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云南昭通市永善县永善县 2025-2026学年九年级下学期5月期中数学试题
一、单选题
1．小明有一个储蓄罐，如果往储蓄罐中存入25元记作元，那么从中取出12元可记作（ ）
A．元 B．12元 C．元 D．25元
2．2026年第一季度，云南省实现约77543000万元．数据77543000用科学记数法表示为（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，已知直线a，b被直线c所截，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，已知点A位于第二象限，且在反比例函数的图象上．过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点B，C．若，，则k的值为（ ）
A． B．-2 C．6 D．
6．如图，和相交于点O，，，若的周长为6，则的周长为（ ）
A．9 B．5 C．4 D．2
7．如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成的，则它的俯视图是（ ）
A．B．C． D．
8．观察下列式子：，则第（为正整数）个式子是（ ）
A． B． C． D．
9．某学校为了解学生一分钟跳绳的情况，随机抽取40名学生进行一分钟跳绳测试，获得了他们跳绳的数据（单位：个），数据整理如下：
一分钟跳绳的个数
人数 5 10 15 10
根据以上数据，估计全校800名学生中一分钟跳绳的个数不低于180的人数为（ ）
A．200 B．300 C．400 D．450
10．若有意义，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．某校计划在一块长米、宽米的矩形空地上（如图）修建花坛．现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，其余部分种植花卉．若花坛的种植面积为平方米，设小道的宽为米，则可列方程为（ ）.
A． B．
C． D．
12．下列每组词语中，两个字都是轴对称图形的是（ ）
A．干旱 B．羽毛 C．合作 D．朋友
13．如图，在中，于点，是的平分线，若，，则的面积为（）
A． B． C． D．
14．估计的值在（ ）
A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间
15．如图，四边形是的内接四边形，点O在线段上，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．分解因式：_____．
17．如图，已知菱形的对角线与相交于点O，的长为，与长度的比为，则菱形的面积是______．
18．某中学在校园艺术节中举办“七彩云南·民族韵律”合唱比赛，八年级一共有5个班级参赛．评委从音准、节奏、表现力、民族特色四个维度方面打分（满分10分），最终得分情况如下（单位：分）：8.8，9.3，9.6，8.9，9.1．这5个数据的中位数是_________．
19．已知一个圆锥的底面半径是，且该圆锥的侧面展开图的半径为，则该圆锥的高为_______．
三、解答题
20．计算：．
21．如图，等腰中，，D，E分别为边，上的点，且，连接，，求证：．
22．某茶叶合作社在春茶采摘季，安排甲、乙两个采茶队同时开采同一片茶园，假设两队每天各自的采茶量均恒定，已知甲队每天的采茶量是乙队每天采茶量的倍．合作社计划让两队各自独立采茶千克，实际执行时，甲队比乙队提前5天完成任务，求乙队每天采茶多少千克？
23．2026年3月，某市举办民族文化艺术节，现某文创商店推出3款特色文创挂件，分别为：A——扎染，B——银饰，C——木雕．小王购买3款特色文创挂件各1件．若小王从购买的3款挂件中随机抽取一款，记为x，不放回，再从剩余挂件中随机抽取一款，记为y，每款挂件被抽到的可能性均相等．
(1)用列表法或画树状图法，求所有可能出现的结果总数；
(2)求小王抽到的两款挂件中，恰好有一款是银饰的概率．
24．如图，在中，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线，分别交，于点O，E．在上取点F，使，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求AB的长．
25．为推进“教育强国”战略，某边境县教育局计划为辖区内乡村学校采购一批智慧黑板．现有甲、乙两种型号可供选择，若购买甲型号智慧黑板2块和乙型号智慧黑板1块，共需元；若购买甲型号智慧黑板1块和乙型号智慧黑板2块，共需元．
(1)甲、乙两种型号智慧黑板的单价分别是多少？
(2)该县计划购买甲、乙两种型号智慧黑板共块，其中甲型号数量不超过乙型号数量的2倍．由于运输条件限制，每块黑板需额外支付元运费．该县应如何购买，才能使总费用（含运费）最少？并求出最少总费用．
26．已知点在抛物线上，是抛物线与x轴的一个交点的横坐标．若．
(1)求b和的值；
(2)比较T与的大小关系．
27．如图，是的外接圆，是的直径，E是的中点，过点E作的垂线，垂足为点H，交于点F，连接，交于点D．
(1)连接，若，求的度数；
(2)延长至点K，连接，若，求证：直线是的切线；
(3)过点C作于点G，若，，求直径的长度．
1．A
【详解】解：∵存入与取出是一对相反意义的量，题目规定存入记为正，
∴取出应记为负，
∴取出12元可记作元．
2．C
【详解】解：．
3．B
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴．
4．B
【详解】解：选项A：，错误；
选项B：，正确；
选项C：，错误；
选项D：与不是同类项，不能合并，错误．
5．D
根据矩形的判定和性质得到，，，根据k的几何意义作答即可．
【详解】解：∵过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点B，C．
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴矩形的面积为，
∵反比例函数经过第二象限，
∴．
6．C
证明，然后根据相似三角形周长的比等于相似比求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴的周长的周长．
∵的周长为6，
∴的周长为∶．
7．D
【详解】解：∵俯视图是从上面看到的图形，
∴它的俯视图是．
8．C
分别从式子的符号、系数、字母的指数三个部分寻找规律，归纳得到第个式子的表达式即可．
【详解】解：符号规律：第1个式子为正，第2个为负，第3个为正，第4个为负
