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2026年浙江省杭州市初中学业水平数学考试考前最后一卷
说明:
答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好.
全卷共7页，24小题考试时间120分钟，满分120分.
3.作答选择题1-10，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.作答非选择题11—24，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案(含作辅助线)写在答题卡指定区域内.写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。
4.考试结束后，请将答题卡交回.
第一部分 选择题
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，多选、错选、不选均不给分。)
1．2026的倒数是（ ）
A．2026 B． C． D．
2．下列几何体中，左视图和俯视图相同的是（ ）
A． B．
C． D．
3．DeepSeek是中国深度求索公司研发的高性能AI语言模型，广泛应用于智能客服、数据分析等领域．2026年1月，DeepSeek全球月活跃用户数突破46200000个，创下行业新纪录．用科学记数法表示46200000并精确到百万位，下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．某中学举办了“文明城市，你我同行”的知识竞赛．经过对竞赛成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图（A：59分及以下；B：60-69分；C：70-79分；D：80-89分；E：90-100分）根据图中提供的信息，以下说法正确的是（ ）

A．该校八年级学生有1200人
B．80-89分段的人数是300人
C．在扇形统计图中，“70-79分”部分所对应的圆心角的度数是108°
D．59分及以下的人数最少
6．如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．一个布袋里装有3个只有颜色不同的小球，其中2个红球，1个白球．从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则摸出两个红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．《九章算术》是我国现存的一部自成体系的、最古老、最经典的数学专著．其中有一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”其大意是：假设共同买东西，如果每个人出8钱，盈余3钱；每个人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？假设人数为人，物价为钱，则（ ）
A． B．
C． D．
9．在矩形中，，，点M是边上一点（点M不与点A，D重合），连接，将沿翻折得到，连接，．当为等腰三角形时，的长为（ ）
A．或15 B．15或 C．或 D．不存在
10．已知二次函数（a是实数，），，是函数图象上两个不同的点，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
第二部分 非选择题
二、填空题:本大题共6小题，每小题3分，共18分.把答案直接填在答题卡相对应的位置上.
11．分解因式=____________．
12．衣中挂着3套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱中各任取一件上衣和一条裤子，它们取自同一套的概率是________．
13．化简：______．
14．如图，已知扇形的半径为1，，交于点，且为的中点，过点作，交于点，则图中阴影部分的面积是_____.
15．已知二次函数与一次函数（是常数）的图象交于两个不同的点，，若点的横坐标是，则点的横坐标是_____________．
16．如图，在矩形中，，，平分交于点，过点作交于点，连结并延长交于点，交于点，则与的面积比为 ____ ．
三、解答题:本大题共8小题，共72分.把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔.
17．（8分）计算：．
18．（8分）如图1，．在图1中，用无刻度的直尺和圆规作，使．
(1)若线段a长如图2所示，请作出所有满足条件的三角形；
(2)若这样的三角形只能作一个，请直接写出一个满足条件的a的值．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．已知反比例函数的图象经过点，过点作轴于点，且的面积为．
(1)求和的值；
(2)当时，求函数值的取值范围．
20．（8分）端午节是中国的传统节日，民间有吃粽子、划龙舟的习俗，在端午节来临之际，某校组织七年级学生分组开展了一次“包粽子”劳动实践活动，每组10名学生，并对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩均为不低于6分的整数．为了解这次活动的效果，现从中随机抽取甲、乙两个小组的活动成绩进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下：
