制作出不完整的统计表和统计图．
项目 甲的成绩 乙的成绩
演讲内容
语言表达
形象风度
现场效果
平均分
(1)表中和的值分别为多少？
(2)把统计图补充完整；
(3)若这四项内容按得分的，，，的权重比例，计算最终得分，你认为甲和乙这两名参赛者，谁最后更可能被电视台聘用？
题型六 求中位数
【例6】一组数据，，，，，，的众数是，则这组数据的中位数是（　　）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26九年级上·河北沧州·期末）手机记录了邯郸市某周的日最低气温，如下表．
日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
日最低气温
则这周的日最低气温（单位：）所组成的个数据的中位数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）重庆9月5日到10日的最高气温的折线统计图如图所示，则这六天的最高气温的中位数是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）如图是嘉淇记录的个整点时刻的气温统计图，则这个整点时刻的气温的中位数是（ ）
A． B． C． D．
题型七 利用中位数求未知数据的值
【例7】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）已知一组数据a，2，4，8，6的中位数是6，那么a可以是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【变式1】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）一组数据1，3，5，8，的中位数是5，则下列的取值中，满足条件的是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【变式2】（25-26八年级上·河南周口·期末）若一组数据2， x， 4， 5， 6的中位数为4，则x的取值范围是______．
【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）一组数据，1，，5，7，2中，若中位数恰好是，则整数的值可能为______．
题型八 求众数
【例8】（23-24八年级上·四川甘孜·期末）八（2）班的卓玛同学最近几次数学考试的成绩（单位：分）分别是105，110，112，107，121，110，则卓玛同学这几次数学考试成绩的众数是（ ）
A．105 B．107 C．110 D．121
【变式1】（23-24八年级下·江苏南通·期末）某校篮球队五名主力队员的身高分别为、、、、（单位：cm），则这组数据的众数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】年1月，中共中央、国务院印发《教育强国建设规划纲要年)》，其中就提出了中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求．某校为了解学生的综合体育活动情况，对部分学生在一周内的综合体育活动时间统计如下表：
时间/
人数 5 3
则这些学生的综合体育活动时间的众数是______．
【变式3】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）为了倡导节约用水，阳光小区物业随机抽取了8户家庭上个月家里的用水量（单位：吨）情况，分别为7，8，9，9，10，10，10，11，则这组数据的众数是_____吨．
题型九 利用众数求未知数据的值
【例9】若数据11，12，12，19，11，x的唯一众数是12，则x的值是（ ）
A．12 B．11 C．11.5 D．19
【变式1】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）一组数据，，，，，，有唯一的众数，则为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】五个数据，的中位数和众数都是，则______．
【变式3】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若一组数据、、、、、的众数是，则的值为______．
题型十 求中位数和众数
【例10】某学校举行知识竞赛，其中名选手的得分如下表：
得分
人数
则这名选手得分的众数、中位数分别是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26九年级上·湖南长沙·期末）为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、浇水、剪枝、捉鱼、采摘六项实践活动，已知六个项目参与人数（单位：人）分别是：42，38，35，43，40，42．则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．42，39 B．42，41 C．42，40 D．42，42
