资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题01 二次根式
知识点一、二次根式的概念
1、二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．其中“ ”称为二次根号，a为被开方数.
①二次根式的条件：①含有二次根号；②被开方数是一个非负数；
②被开方数a既可以是一个数，又可以是一个含有字母的式子.
【注意】 二次根式的定义是从形式来界定的，必须含有二次根号“ ”，不能从化简结果上判断，如是二次根式；“ ”的根指数是2，一般把根指数2省略，不要误认为根指数是1或没有.
2、二次根式有意义的条件是：被开方数（式）为非负数，反之也成立.即：有意义=> a≥0,
无意义， a＜0.
知识点二、二次根式的性质
1、 的性质： 0； a≥0（双重非负性）．
2、（）2（a≥0）的性质：（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
3、 的性质： |a|（算术平方根的意义）．
知识点三、二次根式的乘除
1、二次根式的乘法法则：两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根.
用字母表示为： （a ≥0，b≥0）.
（1）法则中的被开方数a,b既可以是数，也可以是代数式，但必须是非负数.
（2）二次根式的乘法法则推广：
① （a ≥0，b ≥0，c≥0）.
②当二次根式外有因数（式）时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，系数的乘积作为结果的系数，根式的乘积按照乘法法则计算.即 m n = m n（a≥0，b≥0）.
2、积的算术平方根性质：积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的积.
即： （a≥0，b≥0）
3、二次根式的除法法则：两个算术平方根的商，等于各个被开方数相除商的算术平方根.
用字母表示为：（a≥0，b＞0）．
4、商的算术平方根性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.（我们把这个性质也叫做商的算术平方根的性质）.
即：（a≥0，b＞0）
【注意】
①该性质成立的前提条件是：公式中的a和b必须满足a≥0，b＞0，因为分母不能为0，所以b＞0.
②该性质的实质是逆用二次根式的除法法则，应用此性质可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（分式）的二次根式时，先将其化为（a≥0，b＞0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同时乘一个适当的因式，化去分母中的根号即可.
知识点四、最简二次根式
1、最简二次根式概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
2、最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
【注意】在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.
知识点五、二次根式的加减
1、同类二次根式：同类经过化简后，各根式被开方数相同，像这样的几个二次根式被为同类二次根式.
（1）同类二次根式的识别：将每个二次根式化为最简二次根式，再看这些二次根式的被开方数是否相同，相同就是可合并的二次根式，否则就不是可合并的二次根式．
（2）同类二次根式的合并的方法别：①化为最简二次根式；②系数相加减；③二次根式不变.
【注意】
（1）几个二次根式是否可以合并，只与被开方数及根指数有关，而与根号前的系数无关.
（2）被开方数不相同的的二次根式不能合并，例如为最终的结果，而不能错误地合并为.
2、二次根式加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式（同类二次根式）进行合并.
(1)二次根式的加减法的解题步骤:
①“化”：将所有二次根式化成最简二次根式
②“找”：找出被开方数相同的最简二次根式
③ “并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项.
(2)整式加减运算中的交换律、结合律以及去括号、添括号法则在二次根式加减运算中同样适用.
【注意】
（1）化成最简二次根式后，被开方数不同的二次根式不能合并；
（2）对于不能合并的二次根式，一定不要漏写，要保持不变，它们也是结果的一部分.
知识点六、二次根式的混合运算
1、二次根式的混合运算种类：二次根式的加、减、乘、除、乘方（或开方）的混合运算.
2、二次根式的混合运算顺序：
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序是一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）．
3、二次根式的混合运算依据:有理数的运算律（交换律、结合律、分配律）、多项式乘法法则和乘法公式（平方差公式、完全平方公式）在二次根式的运算中仍然适用.
题型一 二次根式的识别
【例1】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）在下列各式中，是二次根式的有（ ）
A． B．0 C． D．
【变式1】（25-26九年级上·四川宜宾·期末）下列式子中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25八年级下·广东东莞·阶段检测）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】下列式子中，是二次根式的有( )
①，②，③，④，⑤，⑥，⑦
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
题型二 二次根式的有意义的条件
【例2】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）若有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26八年级上·山东德州·期末）若要使有意义，则x的取值范围为（　　）
A．且 B．且 C．且 D．且
【变式2】（24-25八年级下·四川绵阳·检测）若代数式有意义，则实数的取值范围是________．
【变式3】（23-24九年级上·四川巴中·期末）若有意义，则的取值范围是______．
题型三 求二次根式的值
【例3】（24-25八年级下·陕西安康·期末）当时，二次根式的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1】（23-24九年级上·海南儋州·期末）当时，二次根式的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【变式2】（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）当时，二次根式的值是____________．
【变式3】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）根据以下程序，当输入时，输出结果为（ ）
A．1 B． C． D．2
题型四 利用二次根式的性质计算
【例4】（24-25七年级上·广西桂林·期末）化简：的结果是（　　）
A． B．5 C． D．
【变式1】（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26八年级上·广东梅州·期末）求代数式的值，其中．如图是小明和小颖的解答过程：
(1)填空：______的解法是错误的；
(2)求代数式的值，其中．
【变式3】（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)在数轴上还有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．
题型五 二次根式的乘法
【例5】（25-26九年级上·河南新乡·期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式1】计算的结果为（　　）
A． B． C． D．6
【变式2】（24-25七年级下·四川绵阳·期末）设，，则用含a，b的式子表示，可得（　　）
A． B． C． D．
【变式3】下列式子正确的是( )
A．
B．
C．
D．
题型六 二次根式的除法
【例6】若，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
【变式1】若成立，则的值可以是（ ）
A． B．0 C．2 D．3
【变式2】（24-25八年级上·上海黄浦·期末）计算：______．
【变式3】（25-26八年级下·全国·单元测试）计算下列各式：
(1)
(2)
(3)
题型七 二次根式的乘除混合运算
【例7】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：
(1)．
(2)．
【变式1】（23-24八年级下·陕西西安·期末）计算：．
【变式2】（25-26八年级上·上海崇明·期末）计算： ．
【变式3】（25-26七年级上·北京海淀·期末）化简：
(1)；
(2)．
题型八 最简二次根式
【例8】（23-24八年级下·新疆阿克苏·期末）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26八年级上·上海·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．； B．； C．； D．．
【变式2】（25-26八年级上·河南郑州·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（25-26八年级上·广东佛山·期末）下列根式中是最简二次根式的为（　　）
A． B． C． D．
题型九 化二次根式为最简二次根
【例9】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）将化简，正确的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24八年级下·吉林·期末）化简（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）化简______．