∴可得符号为 ；
系数规律：第1个式子系数为1，第2个为2，第3个为3，第4个为4
∴可得系数为；
的指数规律，第1个式子为，第2个为4，第3个为6，第4个为8
∴可得第个式子中的指数为，
∴第（为正整数）个式子是．
9．A
先求出抽取样本中一分钟跳绳个数不低于180的人数占比，再乘以全校总人数即可得到估计结果．
【详解】解：∵抽取的样本总人数为，其中一分钟跳绳个数不低于的人数为，
∴样本中符合条件的人数占比为，
∴全校800名学生中一分钟跳绳的个数不低于180的人数为：人．
10．C
本题考查二次根式和分式有意义的条件，二次根式被开方数为非负数，分式分母不能为0，据此列不等式求解即可．
【详解】解：有意义，
二次根式被开方数非负，且分式分母不为0，
可得，
解得，C选项符合题意．
11．A
本题考查一元二次方程的实际应用（矩形面积问题），建立关于面积和边长的等量关系，列出一元二次方程并求解即可．
【详解】解：设小道的宽为米，则个小矩形可合成长为米、宽为米的矩形，
∴根据矩形的面积公式可列出关于的一元二次方程：．
12．A
根据轴对称图形的定义，逐个判断选项中两个汉字是否都满足轴对称图形的要求，排除错误选项得到结果．
【详解】解：A选项中“干”和“旱”都能找到满足条件的直线，使折叠后两旁完全重合，都是轴对称图形，故符合题意；
B选项中“羽”和“毛”都不是轴对称图形，故不符合题意；
C选项中“合”是轴对称图形，但“作”不是轴对称图形，故不符合题意；
D选项中“朋”和“友”都不是轴对称图形，故不符合题意．
13．B
过作于点，由角平分线的性质可得，再通过即可求解．
【详解】解：如图，过作于点，
∵于点，是的平分线，
∴，
∴，
∴的面积为．
14．C
先根据二次根式的运算法则把原式化简为，再估算的取值范围，然后根据不等式的性质变形即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，即原式的值在5到6之间．
15．D
由圆周角定理可得圆周角等于圆心角的一半，弧所对的圆周角为，故．
【详解】解：，
，
．
16．
【详解】解：
17．/24平方厘米
先根据菱形的性质求出，再根据与长度的比为求出，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可．
【详解】解：∵菱形，的长为，
∴，
∵与长度的比为，
∴，
∴，
∴菱形的面积．
18．9.1
【详解】解：首先将5个数据按从小到大的顺序排序如下∶8.8，8.9，9.1，9.3，9.6．
数据的个数为5，是奇数，根据中位数的定义，位于中间位置的数为第3个数，即9.1．
19．8
圆锥的母线长等于侧面展开图的半径，圆锥的高、底面半径与母线构成直角三角形，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：由题意可知，圆锥侧面展开图的半径即为圆锥的母线长，可得圆锥母线长，圆锥底面半径．
设圆锥的高为h，根据勾股定理得：．
20．2
【详解】解：原式．
21．证明见解析
根据平行线的性质得到，，根据等边对等角得到，则，可知，进而根据证明即可．
【详解】证明：如图，
∵，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
在和中，
∴．
22．千克
设乙队每天采茶千克，则甲队每天采茶千克，由题意得，解得．
【详解】解：设乙队每天采茶千克，则，
方程两边同乘以，得，
化简得，，
解得．
经检验，是原分式方程的解．
答：乙队每天采茶千克．
23．(1)6种
(2)
本题考查了列表法和树状图法求解概率，解题的关键是求得所有情况数以及目标事件的情况数．
（1）利用列表法列出所有情况，即可求解；
（2）由（1）可得所有情况数，求出恰好有一款是银饰的情况数，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可列表如下，
A B C
A
B
C
由表可知，所有可能出现的结果共有6种．
（2）解：由列表可知，共有6种等可能的结果，
小王抽到的两款挂件中，恰好有一款是银饰的结果有4种，
分别是，，，．
∴小王抽到的两款挂件中，恰好有一款是银饰的概率．
24．(1)证明见解析
(2)
（1）由题意，得是线段的垂直平分线，可知，，根据可证四边形是菱形；
（2）根据菱形的性质得到，，根据三角函数求出，根据菱形面积公式计算即可.
【详解】（1）证明：由题意，得是线段的垂直平分线，
∴，．
又∵，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：在菱形中，，，
∵，
∴．
在中，，
∴，
∴．
设菱形的面积为S，则，
即，
解得．
25．(1)元；元
(2)购买甲型号块，乙型号块；元
（1）设甲、乙两种型号智慧黑板的单价分别为a元和b元，由题意得：，解得；
（2）购买甲型号智慧黑板x块，则购买乙型号智慧黑板块，设总费用为y元，由题意得，，化简后可得到，则，故y随x的增大而减小，因此当，时，总费用最少为元．
【详解】（1）解：设甲、乙两种型号智慧黑板的单价分别为a元和b元，由题意得：
解得
答：甲、乙两种型号智慧黑板的单价分别为元和元；
（2）解：设购买甲型号智慧黑板x块，则购买乙型号智慧黑板块，设总费用为y元，
由题意得，
解得，
，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，总费用最少，
最少总费用（元），
答：购买甲型号智慧黑板块，乙型号智慧黑板块时，总费用最少，最少总费用为元．
26．(1)；3
(2)
【详解】（1）解：把点代入，得：，
解得，
即
∵是抛物线与轴的一个交点的横坐标，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，
∴，
∴
．
即．
27．(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）解：∵E是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵（公共角），
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴直线是的切线；
（3）解：如图，连接，，
∵，E是的中点，，
∴，
∴，
∴，．
∵，，
∴，
，
∵，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
∴，
，
∵是直径，
∴，
在和中，
，
，
∴，即，
设，则，
，即①，
同理可得，，
，即，
∴，即②，
联立①②，解得，
∴．

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