【变式2】（25-26八年级上·山东威海·期末）某学校学生给学校食堂的打分情况如图所示，由此可以得到本次打分的平均数，众数和中位数分别是（ ）
A．3.5分，3分，3分 B．3分，3分，4分
C．3.42分，3分，3分 D．无法计算，3分，4分
【变式3】为“有效减少近视发生，呵护孩子光明未来”，某班体育委员将全班50名同学视力检查数据，绘制成了如图所示的条形统计图，则这50名同学视力检查数据的中位数和众数分别是（ ）
A．4.8，13 B．4.7，4.8 C．13，4.8 D．4.8，4.8
题型十一 求离差平方和
【例10】（25-26八年级上·山东青岛·期末）学校举行秋季运动会，仪仗方队一组6名队员的身高（单位：）分别是：174，178，176，179，174，175，当一名身高为的队员下场休息，现在5名队员身高的平均数和离差平方和与原6名队员相比（ ）
A．平均数变大，离差平方和变小 B．平均数不变，离差平方和不变
C．平均数不变，离差平方和变大 D．平均数变小，离差平方和变大
【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）求一组数据方差的算式为：对于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．n的值为5 B．平均数是7
C．离差平方和是5 D．方差是
【变式2】（25-26八年级上·陕西铜川·期末）已知一组数据的方差，则这组数据的离差平方和的值是_______．
【变式3】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）为了增强学生的体质，体育老师组织本班学生进行投篮比赛，每人投5次，现从班级45人中随机抽取5名同学的投中次数，得到数据如下：5，5，4，3，3，则这组数据的离差平方和为_____．
题型十二 离差平方和的应用
【例11】（25-26八年级下·全国·课后作业）小刚在计算某组样本的离差平方和时，列式为，则这组样本的平均数和样本容量分别是（ ）
A．4，5 B．3，3 C．2，4 D．3，5
【变式1】（25-26八年级上·江苏南通·期末）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）
分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和
第1个间隔 0
第2个间隔 2
第3个间隔 2
第4个间隔 0
根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【变式2】（25-26八年级上·山西晋中·期末）下列说法中正确的是（ ）
A．小明所在班级学生的平均身高是，小亮所在班级学生的平均身高是，小颖说“小亮一定比小明矮”
B．已知A，B两家网站用户的日人均上网时间分别为和，这两家网站所有用户的日人均上网时间为
C．小军所在的篮球队队员身高的中位数是，他说“我身高，我的身高在篮球队里是中等偏上的”
D．在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最大”
【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）晓慧同学为了在明年的中考体育考试中取得最好的成绩，每天自己在家里练习一分钟仰卧起坐，妈妈统计了她连续六天内仰卧起坐的个数：28，25，30，27，30，26．按照“组内离差平方和达到最小”的方法分成两组，则组内离差平方和的最小值是（ ）
A． B． C． D．5
题型十三 求方差
【例13】（25-26八年级上·贵州毕节·期末）若一组数据2，4，x，1，6的平均数是3，则这组数据的方差为（ ）
A．2 B．3.5 C．3.2 D．5
【变式1】（23-24七年级上·湖南张家界·期末）已知一组数据，，，，…，的平均数为2，方差为，那么另一组数据，，，，…，的平均数和方差分别是（ ）
A．4， B．2，1 C．2， D．4，3
【变式2】（23-24八年级下·新疆吐鲁番·期末）如果一组数据，，，的方差是，那么数据，，，的方差是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）已知一组数据的离差平方和，则这组数据的方差的值是_______．
题型十四 利用方差求未知数的值
【例14】（25-26八年级上·陕西西安·期末）小聪在计算一组数据的方差时，列出了算式：．关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
①平均数是4；②中位数是5；③众数是5；④样本容量是3．
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【变式1】（25-26八年级上·山西运城·期末）吴老师在黑板上写出一个计算方差的算式：．根据算式，下列结论判断错误的是（ ）