【变式3】（25-26八年级上·北京平谷·期中）已知，化简______．
题型十 同类二次根式
【例10】（25-26九年级上·福建泉州·期末）下列二次根式，与不是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26八年级上·山东济南·期末）下列二次根式与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）若最简二次根式可以与合并，则的值是（ ）
A．11 B．4 C．2 D．1
【变式3】（25-26八年级上·河南开封·期末）将式子（为正整数）化为最简二次根式后，可以与合并．所有符合条件的的值的和为_____
题型十一 二次根式的加减法
【例11】（24-25七年级下·河南省直辖县级单位·期末）计算： ．
【变式1】（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）计算：________．
【变式2】（25-26八年级上·河北沧州·期末）已知，则______．
【变式3】（24-25八年级上·上海·阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
题型十二 二次根式的混合运算
【例12】（23-24八年级下·山东烟台·期末）计算：
(1)；
(2)．
【变式1】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）计算：
(1)
(2)
【变式2】（24-25八年级上·重庆北碚·期末）计算：
(1)；
(2)．
【变式3】（24-25八年级下·黑龙江黑河·期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
题型十三 二次根式与新定义运算
【例13】（25-26八年级下·全国·课后作业）我们规定运算符号“”：当时，；当时，，其他运算符号的意义不变．计算：________________．
【变式1】（24-25九年级上·广西百色·期中）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下： ，如：，那么______．
【变式2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）我们规定：对于任意的正数，的“※”运算为，，计算的结果为 ．
【变式3】（24-25八年级下·福建福州·期末）对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，如．请你计算 ．
题型十四 二次根式的实际应用
【例14】如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（25-26八年级上·湖南娄底·期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为______．
【变式2】（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为米的正方形雕像．
(1)求绿化的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示，结果要化简）
(2)求出当，时的绿化面积．
【变式3】（24-25八年级上·陕西榆林·期中）有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形．
(1)求长方形木板的面积；
(2)木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行．
题型一 求二次根式的参数
【例1】（22-23七年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．8 D．11
【变式1】（24-25八年级下·天津西青·期末）已知是整数，则满足条件的最小正整数为__________．
【变式2】（24-25八年级下·辽宁盘锦·阶段检测）当的值为______时，的值最小，这个最小值为______．
【变式3】 （25-26八年级上·福建福州·期末）已知的结果为正整数，则正整数的最小值为__________．
题型二 二次根式的非负性应用
【例2】（25-26八年级上·河南郑州·期末）已知x，y满足等式，m是的小数部分，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【变式1】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）已知、满足，求的值．
【变式2】（25-26八年级上·河南平顶山·月考）求代数式的值，其中．下面是小芳和小亮的解题过程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题．
小芳：解：原式，
小亮：解：原式．
(1)______的解法是错误的；
(2)求代数式的值，其中．
【变式3】（23-24八年级下·山东济宁·期末）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题：
(1)已知，则的值为_______；
(2)若为实数，且，求的值；
(3)若实数满足，求的值．
题型三 二次根式的化简求值
【例3】（24-25七年级下·山东济南·期末）已知，．
(1)求代数式的值；
(2)求代数式的值．
【变式1】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）先化简，再求值：，其中．
【变式2】（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）先化简，再求值：，其中，．
【变式3】（24-25八年级下·四川广元·期末）先化简，再求值：，其中满足．
题型一 分母有理化
【例1】（25-26八年级上·江西宜春·期末）观察下列等式：
①；
②；
③；
…
进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
(1)化简：．
(2)计算：________（为正整数）．
(3)计算：．
【变式1】（25-26八年级上·福建三明·期末）阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．
例如：
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．
例如：比较和的大小．
解：，
(1)二次根式进行“分子有理化”；
(2)比较和的大小．
【变式2】（23-24九年级上·河南鹤壁·期末）【阅读理解】
爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
，．
，即．
．
．
请你根据小名的分析过程，解决如下问题：
(1)计算： ；
(2)计算： ；
(3)若，求的值．
【变式3】在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的：
．
．
．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
(1)_______；_______；
(2)比较大小： ； （用“”“”或“”填空）；
(3)若，求的值．
题型二 复合二次根式的化简
【例1】（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25八年级下·湖北恩施·期末）观察、思考、作解答：
，
反过来，．
，．
(1)仿照上述过程，化简：；
(2)若，直接写出与之间的关系．
【变式2】（25-26八年级上·广西桂林·期末）阅读材料：
在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如：
【类比归纳】
（1）填空：
①
②
（2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方；
【拓展提升】
（3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积．
【变式3】（25-26八年级上·四川巴中·期末）问题情境：
如图，在中，，，，求的长度．小许同学利用勾股定理求出，老师告诉他：中，根号下含有根号，不是最简二次根式，还需要继续化简．
方法回顾：
小许回想到二次根式化简
，
；
又，
；
所以将被开方式（数）化为完全平方式，就可以达到化简二次根式的目的．
方法应用：
（1）_____；
问题解决：
（2）_____；
方法迁移：
（3）计算：．
题型三 二次根式的规律探究题
【例2】（25-26八年级上·江苏南通·期末）小明做数学题时，发现；…；按此规律，若（为正整数），则________．
【变式1】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）化简的结果为______．
【变式2】【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：等．
【猜想】（1） ；
【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明．
【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值．
【变式3】（25-26八年级上·上海嘉定·月考）请你观察下列式子的特点，并直接写出结果：
（1）__________；
（2）__________；
（3）__________；
根据你的阅读回答下列问题：
（4）请根据上面式子的规律填空：
____________________（为正整数）；
（5）请直接写出下列式子的结果
____________．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题01 二次根式
知识点一、二次根式的概念
1、二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．其中“ ”称为二次根号，a为被开方数.