乙组10名学生成绩统计表
成绩/分 6 7 8 9 10
人数 1 2 2
已知乙组10名学生活动成绩的中位数为8.5分．
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)______，______；
(2)甲组活动成绩为7分的学生数是______人，乙组活动成绩的众数为______分；
(3)若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据两组数据，判断本次活动中优秀率高的组是否平均成绩也高，并说明理由．
21．（8分）阅读与思考
下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务．
×年×月×日 星期日 求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法 今天，我在一本书中看到了一种求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法． 这种方法如下： 若（在各组乘积为n的正整数中，a，b两数最接近），则的最初近似值为．若是的最初近似值，则的二级近似值，的三级近似值． 例如：∵，4，6最接近，∴的最初近似值为，∴的二级近似值为，∴的三级近似值为．
任务：
(1)的最初近似值是 ；
(2)的二级近似值是 ；
(3)若的最初近似值是，二级近似值是，求n的值．
22．（10分）经测试，在使用快速充电器和普通充电器对某款手机充电时，其电量（单位：）与充电时间（单位：h）的函数图象分别为图中的折线段，．根据以上信息，回答下列问题．
(1)求线段对应的函数表达式．
(2)用充电器给电量仅剩的手机充满电，快速充电器比普通充电器少用几小时？
23．（10分）已知关于的二次函数．
(1)当时，
①求二次函数的对称轴和顶点坐标．
②当时，该函数的最小值是3，求的值．
(2)若抛物线过点，且对于拋物线上任意一点都有，若点，是这条抛物线上不同的两点，求证：．
24．（12分）如图，是的直径，弦，垂足为，是上一点，连接并延长交于点，，垂足为．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，当点平分时，请求出的最大值．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D D C C A A C C
二、填空题
11．．
12．
13．
14．
15．4
16．
三、解答题
17．【详解】解：原式
．
18．【详解】（1）如图，，即为所求；
（2）解：当时，唯一，此时，
．
19．【详解】（1）解：，
，，
，
，
点的坐标为，
把代入，得；
（2）解：当时，，
又反比例函数在时，随的增大而减小，
当时，的取值范围为．
20．【详解】（1）解：由题可知：乙组10名学生活动成绩的中位数为8.5分，
从小到大排列时乙组10名学生中中间两位学生的活动成绩分别为和，
，
解得：，
故答案为：，；
（2）解：由扇形图可知：甲组活动成绩为7分的学生占比为：，
甲组活动成绩为7分的学生数为：，
由（1）可知，乙组活动成绩分出现次数最多，为次，故乙组活动成绩的众数为分，
故答案为：，；
（3）解：否，理由如下：
由题可得：甲组优秀率，
甲组平均成绩（分），
乙组优秀率，
乙组平均成绩（分），
，，
故本次活动中优秀率高的组平均成绩低．
21．【详解】（1）解：，
与最接近，
的最初近似值为；
（2）解：，
和最接近，
最初近似值，
的二级近似值是；
（3）解：设，
最初近似值，
得，
二级近似值，
解得，．
22．【详解】（1）解：由图可设线段对应的函数表达式为，
代入，得，
解得，
∴线段对应的函数表达式为；
（2）解：由（1）知，当时，线段对应的函数，
解得；
当时，对应的点，即快速充电器充满电需要小时；
设线段对应的函数表达式为，
代入，得，
解得，
∴线段对应的函数表达式为；
当时，，
解得；
当时，对应的点，即普通充电器充满电需要小时；
小时；
∴快速充电器比普通充电器少用小时．
23．【详解】（1）解：①把代入解析式，得
，
化为顶点式，得
，
∴这个二次函数的对称轴为，顶点坐标为；
②二次函数中，
∵，
∴抛物线开口向上，函数有最小值，
∵二次函数的顶点坐标为，
∴函数最小值为2，
∵时，该函数的最小值是3，
∴函数的最小值在端点处取得，且，
令，则，
解得或，
∵，
∴；
（2）证明：∵抛物线过点，且对于拋物线上任意一点都有，
∴是抛物线的最高点，
∴抛物线开口向下，，且对称轴为，
∴，解得，
∴抛物线解析式为：，
∵点，在抛物线上，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∵点，是这条抛物线上不同的两点，
∴，解得，
∴，
∴，即．
24．【详解】（1）证明：∵是的直径，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当点平分时，则，
由（）知，
∴，
∴，
过作于点，过作于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
根据垂径定理可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的最大值为．
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