A． B．平均数为8
C．众数是9 D．若添加一个数8后，方差变小
【变式2】（24-25八年级下·湖北恩施·期末）八年级某班准备从甲、乙两位同学中选一人参加学校跳绳比赛．通过多次测试统计，他们的平均成绩都是每分钟180个，方差分别是：．最终选择了更稳定的甲参加比赛，则可能是（ ）
A． B． C． D．3
【变式3】（24-25九年级上·河北邢台·月考）小明根据方差公式分析和计算得出了四个结论，其中不正确的是（ ）
A． B．众数是3 C． D．
题型十五 利用方差判断稳定性
【例15】小张和小李练习射击，第一轮10发子弹打完后，两人的成绩如图所示．根据图中的信息，小张和小李两人中成绩较稳定的是（ ）
A．小张 B．小李 C．一样 D．不确定
【变式1】（25-26九年级上·江苏无锡·期末）某校举行健美操比赛，从甲、乙、丙三个班的参赛学生中各随机抽取10名学生进行身高测量，三个班抽取的学生平均身高都是米，身高数据的方差分别是，，，则估计参赛学生的身高比较整齐的班级是（ ）
A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．同样整齐
【变式2】（24-25八年级下·黑龙江黑河·期末）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均为环，方差分别为，，，，则四人中成绩最稳定的是______．
【变式3】（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）某次歌咏比赛，前三名选手的成绩统计如下：（单位：分）
测试项目 测试成绩
小王 小李 小林
唱功 8 9 9
音乐常识 10 8 6
综合知识 8 9 10
(1)如果将唱功、音乐常识和综合知识三项测试成绩按的加权平均分排出冠军、亚军季军，则冠军、亚军、季军各是谁？
(2)通过计算方差，谁的成绩最稳定？
题型一运用方差做决策
【例1】（25-26九年级上·湖南永州·期末）两个城市的春季（3-5月）日间平均气温都是，城市A的温度方差小；城市B的温度方差大（比如：今天暖如夏，过两天可能骤降到，然后又快速回升），喜欢稳定舒适的你，宜选择___城市生活．（填A、B）
【变式1】（23-24八年级上·陕西汉中·期末）8年级某老师对一、二班学生阅读水平进行测试（满分为10分，得分均为整数），并将成绩进行了统计，绘制了如下图表（统计图完整），成绩大于或等于6分为合格，成绩大于或等于9分为优秀．
班级 平均分 方差 中位数 众数 合格率 优秀率
一班 7
二班 8
根据图表信息，回答下列问题：
(1)求表中，，，的值；
(2)用方差推断，哪个班的成绩波动较大？用优秀率和合格率推断，哪个班的阅读水平更好些？简单说明理由．
【变式3】（23-24八年级上·宁夏银川·期末）小明和小红5次数学单元测试成绩如下：（单位：分）
小明：89、73、89、91、93；小红：86、66、89、92、92．
他们都认为自己的成绩比对方同学好．
(1)分别计算小明和小红5次数学单元测试成绩的平均数、中位数和众数，并分析他们各自认为自己的成绩比对方同学好的理由；
(2)你认为谁的成绩更稳定？说一说你的理由．
【变式3】（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）某校从甲、乙两名优秀选手中选一名参加全市中小学生运动会的男子100米跑项目，该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下表：
1 2 3 4 5 6 7 8
甲的成绩(秒) 12 12.3 13 12.9 13.1 12.5 12.4 12.6
乙的成绩(秒) 12.1 12.4 12.8 13 12.2 12.7 12.3 12.5
已知甲运动员8次测试的平均成绩秒，乙运动员8次测试的方差．
(1)则乙运动员的8次测试的平均成绩 秒．
(2)求甲运动员的8次测试成绩的方差．
(3)请从平均数、中位数、方差角度，评价两位选手的成绩，并挑选出市中小学运动会的参加选手．
题型二 求四分位数
【例2】（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图，已知（）班和（）班人数相等，在一次考试中两班成绩中位数相同，两班成绩的箱线图如下，下列判断正确的是（ ）
A．（）班成绩比（）班成绩集中 B．（）班成绩的上四分位数是分
C．（）班有同学的成绩超过分 D．（）班的最低分低于（）班的最低分
【变式1】（25-26八年级上·陕西汉中·期末）某市12月某周空气质量指数（）的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数为（ ）
A．102 B．98 C．114 D．106
【变式2】（25-26八年级上·福建漳州·期末）小颖根据一组数据画出如图所示的箱线图，则下列说法不正确的是（ ）．