①二次根式的条件：①含有二次根号；②被开方数是一个非负数；
②被开方数a既可以是一个数，又可以是一个含有字母的式子.
【注意】 二次根式的定义是从形式来界定的，必须含有二次根号“ ”，不能从化简结果上判断，如是二次根式；“ ”的根指数是2，一般把根指数2省略，不要误认为根指数是1或没有.
2、二次根式有意义的条件是：被开方数（式）为非负数，反之也成立.即：有意义=> a≥0,
无意义， a＜0.
知识点二、二次根式的性质
1、 的性质： 0； a≥0（双重非负性）．
2、（）2（a≥0）的性质：（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
3、 的性质： |a|（算术平方根的意义）．
知识点三、二次根式的乘除
1、二次根式的乘法法则：两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根.
用字母表示为： （a ≥0，b≥0）.
（1）法则中的被开方数a,b既可以是数，也可以是代数式，但必须是非负数.
（2）二次根式的乘法法则推广：
① （a ≥0，b ≥0，c≥0）.
②当二次根式外有因数（式）时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，系数的乘积作为结果的系数，根式的乘积按照乘法法则计算.即 m n = m n（a≥0，b≥0）.
2、积的算术平方根性质：积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的积.
即： （a≥0，b≥0）
3、二次根式的除法法则：两个算术平方根的商，等于各个被开方数相除商的算术平方根.
用字母表示为：（a≥0，b＞0）．
4、商的算术平方根性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.（我们把这个性质也叫做商的算术平方根的性质）.
即：（a≥0，b＞0）
【注意】
①该性质成立的前提条件是：公式中的a和b必须满足a≥0，b＞0，因为分母不能为0，所以b＞0.
②该性质的实质是逆用二次根式的除法法则，应用此性质可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（分式）的二次根式时，先将其化为（a≥0，b＞0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同时乘一个适当的因式，化去分母中的根号即可.
知识点四、最简二次根式
1、最简二次根式概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
2、最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
【注意】在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.
知识点五、二次根式的加减
1、同类二次根式：同类经过化简后，各根式被开方数相同，像这样的几个二次根式被为同类二次根式.
（1）同类二次根式的识别：将每个二次根式化为最简二次根式，再看这些二次根式的被开方数是否相同，相同就是可合并的二次根式，否则就不是可合并的二次根式．
（2）同类二次根式的合并的方法别：①化为最简二次根式；②系数相加减；③二次根式不变.
【注意】
（1）几个二次根式是否可以合并，只与被开方数及根指数有关，而与根号前的系数无关.
（2）被开方数不相同的的二次根式不能合并，例如为最终的结果，而不能错误地合并为.
2、二次根式加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式（同类二次根式）进行合并.
(1)二次根式的加减法的解题步骤:
①“化”：将所有二次根式化成最简二次根式
②“找”：找出被开方数相同的最简二次根式
③ “并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项.
(2)整式加减运算中的交换律、结合律以及去括号、添括号法则在二次根式加减运算中同样适用.
【注意】
（1）化成最简二次根式后，被开方数不同的二次根式不能合并；
（2）对于不能合并的二次根式，一定不要漏写，要保持不变，它们也是结果的一部分.
知识点六、二次根式的混合运算
1、二次根式的混合运算种类：二次根式的加、减、乘、除、乘方（或开方）的混合运算.
2、二次根式的混合运算顺序：
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序是一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）．
3、二次根式的混合运算依据:有理数的运算律（交换律、结合律、分配律）、多项式乘法法则和乘法公式（平方差公式、完全平方公式）在二次根式的运算中仍然适用.