A．最小值为47 B．中位数为73
C．上四分位数为83 D．平均数为73
【变式3】（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，该箱线图反映了某场女排决赛中两队队员拦网高度情况．下列说法正确的是（　　）
A．甲队队员拦网高度的整体水平更高 B．乙队队员拦网高度的平均数更大
C．甲队队员拦网高度的方差更大 D．乙队队员拦网高度的中位数更大
题型三 画箱线图
【例3】（25-26八年级上·山西运城·期末）某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断下列说法正确的是（ ）
A．三个班级中，甲班分数的方差最大
B．三个班级中，乙班学生得分两极分化最不明显
C．丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数
D．若每班有42个学生，则三个班级中每班第11名的成绩相比较，甲班分数最高
【变式1】（25-26八年级上·河南郑州·期末）体育老师统计了八（1）班和八（2）班学生的跳绳次数，并绘制成如下的箱线图．下列说法正确的是（ ）
A．八（1）班跳绳次数更集中
B．跳绳次数最小值出现在八（2）班
C．两个班级跳绳次数的中位数相等
D．八（2）班跳绳次数整体比八（1）班好
【变式2】（25-26八年级上·广东深圳·期末）在某次射击训练中，甲、乙、丙三人的成绩如图所示，利用图中提供的数据，解决下面的问题：
(1)小亮将3人成绩进行统计，得到甲、乙、丙成绩的部分统计量如表：
平均数 众数 最小值 下四分位数 中位数 上四分位数 最大值
甲 7 7 4 7 a 10
乙 7 b 6 6 7 7 10
丙 7 7 5 6 c 8 9
表中______，______，______．
(2)小亮发现3人的平均成绩相同，为了选出发挥更稳定的选手参加比赛，小亮计算各组成绩的离差平方和，得到以下结果：
；
；
．
因此，小亮觉得乙成绩的离差平方和与丙的相同，射击水平一样稳定，你同意小亮的说法吗？请说明理由．
(3)请结合统计量，评价这三名同学的射击情况．
【变式3】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）【数据收集】某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集．
【数据整理】如图1，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图．
【数据分析】
（1）小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，________环，可以看出，________（填或）的平均成绩略高；通过计算方差，，，可以看出，________（填或）的射击水平发挥更稳定；
选手 最小值、四分位数和最大值
最小值 最大值
6 ① 9 9.5 10
8 8 9 ② 10
（2）小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填________环，②处应填________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手的整体成绩较高，选手________（填或）的射击成绩波动大；
【作出决策】
（3）请你根据八轮射击成绩，从、两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由．
题型一 平均数、中位数、众数与统计图的综合应用
【例1】（2026八年级下·浙江·专题练习）某校开展以“持续弘扬长征精神”为主题的演讲比赛，选手的成绩由演讲内容、语言表达、临场表现三项组成，每项成绩均由7位评委打分，取平均分作为该项的实际成绩，再将演讲内容、语言表达、临场表现三项成绩按的比例计算出每人的总评成绩．其中，甲、乙两位选手的三项实际成绩和总评成绩（单位：分）如下表．
演讲内容 语言表达 临场表现 总评成绩
甲 86 76 82
乙 84 82
已知7位评委给乙的临场表现打出的分数（单位：分）为78、82、79、82、76、83、80．
(1)将7位评委给乙的临场表现打出的分数看作一组数据，则该组数据的中位数是___________分，众数是___________分；
(2)求乙临场表现的实际成绩；
(3)若根据总评成绩从高到低确定最终名次，则两位选手谁的最终名次比较靠前？
【变式1】某校为了迎接九年级理化生实验考试，进行了第一次理化生模拟实验考试，针对薄弱环节经过一个月的突击训练与老师们的专业指导，进行了第二次理化生模拟实验考试，现随机抽取20名学生第一次模拟实验考试的成绩作为样本绘制成扇形统计图（如图1），以及这20名学生第二次模拟实验考试的成绩作为样本绘制成条形统计图（如图2）．
将第一次与第二次模拟考试成绩进行整理，并计算数据的特征数如下表：