题型一 二次根式的识别
【例1】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）在下列各式中，是二次根式的有（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式的定义，
需根据“形如的式子是二次根式”这一概念判断各选项．
【详解】解：∵二次根式的定义为形如的式子，
∴A选项是负整数，不符合二次根式的形式；
B选项是整数，不符合二次根式的形式；
C选项是无理数，不符合二次根式的形式；
D选项满足的形式，是二次根式．
故选：D．
【变式1】（25-26九年级上·四川宜宾·期末）下列式子中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式，根据二次根式的定义（形如（）的式子是二次根式，需满足根指数为2且被开方数非负），逐一分析选项即可得出答案．
【详解】解：A、的被开方数，式子无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意；
B、的根指数为3，不是二次根式，故本选项不符合题意；
C、中的取值范围不确定，当时式子无意义，不一定是二次根式，故本选项不符合题意；
D、的根指数为2，被开方数，符合二次根式的定义，一定是二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式2】（24-25八年级下·广东东莞·阶段检测）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如的式子叫二次根式．根据二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．的被开方数为，不是二次根式，故本选项不符合题意；
B．的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意；
C．若，无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意；
D．是二次根式，故本选项符合题意．
故选：D．
【变式3】下列式子中，是二次根式的有( )
①，②，③，④，⑤，⑥，⑦
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题根据二次根式的定义判断，二次根式需满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数，逐个判断即可得出结果．
【详解】解：①，，根指数为2，是二次根式．
②，，不是二次根式．
③，，，根指数为2，是二次根式．
④，根指数为3，不符合二次根式定义，不是二次根式．
⑤，，根指数为2，是二次根式．
⑥，，，不是二次根式．
⑦，配方得，，，根指数为2，是二次根式．
综上，符合条件的二次根式共4个．
题型二 二次根式的有意义的条件
【例2】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）若有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数，列不等式求解即可．
【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数
∴本题中
移项得
系数化为1得
【变式1】（25-26八年级上·山东德州·期末）若要使有意义，则x的取值范围为（　　）
A．且 B．且 C．且 D．且
【答案】A
【分析】要使该代数式有意义，需同时满足二次根式和分式有意义的条件，据此分别列出不等式求解，即可得到x的取值范围．
【详解】∵要使有意义，需同时满足两个条件：
①二次根式被开方数非负，即，
②分式分母不为0，即，解得，
∴的取值范围为且．
【变式2】（24-25八年级下·四川绵阳·检测）若代数式有意义，则实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，可得被开方数大于0，列出不等式即可求解．
【详解】解：要使代数式有意义，必须满足，解得，
∴实数的取值范围是．
【变式3】（23-24九年级上·四川巴中·期末）若有意义，则的取值范围是______．
【答案】且
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式组求解即可．
【详解】解：要使有意义，需满足被开方数为非负数，且分式的分母不等于零，可得：
解不等式，得，
解不等式，得，
∴的取值范围是且．
题型三 求二次根式的值
【例3】（24-25八年级下·陕西安康·期末）当时，二次根式的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查求二次根式的值，将代入二次根式 中，计算被开方数的值，再求其算术平方根．
【详解】当时，
，
故选：C．
【变式1】（23-24九年级上·海南儋州·期末）当时，二次根式的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的基本性质及化简，二次根式的定义，把代入原式化简即可．
【详解】解：当时，原式，
故选：B．
【变式2】（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）当时，二次根式的值是____________．
【答案】
【分析】本题主要考查了化简二次根式，把代入二次根式中利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：当时，，
故答案为：．
【变式3】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）根据以下程序，当输入时，输出结果为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】本题考查了程序框图的循环计算与根式运算，解题的关键是按照程序框图的逻辑，逐步代入计算，直到满足输出条件．
先将输入的代入表达式计算，判断结果是否小于2，若不满足则将该结果作为新的再次代入计算，直至结果小于2时输出．
【详解】解：当输入时，
第一次计算：，不成立，将作为新的；
第二次计算：，成立，输出结果．
故选：C．
题型四 利用二次根式的性质计算
【例4】（24-25七年级上·广西桂林·期末）化简：的结果是（　　）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式的性质．根据二次根式有意义的条件可得，从而得到，再根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
∴，
∴，
∴
故选：A
【变式1】（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是利用数轴比较数的大小，化简绝对值，二次根式的化简，掌握“”是解本题的关键．由数轴可得，，再判断，，最后化简二次根式与绝对值，再合并即可．
【详解】解：由数轴可得，，，
，，
，
故选：A．
【变式2】（25-26八年级上·广东梅州·期末）求代数式的值，其中．如图是小明和小颖的解答过程：
(1)填空：______的解法是错误的；
(2)求代数式的值，其中．
【答案】(1)小明；
(2)．
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
（1）根据二次根式的性质化简求值即可得解；
（2）根据二次根式的性质化简求值即可得解．
【详解】（1）解：∵当时，，
∴
，
∴小明的计算错误，小颖的计算正确．
故答案为：小明．
（2）解：当时，，
∴
．
【变式3】（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)在数轴上还有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查的知识点是实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、二次根式的性质、二次根式的非负性、求一个数的平方根等，解题关键是熟练掌握相关知识点．
（1）根据两点间的距离公式即可得解；
（2）由可推得，即，再利用绝对值和二次根式的性质化简，即可求解；
（3）根据非负数的性质求出、的值，再代入，进而求其平方根．
【详解】（1）解：依题意得，蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，
点所表示的数为；
（2）解：，
，
，
即，
，，
，
，
，
；
（法二：，
，
，
，
，
，
）；
（3）解：由题可知，
，，
，，
，
的平方根为．
题型五 二次根式的乘法
【例5】（25-26九年级上·河南新乡·期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查立方根、二次根式的乘法运算、完全平方公式及算术平方根的性质，需根据相应法则逐一计算各选项判断正误．
【详解】解：∵，
∴，故A错误．
∵，
∴B正确．
∵，
∴C错误．
∵
∴D错误．
故选：B．
【变式1】计算的结果为（　　）
A． B． C． D．6
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘法法则，先将两个根号内的数相乘，再化简结果，并注意符号的处理．
【详解】解：，
故选：B．
【变式2】（24-25七年级下·四川绵阳·期末）设，，则用含a，b的式子表示，可得（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的化简及二次根式的乘法计算．计算a，b的值，然后将进行化简变形，从而求解．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：C．
【变式3】下列式子正确的是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】A．原式，故本选项错误．
B．原式=，故本选项错误．
C．原式不能化简，故本选项错误．
D．原式=，故本选项正确．
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．1．当a＞0时，表示a的算术平方根；当a=0时，0；当a＜0时，二次根式无意义．2．性质：|a|．
题型六 二次根式的除法
【例6】若，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】把代入计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除运算是解题的关键．
【变式1】若成立，则的值可以是（ ）
A． B．0 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据二次根式需满足被开方数大于等于零，然后根据题意二次根式的性质列不等式求解即可．
本题主要考查二次根式的概念及性质、一元一次不等式组的解法，关键是根据二次根式的概念列出不等式组即可．
【详解】解：∵成立，
∴且且，
解得：，
∴的值可以是0．
故选：B
【变式2】（24-25八年级上·上海黄浦·期末）计算：______．
【答案】
【分析】此题考查了二次根式的除法，利用二次根式的除法法则计算即可．
【详解】解：
故答案为：
【变式3】（25-26八年级下·全国·单元测试）计算下列各式：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)3
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的除法运算．
（1）直接计算二次根式的除法即可；
（2）直接计算二次根式的除法即可；
（3）直接计算二次根式的除法即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
题型七 二次根式的乘除混合运算
【例7】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）可利用二次根式的除法运算法则，逐步化简计算；
（2）结合二次根式的乘除运算法则，先将乘除统一为乘法，再化简计算．
【详解】（1）解：根据二次根式除法性质，从左到右依次计算：
原式
．
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算法则，解题关键是熟练运用、的性质，将式子统一化简后计算．
【变式1】（23-24八年级下·陕西西安·期末）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质化简，二次根式的乘除混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先根据二次根式的性质化简，再结合二次根式的乘除混合运算法则进行计算，即可作答．
【详解】解：
【变式2】（25-26八年级上·上海崇明·期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的乘除混合运算等知识点，灵活运用二次根式的混合运算法则是解题的关键．
先根据二次根式的性质化简，然后运用二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：
．
【变式3】（25-26七年级上·北京海淀·期末）化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的运算及化简，熟练掌握二次根式的化简方法和运算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的性质进行化简即可；
（2）先将除法转化为乘法，再计算二次根式的乘法运算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
由题意得，，
原式．
题型八 最简二次根式
【例8】（23-24八年级下·新疆阿克苏·期末）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的两个判定条件，被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各选项即可．
【详解】解 ：A 、是最简二次根式；
B、 的被开方数含分母，不是最简二次根式；
C、 的被开方数9是能开得尽方的因数，化简后为3，不是最简二次根式；
D 、，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式．
故选A．
【变式1】（25-26八年级上·上海·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．； B．； C．； D．．
【答案】C
【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件：1被开方数不含分母，2被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐个验证选项即可．
【详解】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数，故A不是最简二次根式；
B、，被开方数含分母，故B不是最简二次根式；
C、既不含分母，也不能分解出能开得尽方的因式，满足最简二次根式的条件，故C是最简二次根式；
D、的被开方数含分母，故D不是最简二次根式．
【变式2】（25-26八年级上·河南郑州·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需要满足两个条件，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，符合两个条件即为最简二次根式．
【详解】解：∵选项A，的被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意；
∵选项B，，被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意；
∵选项C，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式定义，∴是最简二次根式，本选项符合题意；
∵选项D，，被开方数含能开得尽方的因数4，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意．
故选：C．
【变式3】（25-26八年级上·广东佛山·期末）下列根式中是最简二次根式的为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了最简二次根式的判断，根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式），逐项分析判断即可．
【详解】解：最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，
A、，被开方数含能开得尽方的因数16，不是最简二次根式，不符合题意；
B、的被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
D、的被开方数10不含分母，且10分解为，无开得尽方的因数，是最简二次根式，符合题意．
故选：D．
题型九 化二次根式为最简二次根
【例9】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）将化简，正确的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的化简，需利用二次根式的性质将被开方数分解出完全平方数，同时注意算术平方根的非负性．
【详解】解：；
故选：A．
【变式1】（23-24八年级下·吉林·期末）化简（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的性质．将转化为分数形式，利用二次根式的性质和除法运算化简，即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
故选：C．
【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）化简______．