平均数／分 中位数／分 众数／分
第一次模拟考试 a b 7
第二次模拟考试 8.65 9 c
(1)__________，__________，__________；
(2)若规定9分及9分以上为优秀，该校九年级有150名学生参加了第二次模拟实验考试，估计有多少学生成绩达到优秀？
(3)结合两次模拟实验考试成绩，通过分析数据特征数，你能得到什么结论？写出一条即可．
【变式2】（2026·吉林·一模）2025年，国务院印发《国务院关于深入实施“人工智能＋”行动的意见》，为人工智能的发展描绘了未来10年的战略蓝图．为了更好地拥抱人工智能，某校八年级信息技术社团在第一次能力测试之后，将人工智能技术应用于社团教学中，两个月后进行了第二次能力测试．从两次能力测试中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，绘制成如图统计图．
根据以上信息，整理、分析数据，得到下表：
平均成绩/分 中位数/分 众数/分
第一次测试
第二次测试
(1)________，________；
(2)若规定分及分以上为优秀，该社团共名学生参加了第二次测试，估计在第二次测试中成绩优秀的学生人数；
(3)结合两次测试成绩，通过分析统计量，你能得到什么结论？写出一条即可．
【变式3】为了解学生对《哪吒魔童降世》和《哪吒魔童闹海》这两部作品的评价，某调查小组从该校九年级中随机抽取了名学生对这两部作品分别进行打分，并进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息：《哪吒魔童闹海》得分：．抽取的学生对两部作品分别打分的平均数，众数和中位数如下表：
平均数 众数 中位数
《哪吒魔童闹海》
《哪吒魔童降世》
《哪吒魔童降世》得分情况扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述表格中的________，________；
(2)根据上述数据，你认为该校九年级学生对哪部作品评价更高？请说明理由（写出一条即可）；
(3)若该校九年级名学生都对这两部作品进行打分，请你估计一下这两部作品大约可得到多少个满分？
题型二 数据分析的综合应用
【例2】（25-26九年级上·湖南郴州·期末）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（用表示学生成绩，所有学生成绩均不低于60分，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息：
八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100．
九年级20名学生竞赛成绩在组的数据是：82，83，85，86，87，88．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 众数 中位数 方差
八年级 88 90 100.8
九年级 88 94 110.0
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中的___________，___________，___________；
(2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
(3)若该校八年级有800名，九年级有700名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？
【变式1】（25-26八年级上·四川成都·期末）2025年春季开学第一课，四川省中小学进行了“以消防安全教育”为主题的安全教育学习，某校为了解全校共1500名同学对消防知识的掌握情况，对他们进行了消防知识测试．现随机抽取甲，乙两班各15名同学的测试成绩进行整理分析，过程如下：
【收集数据】
甲班15名学生测试成绩分别为：77，84，85，88，90，90；90，92，95，96，96，98，99，100，100．
乙班15名学生测试成绩分别为：79，82，84，87，88，89，89，90，91，92，93，94，95，97，100．
【分析数据】
班级 平均数 众数 中位数 方差
甲 92 90 41.3
乙 90 90 29.3
【应用数据】
(1)根据以上信息，可以求出：_____分，_____分．
(2)若规定测试成绩95分及以上为优秀，请你根据甲班的测试成绩估计参加消防知识测试的1500名学生中成绩为优秀的学生共有多少人？
(3)结合以上数据，利用平均数或方差对两个班的成绩进行分析．
【变式2】（25-26八年级上·山西运城·期末）为了提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，记分员记录了他们在近八场比赛中关于得分、篮板的情况．
【信息1】甲的得分情况（分）：20，14，29，28，30，23，32，32；
乙的得分情况（分）：24，30，28，25，26，28，28，27．