【答案】
【分析】本题考查了最简二次根式，先利用二次根式的除法法则拆分被开方数，再将含完全平方数的部分开方，最后通过分母有理化得到最简二次根式．
【详解】解：=====．
【变式3】（25-26八年级上·北京平谷·期中）已知，化简______．
【答案】/
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
题型十 同类二次根式
【例10】（25-26九年级上·福建泉州·期末）下列二次根式，与不是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查同类二次根式的判断，需先将所有二次根式化为最简二次根式，再根据“被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式”进行判断．
【详解】∵，
对于选项A：已是最简二次根式，被开方数为3，与的被开方数相同，是同类二次根式；
对于选项B：，被开方数为3，与的被开方数相同，是同类二次根式；
对于选项C：，被开方数为2，与的被开方数不同，不是同类二次根式；
对于选项D：已是最简二次根式，被开方数为3，与的被开方数相同，是同类二次根式．
故选：C．
【变式1】（25-26八年级上·山东济南·期末）下列二次根式与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查同类二次根式的识别，掌握定义是解题的关键，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．首先化简二次根式，然后根据同类二次根式的定义即可判定．
【详解】解：A. ，与是同类二次根式，故选项符合题意；
B. 为最简二次根式，与不是同类二次根式，故选项不符合题意；
C. ，化简后为整数，故与不是同类二次根式，故选项不符合题意；
D. 为最简二次根式，与不是同类二次根式，故选项不符合题意；
故选：A．
【变式2】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）若最简二次根式可以与合并，则的值是（ ）
A．11 B．4 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本题考查了最简二次根式，二次根式的化简．
先化简，再根据最简二次根式的定义作答即可．
【详解】解：，
∵最简二次根式可以与合并，
∴，
解得：．
故选：C．
【变式3】（25-26八年级上·河南开封·期末）将式子（为正整数）化为最简二次根式后，可以与合并．所有符合条件的的值的和为_____
【答案】80
【分析】本题考查了二次根式的化简计算，同类二次根式的概念，二次根式有意义的条件，解决本题的关键是对完全平方数以及同类二次根式的理解．
先化简，令，根据符合条件的n的值，再求解出a的值即可．
【详解】解：∵，
又∵式子（为正整数）化为最简二次根式后，可以与合并．
则化简后是，其中为整数，
即可以转化为2乘以一个平方数，
令（为正整数），则，
又，解得，
∴满足条件的n的值为1，2，3，4，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴所有符合条件的的值的和为．
故答案为：80．
题型十一 二次根式的加减法
【例11】（24-25七年级下·河南省直辖县级单位·期末）计算： ．
【答案】/
【分析】本题考查了二次根式的加减运算．
先去括号，再计算减法即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【变式1】（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）计算：________．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的加减运算，核心知识点是二次根式的化简与同类二次根式的合并．先把题目中的每个二次根式化为最简二次根式，再将同类二次根式的系数进行加减运算，最终得到结果．
【详解】解：
；
故答案为：．
【变式2】（25-26八年级上·河北沧州·期末）已知，则______．
【答案】12
【分析】先化简二次根式，从而求出的结果，进而得到和b的值，最后计算的结果．
【详解】解：，
，
又∵，
∴，，
．
【变式3】（24-25八年级上·上海·阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)2
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
（2）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
题型十二 二次根式的混合运算
【例12】（23-24八年级下·山东烟台·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据二次根式的性质进行化简，再计算加减即可得出结果；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算即可得出结果．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式1】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)8
(2)
【分析】（1）先运用零次幂、二次根式的性质、负整数次幂化简，然后合并同类二次根式即可；
（2）直接运用二次根式的混合运算法则化简即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【变式2】（24-25八年级上·重庆北碚·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）先分母有理化，再根据二次根式的性质、立方根的定义化简，再合并即可；
（2）先根据负整数指数幂、完全平方公式、绝对值的意义计算，再合并即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式3】（24-25八年级下·黑龙江黑河·期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次根式的化简与运算，零指数幂，有理数的乘方，掌握二次根式的化简方法，合并同类二次根式法则，零指数幂的性质即可计算求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
题型十三 二次根式与新定义运算
【例13】（25-26八年级下·全国·课后作业）我们规定运算符号“”：当时，；当时，，其他运算符号的意义不变．计算：________________．
【答案】
【分析】此题考查了二次根式的加减，弄清题中的新定义是解本题的关键．
根据运算符号“△”的定义，先比较每组数的大小，确定运算方式，再计算表达式．
【详解】解：∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ 。
原式 =
．
故答案为：．
【变式1】（24-25九年级上·广西百色·期中）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下： ，如：，那么______．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的除法运算，实数新定义计算，熟练理解定义是解题的关键．
根据定义进行计算，即可作答．
【详解】解：．
故答案为：．
【变式2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）我们规定：对于任意的正数，的“※”运算为，，计算的结果为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，根据新定义可得，据此计算求解即可．
【详解】解：由题意得，；
故答案为：．
【变式3】（24-25八年级下·福建福州·期末）对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，如．请你计算 ．
【答案】
【分析】本题考查的是新定义运算的含义，二次根式的加减运算，先根据新定义列式，再计算即可．
【详解】解：∵，
∴；
故答案为：
题型十四 二次根式的实际应用
【例14】如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了算术平方根的应用，化简二次根式．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出，的长，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．
【详解】解：两张正方形纸片的面积分别为和
它们的边长分别为
，
空白部分的面积
．
故选：D．
【变式1】（25-26八年级上·湖南娄底·期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为______．
【答案】
【分析】本题考查算术平方根的实际应用，二次根式的乘法．
先根据两个小正方形的面积可求得它们的边长，根据长方形的面积列式计算，即可得余下部分的面积．
【详解】解：∵两个小正方形的面积分别为和，
∴这两个小正方形的边长分别为，，
∴余下部分的面积为．
故答案为：．
【变式2】（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为米的正方形雕像．
(1)求绿化的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示，结果要化简）
(2)求出当，时的绿化面积．
【答案】(1)平方米
(2)平方米
【分析】本题考查了整式的混合运算以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）由长方形面积减去正方形面积表示出绿化的面积即可；
（2）将a与b的值代入计算即可求出值．
【详解】（1）解：根据题意得：
平方米；
（2）解：当，时，原式平方米．
【变式3】（24-25八年级上·陕西榆林·期中）有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形．
(1)求长方形木板的面积；
(2)木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行．
【答案】(1)
(2)木工乙的想法可行，理由见解析
【分析】（1）先求出正方形的边长，然后再求出长方形的长和宽，再计算长方形的面积即可；
（2）根据长方形的面积公式求出需要裁出的长方形的长，然后比较大小即可．
【详解】（1）解：∵长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形．
∴正方形的边长为，
∴，，
∴长方形木板的面积为；
（2）解：木工乙的想法可行，理由如下：
∵要从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，
∴裁出的长方形的长为，
由（1）得长方形的长为，宽为，
，， ，
∴，，
∴可以裁出所求的长方形木料，即木工乙的想法可行．
题型一 求二次根式的参数
【例1】（22-23七年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．8 D．11
【答案】B
【分析】先根据二次根式求出m的取值范围，再根据是整数对m的值进行分析讨论．
【详解】解：由题意得：，解得，
又因为是整数，
∴是完全平方数，
当时，即，
当时，即，
当时，即，
当时，即，
综上所述，自然数m的值可以是3、8、11、12，所以m的最小值是3，
故答案选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的化简及自然数的定义，掌握二次根式的化简法则及自然数是指大于等于0的整数是解答本题的关键．
【变式1】（24-25八年级下·天津西青·期末）已知是整数，则满足条件的最小正整数为__________．
【答案】3
【分析】本题主要考查二次根式的性质，灵活运用二次根式的性质化简二次根式成为解题的关键．
先将进行化简得到，再根据是整数即可解答．
【详解】解：根据题意，化简得：，
又∵是整数，
∴满足条件的最小正整数x为3．
故答案为3．
【变式2】（24-25八年级下·辽宁盘锦·阶段检测）当的值为______时，的值最小，这个最小值为______．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质，利用二次根式的性质解答即可，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴当时，即，取最小值，
此时的值最小，最小值为，
故答案为：，．
【变式3】 （25-26八年级上·福建福州·期末）已知的结果为正整数，则正整数的最小值为__________．
【答案】3
【分析】本题主要考查了化简二次根式，先利用二次根式的性质化简，根据化简结果为正整数的条件，确定需为完全平方数，进而求出正整数的最小值．
【详解】解：，
∵的结果为正整数，
∴是正整数，
∴是完全平方数，
∵n为正整数，
∴n的最小值为，
故答案为：3．
题型二 二次根式的非负性应用
【例2】（25-26八年级上·河南郑州·期末）已知x，y满足等式，m是的小数部分，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【分析】利用算术平方根的非负性求出x、y值，估算的取值范围求得m值，进而可求解．
【详解】解：x，y满足等式，，，
∴，，
解得，，
∵m是的小数部分，，
∴，
∴．
【变式1】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）已知、满足，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的双重非负性和二次根式混合运算顺序与运算法则．先根据二次根式的非负性得出，解之求得、的值，再代入计算可得．
【详解】解：，
，
解得，
．
【变式2】（25-26八年级上·河南平顶山·月考）求代数式的值，其中．下面是小芳和小亮的解题过程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题．
小芳：解：原式，
小亮：解：原式．
(1)______的解法是错误的；
(2)求代数式的值，其中．
【答案】(1)小亮
(2)
【分析】本题考查的是二次根式的性质、完全平方公式，掌握是解题的关键．
（1）根据题意得到，根据二次根式的性质计算即可；
（2）根据二次根式的性质把原式化简，代入计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴小亮的解法是错误的，
故答案为：小亮；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴
，
当时，原式．
【变式3】（23-24八年级下·山东济宁·期末）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题：
(1)已知，则的值为_______；
(2)若为实数，且，求的值；
(3)若实数满足，求的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)9901
【分析】本题考查二次根式的双重非负性，二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，根据题意，利用的双重非负性灵活运用是解决问题的关键．
（1）利用二次根式非负性，，，当时，只有才能满足题意，解出代入代数式即可得到答案；
（2）由二次根式有意义的条件得到，从而确定，将代入代数式即可得到答案；
（3）由二次根式有意义的条件得到，从而可化为，即，两边同时平方即可得到答案．
【详解】（1）解：，，，
，解得，
，
故答案为：；
（2）解：中；中；
，则，即，
当时，；当时，；
（3）解： 中，
，
可化为，即，
将两边同时平方可得，则．
题型三 二次根式的化简求值
【例3】（24-25七年级下·山东济南·期末）已知，．
(1)求代数式的值；
(2)求代数式的值．
【答案】(1)
(2)8
【分析】（1）根据平方差公式：求解即可；
（2）根据完全平方公式：求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴
．
（2）解：∵，，
∴
．
【变式1】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】，1
【分析】本题考查整式的混合运算，二次根式的运算，正确计算整式的运算是解题关键，先计算整式的混合运算，再代入后运用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】解：原式
，
当时，
原式
．
【变式2】（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】先把括号内的分式通分，再进行计算，然后把除法化成乘法，再约分，最后把x，y代入化简后的式子进行计算即可．
本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式的通分与约分．
【详解】解：
，
当时，
原式
【变式3】（24-25八年级下·四川广元·期末）先化简，再求值：，其中满足．
【答案】，
【分析】本题考查非负数的性质，分式的化简求值，二次根式的混合运算，先根据算术平方根、绝对值的非负性求出，再利用分式的性质化简，最后将代入求值即可．
【详解】解： ，，，
，，
．
原式．
当时，
原式．
题型一 分母有理化
【例1】（25-26八年级上·江西宜春·期末）观察下列等式：
①；
②；
③；
…
进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
(1)化简：．
(2)计算：________（为正整数）．
(3)计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次根式的运算，分母有理化，熟练掌握分母有理化是解题的关键：
（1）根据分母有理化，计算即可；