【信息2】
【信息3】 技术统计表
队员 平均得分 得分众数 得分中位数 得分方差 平均每场篮板
甲 26 32 n 36.25 b
乙 27 m 27.5 a 8
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中的_______，_______，_______，_______；
(2)本次队员综合得分按平均得分的40%，平均每场篮板的60%计算，综合得分越高表现越好，通过计算说明甲、乙哪名队员的表现更好？
(3)你认为甲、乙两名队员谁的表现更好？请选择两方面进行分析．
【变式3】（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）在某校科技节活动期间，学校组织了科普知识竞赛．现从七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行统计、分析，过程如下：
【收集数据】七年级20名同学的竞赛成绩统计（单位：分）：69，72，72，73，74，74，74，74，76，76，78，89，96，97，97，98，98，99，99，99．
八年级20名同学的竞赛成绩统计（单位：分）：65，68，70，76，77，78，87，88，88，88，89，89，89，89，93，95，97，97，98，99．
【整理、描述数据】将抽取的两个年级的成绩分别进行整理，分成A，B，C，D四组，用x表示成绩，A组：，B组：，C组：，D组：．绘制出如下统计图．
【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 84.2 a 74 12.1
八年级 86 88.5 b 10.3
根据以上信息，解答下列问题：
(1) ， ；
(2)补全频数分布统计图；
(3)七年级有300人参加测试，八年级有320人参加测试，若测试成绩不低于80分的为优秀，估计七、八年级测试成绩优秀的共有多少人；
(4)请从平均数、中位数、方差中，任选一个统计量，对七、八年级测试成绩进行评价．
【变式4】艺术测评主要是为掌握学生艺术素养发展状况，改进美育教学．某校根据义务教育阶段音乐、美术等学科的课程标准，在九年级随机抽取了若干位同学进行艺术测评与分析，下面是对九（1）班抽测到的10位同学的测评分值的数据分析过程：
【收集与整理】10位同学的测评分值分组统计如下：
分组方式 组别 测评分值
方式一（按平均分相同分组） Ⅰ组 80，85，85，90，100
Ⅱ组 80，85，90，90，95
方式二（按分数段分组） 甲组 80，80，85，85，85
乙组 90，90，90，95，100
【描述与分析】
10位同学测评分值的分布情况分组数据统计量分析表
分组方式 组别 中位数 众数 方差 组内离差平方和
方式一 Ⅰ组 m 85 46 360
Ⅱ组 90 90 26
方式二 甲组 85 85 6 110
乙组 90 n 16
说明：组内离差平方和表达了各小组内数据的离散程度．它的值越小，说明这种分组方式中同组成员之间的水平越接近．
根据以上信息，解答下面问题：
（1）扇形统计图中“100分”对应的圆心角度数为______°；
（2）_______，_______．
【判断与决策】
（3）为深入推进小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步，请你根据以上信息，选择一种利于开展小组学习的分组方式，并说明你这样选择的理由．
【变式5】（25-26八年级上·山东淄博·期末）为了解学生的体育锻炼情况，某学校八年级级部以“活跃校园——探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．该级部随机抽取了甲、乙两个班，通过问卷收集了甲、乙两个班学生的平均每周锻炼时长数据，现从这两个班级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行整理、描述和分析，下面给出部分信息．
【数据收集】
甲班：8，7，12，8，7，5，6，8，6，13；
乙班学生平均每周锻炼时长数据的条形统计图如下：
【数据整理、分析】
班级 平均数 中位数 众数 方差
甲班 8 8 c
乙班 8 b
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：_____，_____，_____；
(2)小明对小刚说：“虽然平均每周锻炼时长我俩都是8小时，但我在我们班中的排名比你在你们班的排名靠前．”根据以上信息可知小明是_____班的学生．（填“甲”或“乙”）
(3)你认为甲、乙这两个班中，哪个班的学生体育锻炼情况的总体水平较好？请给出两条理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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