（2）根据分母有理化，计算即可；
（3）先进行分母有理化，再进行计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）；
（3）
．
【变式1】（25-26八年级上·福建三明·期末）阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．
例如：
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．
例如：比较和的大小．
解：，
(1)二次根式进行“分子有理化”；
(2)比较和的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，实数的大小比较，本题是阅读型，正确理解题干中的方法并熟练运用是解题的关键．
（1）利用题干中的方法将分子有理化即可；
（2）利用题干中的方法先将它们分子有理化，通过比较倒数的大小得出结论．
【详解】（1）解：；
（2）解：，，
，
．
【变式2】（23-24九年级上·河南鹤壁·期末）【阅读理解】
爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
，．
，即．
．
．
请你根据小名的分析过程，解决如下问题：
(1)计算： ；
(2)计算： ；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）仿照题目的方法利用平方差公式分母有理化即可；
（2）利用分母有理化可得，然后合并同类二次根式即可；
（3）利用分母有理化可得，进而得到，，然后将所求代数式变形，代入计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：，
，
，
，
；
（3）解：，
，
，即，
．
【变式3】在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的：
．
．
．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
(1)_______；_______；
(2)比较大小： ； （用“”“”或“”填空）；
(3)若，求的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)5
【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）利用分母有理化计算；
（2）根据分母有理化、、、，然后再比较大小即可；
（3）根据题干的方法可得，结合，即可求解．
【详解】（1）解：；
；
故答案为：；．
（2）解：，
，
，
；
，
，
，
，即．
故答案为：；．
（3）解：，
，
，，即
题型二 复合二次根式的化简
【例1】（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题．
【详解】解：原式
，
故选：D．
【变式1】（24-25八年级下·湖北恩施·期末）观察、思考、作解答：
，
反过来，．
，．
(1)仿照上述过程，化简：；
(2)若，直接写出与之间的关系．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式的变形运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）模仿题干过程，得，故，即可作答．
（2）因为，则，即可作答．
【详解】（1）解：依题意
．
（2）解：∵，
∴，
即，．
【变式2】（25-26八年级上·广西桂林·期末）阅读材料：
在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如：
【类比归纳】
（1）填空：
①
②
（2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方；
【拓展提升】
（3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积．
【答案】（1）①；；②；；（2）；（3）
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．
（1）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可；
（2）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可；
（3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为，根据题意得：，，即可得x、y的值，再根据剩余部分的面积为，代值计算即可．
【详解】解：（1）①；
②；
故答案为：①；；②；；
（2）；
（3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为，
根据题意得：，，
∴，，
剩余部分的面积为：．
【变式3】（25-26八年级上·四川巴中·期末）问题情境：
如图，在中，，，，求的长度．小许同学利用勾股定理求出，老师告诉他：中，根号下含有根号，不是最简二次根式，还需要继续化简．
方法回顾：
小许回想到二次根式化简
，
；
又，
；
所以将被开方式（数）化为完全平方式，就可以达到化简二次根式的目的．
方法应用：
（1）_____；
问题解决：
（2）_____；
方法迁移：
（3）计算：．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的加减，熟练掌握二次根式的性质及二次根式的加减是关键．
（1）将配方成，即可得到答案；
（2）将配方成，即可得到答案；
（3）先对两个被开方数配方，再开方求解即可．
【详解】（1）解：．
故答案为：．
（2）解：．
故答案为：．
（3）解：原式
．
题型三 二次根式的规律探究题
【例2】（25-26八年级上·江苏南通·期末）小明做数学题时，发现；…；按此规律，若（为正整数），则________．
【答案】
【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，数字类规律探索，利用二次根式的性质化简等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
通过观察给定等式，发现规律为对于正整数n，有．根据此规律，令，求出a和b的值，进而计算．
【详解】解：由规律可得：，
当时，式子为，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：．
【变式1】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）化简的结果为______．
【答案】5
【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用完全平方公式是解题关键．
直接利用完全平方公式将根号内部分变形开平方得出答案．
【详解】解：
故答案为：5．
【变式2】【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：等．
【猜想】（1） ；
【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明．
【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值．
【答案】（1） （2），证明见解析 （3）71
【分析】本题考查二次根式的化简与求值，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键，
（1）根据题中“穿墙”的定义，写出符合定义的数即可；
（2）根据“穿墙”的定义，用表示即可；
（3）根据“穿墙”的定义，分别求出，的值即可得到答案．
【详解】解：（1），证明如下，
，
故答案为：；
（2），证明如下，
；
（3）∵
∴根据（2）规律可得：，
解得：，
∴．
故答案为：．
【变式3】（25-26八年级上·上海嘉定·月考）请你观察下列式子的特点，并直接写出结果：
（1）__________；
（2）__________；
（3）__________；
根据你的阅读回答下列问题：
（4）请根据上面式子的规律填空：
____________________（为正整数）；
（5）请直接写出下列式子的结果
____________．
【答案】（1），（2），（3）；（4），；（5）或．
【分析】本题考查了数字类规律的探索，此类规律探究问题一定要结合式子特点和数的规律进行探究，类比，一般要根据规律进行变形，往往会消去部分中间项，实现简化运算目的.
（1）（2）（3）（4）计算题目中结果，并根据计算过程和结果，总结得到一般规律，作出猜想，并对猜想进行计算，即可进行证明；（5）根据规律进行变形，往往会消去部分中间项，实现简化运算.
【详解】（1）；
（2）；
（3） ；
（4）
证明：
∵为正整数，
∴
∴ .
（5）
故答案为（1），（2），（3）；（4），；（5）或．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